Bài 101 trang 92 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho góc $xOy,$ điểm $A$ nằm trong góc đó. Vẽ điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $Ox,$ vẽ điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $Oy.$

$a)$ Chứng minh rằng $OB = OC$

$b)$ Tính số đo góc $xOy$ để $B$ đối xứng với $C$ qua $O.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Vì $B$ đối xứng với $A$ qua trục $Ox$ nên $Ox$ là đường trung trực của đoạn $AB.$

$⇒ OA = OB$ (tính chất đường trung trực) $(1)$

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ nên $Oy$ là đường trung trực của đoạn $AC.$

$⇒ OA = OC$ (tính chất đường trung trực) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $OB = OC.$

$b)$ Ta có: $OB = OC$ do đó điểm $B$ đối xứng với điểm $C$ qua tâm $O$ cần thêm điều kiện $B, O, C$ thẳng hàng.

$∆ OAB$ cân tại $O$ có $Ox$ là đường trung trực của $AB$ nên $Ox$ cũng là đường phân giác của $\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}$

$∆ OAC$ cân tại $O$ có $Oy$ là đường trung trực của $AC$ nên $Oy$ cũng là đường phân giác của $\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}$

$B, O, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow {\widehat O_1} +{\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}$

$\eqalign{&  \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0}  \cr&  \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0}  \cr&  \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr}$

Vậy $\widehat {xOy} = {90^0}$ thì $B$ đối xứng với $C$ qua tâm $O.$

HocTot.Nam.Name.Vn