Giải bài 10 trang 121 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: AM = BN = CP = DQ (gt)

AB = BC = CD = DA (ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow$ BM = CN = DP = AQ

$\Rightarrow \Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP$(hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN = NP = PQ

Suy ra MNPQ là hình thoi

Do: $\Delta AMQ = \Delta BNM \Rightarrow {\widehat M_1} = \widehat {BNM}$ (2 góc tương ứng)

Mà: $\widehat {BNM} + {\widehat M_3} = {90^0}$(do $\Delta BNM$vuông tại B)

$\Rightarrow {\widehat M_1} + {\widehat M_3} = {90^0} \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - {\widehat M_1} - {\widehat M_3} = {180^0} - {90^0} = {90^0}$

Vậy hình thoi MNPQ có một góc bằng 90^o nên MNPQ là hình vuông