Giải bài 1 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đồ thị có trọng số như Hình 16.

 

a) Tính độ dài các đường đi ABCD, MBNCP.

b) Chỉ ra ba đường đi khác nhau từ M đến N và tính độ dài của chúng.

c) MBC có phải là đường đi ngắn nhất từ M đến C không?

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{l_{ABCD}}\; = {\rm{ }}{w_{AB}}\; + {\rm{ }}{w_{BC}}\; + {\rm{ }}{w_{CD}}\; = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}15{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}24.}\\{{l_{MBNCP}}\; = {\rm{ }}{w_{MB}}\; + {\rm{ }}{w_{BN}}\; + {\rm{ }}{w_{NC}}\; + {\rm{ }}{w_{CP}}\; = {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}25{\rm{ }} = {\rm{ }}45.}\end{array}$

Vậy độ dài các đường đi ABCD, MBNCP lần lượt là 24 và 45.

b) Ba đường đi khác nhau từ M đến N là: MAN, MBN, MABN.

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{l_{MAN}}\; = {\rm{ }}{w_{MA}}\; + {\rm{ }}{w_{AN}}\; = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}14.}\\{{l_{MBN}}\; = {\rm{ }}{w_{MB}}\; + {\rm{ }}{w_{BN}}\; = {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}14.}\\{{l_{MABN}}\; = {\rm{ }}{w_{MA}}\; + {\rm{ }}{w_{AB}}\; + {\rm{ }}{w_{BN}}\; = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}17.}\end{array}$

Vậy ba đường đi khác nhau từ M đến N là MAN, MBN, MABN có độ dài lần lượt bằng 14; 14; 17.

c) Ta có MANC là một đường đi từ M đến C.

M ${l_{MANC}}\; = {\rm{ }}{w_{MA}}\; + {\rm{ }}{w_{AN}}\; + {\rm{ }}{w_{NC}}\; = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}20,{\rm{ }}{l_{MBC}}\; = {\rm{ }}{w_{MB}}\; + {\rm{ }}{w_{BC}}\; = {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}15{\rm{ }} = {\rm{ }}22.$

Vì 20 < 22 nên ${l_{MANC}}\; < {\rm{ }}{l_{MBC}}.$

Vậy MBC không phải là đường đi ngắn nhất từ M đến C.