Đề thi vào 10 môn Toán Tuyên Quang năm 2021

Đề bài

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,5 điểm): Chọn đáp án trả lời đúng duy nhất trong các câu sau.

Câu 1. Hình nón có chiều cao \(h = 5cm\), bán kính đáy \(r = 3cm\), có thể tích bằng:

     A. \(15\pi \,c{m^2}\)  B. \(45\pi \,\,c{m^2}\)    C. \(15\pi \,\,c{m^3}\)    D. \(45\pi \,\,c{m^3}\)

Câu 2. Đồ thị hàm số \(y = 2x + 4\) cắt trục tung tại điểm:

     A. \(Q\left( {2;0} \right)\)                                         B. \(N\left( {0; - 4} \right)\)               C. \(P\left( { - 2;0} \right)\) D. \(M\left( {0;4} \right)\)                                            

Câu 3. Cho hai đường tròn \(\left( {{O_1};\,5\,cm} \right)\) và \(\left( {{O_2};\,6\,cm} \right)\). Biết \({O_1}{O_2} = 1\,cm\), khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\) tiếp xúc trong với nhau.                  B. \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\) không giao nhau

     C. \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau                  D. \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt nhau                                

Câu 4. Cho hàm số \(y = ax + b\) có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. \(a = 1;b = 2\)           B. \(a =  - 1;b =  - 2\)          C. \(a = 1;b =  - 2\)             D. \(a =  - 1;b = 2\)    

Câu 5. Trong một đường tròn, khẳng định nào dưới đây là sai?

     A. Dây nào nhỏ hơn thì dây đó gần tâm hơn.                  B. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

     C. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.                          D. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.  

Câu 6. Cho \(x < 0\). Khẳng định nào dưới đâu đúng?

     A. \(\sqrt {81{x^2}}  =  - 81x\)                                  B. \(\sqrt {81{x^2}}  = 9x\)                 C. \(\sqrt {81{x^2}}  = 81x\)                                               D. \(\sqrt {81{x^2}}  =  - 9x\)

Câu 7. Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

     A. \(y = \dfrac{1}{x} + 2021\)                                   B. \(y = 2021x + 2022\)   C. \(y = 2021\sqrt x \)                                         D. \(y = 2021{x^2}\)        

Câu 8. Hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 1\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = 0\\3x - 2y = 8\end{array} \right.\) tương đương với nhau khi và chỉ khi:

     A. \(m = 1\)                    B. \(m =  - 1\)                      C. \(m = 2\)                         D. \(m =  - 2\)

Câu 9. Khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \(6 < \sqrt {10} \)     B. \(4 > \sqrt {10} \)          C. \(3 > \sqrt {10} \)         D. \(5 < \sqrt {10} \)

Câu 10. Cho \(a \ge 2\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \(\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = {\left( {a - 2} \right)^4}\)                 B. \(\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = a - 2\)                                            C. \(\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}}  =  - {\left( {a - 2} \right)^4}\) D.\(\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = 2 - a\)

Câu 11. Biết đồ thị hàm số \(y = ax\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\), giá trị của \(a\) bằng:

     A. \( - \dfrac{3}{2}\)    B. \( - \dfrac{2}{3}\)         C. \(\dfrac{3}{2}\)            D. \(\dfrac{2}{3}\)    

Câu 12. Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \({x_1}.{x_2} =  - \dfrac{b}{a}\)                             B. \({x_1}.{x_2} = \dfrac{b}{a}\)         C. \({x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\)                                          D. \({x_1}.{x_2} =  - \dfrac{c}{a}\)     

Câu 13. Cho tam giác vuông \(ABC\) như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \(\sin C = \sqrt 3 \)  B. \(\sin C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)                               C. \(\sin C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)       D. \(\sin C = \dfrac{1}{2}\)                                            

Câu 14. Đồ thị trong hình vẽ là của hàm số nào dưới đây?

     A. \(y =  - 2{x^2}\)        B. \(y =  - 2x\)                     C. \(y = 2{x^2}\)                D. \(y = 2x\)  

Câu 15. Cho hàm số \(y =  - 3{x^2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. Hàm số nghịch biến khi \(x > 0\)                              B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

     C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)                  D. Hàm số đồng biến khi \(x > 0\)        

Câu 16. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và cung  có số đo bằng \({60^0}\) như hình vẽ.

Số đo của góc \(\angle ABC\) bằng:

     A. \({40^0}\)                 B. \({60^0}\)                      C. \({30^0}\)                      D. \({50^0}\)

Câu 17. Nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\2x - y = 1\end{array} \right.\) là:

     A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\)                       B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)      D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 1\end{array} \right.\)  

Câu 18. Biểu thức \(\sqrt {x + 2} \) xác định khi và chỉ khi:

     A. \(x >  - 2\)                  B. \(x \ge  - 2\)                    C. \(x <  - 2\)                       D. \(x \le  - 2\)    

Câu 19. Cho đường tròn \(\left( {O;5\,cm} \right)\) và một dây cung \(AB = 6\,cm\).

Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(AB\) bằng:

     A. \(4\,\,cm\)                B. \(5\,\,cm\)                     C. \(2\,\,cm\)                     D. \(3\,\,cm\)

Câu 20. Biểu thức \(\dfrac{8}{{\sqrt x }}\) xác định khi và chỉ khi:

     A. \(x > 0\)                      B. \(x \ge 0\)                       C. \(x \ne 0\)                      D. \(x \le 0\) 

Câu 21. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ, \(A\) là điểm chính giữa cung nhỏ  là tia tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(D\).

Tổng số đo hai góc \(\angle ODA\) và \(\angle EDt\) bằng:

     A. \({118^0}\)               B. \({119^0}\)                    C. \({120^0}\)                   D. \({117^0}\)    

Câu 22. Mặt cầu bán kính \(r = 1\) có diện tích bằng:

     A. \(\dfrac{{4\pi }}{3}\,\,c{m^3}\)                          B. \(\dfrac{{4\pi }}{3}\,\,c{m^2}\)   C. \(4\pi \,\,c{m^3}\)           D. \(4\pi \,\,c{m^2}\)     

Câu 23. Cho tam giác vuông \(ABC\) như hình vẽ.

Độ dài đường cao \(AH\) bằng:

     A. \(AH = 2,4\,cm\)      B. \(AH = 2,5\,cm\)           C. \(AH = 2,3\,cm\)           D. \(AH = 2,6\,cm\)

Câu 24. Một người mua \(0,3\,kg\) thịt lợn và \(0,4\,kg\) thịt bò hết \(148\,000\) đồng. Một người khác mua \(0,4\,\,kg\) thịt lợn và \(0,3\,\,kg\) thịt bò hết \(139\,000\) đồng (đơn giá mua thịt lợn và thịt bò của hai người là bằng nhau). Hỏi giá \(1\,kg\) thịt bò là bao nhiêu?

     A. \(260\,000\) đồng    B. \(250\,000\) đồng         C. \(220\,000\) đồng         D. \(160\,000\) đồng

Câu 25. Thể tích của hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính \(r\) dược tính theo công thức:

     A. \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)                             B. \(V = \pi {r^2}h\)          C. \(V = \pi rh\)     D. \(V = 2\pi rh\)         

Câu 26. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + z = 0\\2x - 3y = 1\end{array} \right.\)       B. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 0\\2x - y = 1\end{array} \right.\)                              C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} = 2\\2x - 3y = 1\end{array} \right.\)                           D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\2x + y = 1\end{array} \right.\)                                  

Câu 27. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) như hình vẽ.

Biết \(BH = 1\,cm,AB = \sqrt 3 \); khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \(AC = 3\,cm\)          B. \(AC = 4\,cm\)               C. \(AC = \sqrt 6 \,cm\)    D. \(AC = 3\sqrt 2 \,cm\)

Câu 28. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) như hình vẽ.

Biết \(BH = 1\,\,cm,CH = 2\,\,cm\), khẳng định nào dưới đây đúng?

     A. \(AB = 3\,\,cm\)       B. \(AB = \sqrt 3 \,\,cm\) C. \(AB = 2\,\,cm\)            D. \(AB = \sqrt 2 \,\,cm\)                               

Câu 29. Căn bậc hai số học của \(25\) là:

     A. \( - 5\)                         B. \(5\) và \( - 5\)              C. \(5\)                                D. \(25\) 

Câu 30. Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 5} \right) = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt?

     A. \(6\)                            B. \(3\)                                 C. \(5\)                                D. \(4\)   

PHẦN II: TỰ LUẬN (2,5 ĐIỂM)

Câu 31 (1,0 điểm)

Giải phương trình \({x^2} + 1 - 2\left( {x + 2} \right) = 0.\)

Câu 32 (1,0 điểm):

Trên nửa đường tròn đường kính \(AD\) lấy hai điểm \(B,C\) phân biệt sao cho \(B\) ở giữa \(A\) và \(C\) (\(B\) khác \(A\) và \(C\) khác \(D\)). Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(F\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(E\) xuống \(AD\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Hai tam giác \(CEF\) và \(CBA\) đồng dạng với nhau.

Câu 33 (0,5 điểm):

Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng

\(\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} > 2\)

Lời giải

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Vận dụng công thức tính thể tích hình nón có chiều cao là \(h\) và bán kính đáy là \(r\), khi đó thể tích của hình nón được tính theo công thức: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Cách giải:

Thể tích của khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi \,\,c{m^3}\)

Chọn C.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Xác định phương trình đường thẳng của trục tung từ đó xác định được tọa độ điểm cần tìm.

Cách giải:

Phương trình đường thẳng của trục tung: \(x = 0\)

Thay \(x = 0\) vào đường thẳng \(y = 2x + 4\), ta được \(y = 2.0 + 4 = 0\)

Vậy điểm cần tìm có tọa độ là \(\left( {0;4} \right)\)

Chọn D.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

So sánh \({R_1} + {R_2}\,,\,\left| {{R_1} - {R_2}} \right|\) với \({O_1}{O_2}\)

Cách giải:

Ta có: \(\left| {{R_1} - {R_2}} \right| = \left| {5 - 6} \right| = 1 = {O_1}{O_2}\)

Suy ra \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\) tiếp xúc trong với nhau.

Chọn A.

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số

Lập hệ phương trình để tìm hệ số \(a\) và \(b\).

Cách giải:

Từ đồ thị, ta thấy điểm \(\left( {2;0} \right)\)và \(\left( {0;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = ax + b\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a.2 + b = 0\\a.0 + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2 = 0\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a =  - 1;b = 2\)

Chọn D.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Vận dụng định lí về mối qua hệ giữa đường kính và dây cung trong một đường tròn.

Cách giải:

Trong một đường tròn, dậy nào nhỏ hơn thì dậy đó xa tâm hơn nên đáp án A sai.

Chọn A.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về căn bậc hai: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l} - A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\A\,\,\,khi\,\, - A < 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

\(\sqrt {81{x^2}}  = \sqrt {{{\left( {9x} \right)}^2}}  = \left| {9x} \right| =  - 9x\) (vì \(x < 0\))

Chọn D.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b\) trong đó \(a,b\) là các số cho trước và \(a \ne 0\)

Cách giải:

Từ định nghĩa của hàm số bậc nhất, suy ra hàm số \(y = 2021x + 2022\) là hàm số bậc nhất

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số tìm được nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 1\end{array} \right.\) là \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Thay \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = 0\\3x - 2y = 8\end{array} \right.\) để tìm được \(m\)

Cách giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\)

Hệ hai phương trình của hệ bài tương đường với nhau khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\) cũng là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = 0\\3x - 2y = 8\end{array} \right.\)

Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m.2 + 2.\left( { - 1} \right) = 0\\3.2 - 2.\left( { - 1} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 2\\8 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy \(m = 1\) thì hệ hai phương trình tương đương với nhau.

Chọn A.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh

Cách giải:

Sử dụng máy tính bỏ túi, dễ thấy \(4 > \sqrt {10} \) là đúng

Chọn B.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = \left| {a - 2} \right| = a - 2\) vì \(a \ge 2\)

Chọn B.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

Hàm số \(y = ax\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) khi \({y_B} = a{x_B}\)

Cách giải:

Hàm số \(y = ax\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) nên ta có: \(3 = a.2 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}\)

Chọn C.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: \({x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Cách giải:

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: \({x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Chọn C.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng tỉ số lượng giác của

góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

\(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

Chọn D.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào dáng điệu của đồ thị của hàm số

Cách giải:

Đây là dáng điệu của hàm số \(y = a{x^2}\,\left( {a \ne 0} \right)\)\( \Rightarrow \) loại đáp án A và D

Phía bên phải của đồ thị có chiều đi lên \( \Rightarrow \)\(a > 0\)\( \Rightarrow \) loại đáp án A

Vậy đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Nhận xét về hệ số \(a\) của hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

+ \(a > 0\) khi đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

+ \(a < 0\) khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Cách giải:                                                                     

Hàm số \(y =  - 3{x^2}\) có \(a =  - 3 < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Chọn A.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

Góc nội tiếp \( = \dfrac{1}{2}\)Góc ở tâm \( = \dfrac{1}{2}\)Số đo cung chắn góc ở tâm

Cách giải:

Ta có: \(\angle ABC = \dfrac{1}{2}\)Số đo cung \(AnC = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}\)

Chọn C.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\)

Chọn C.

Câu 18 (TH)

Phương pháp:

\(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Cách giải:

Biểu thức \(\sqrt {x + 2} \) xác định khi và chỉ khi \(x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 2\)

Chọn B.

Câu 19 (VD)

Phương pháp:

Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\)\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(AB\) là \(OH\)

Tính \(AH\)

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông \(AHO:A{H^2} + O{H^2} = A{O^2} \Rightarrow \) tính được \(OH\)

Cách giải:

Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\)\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(AB\) là \(OH\)

Trong \(\left( O \right)\) có: \(OH \bot AB\) tại \(H\)\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,\,cm\)

\(\Delta AOH\) vuông tại \(H\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{H^2} + H{O^2} = O{A^2}\\ \Leftrightarrow O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}\\ \Leftrightarrow O{H^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\ \Rightarrow OH = 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(AB\) là \(4\,\,cm\)

Chọn A.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {g\left( x \right)} }}\) \(\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\) xác định \( \Leftrightarrow g\left( x \right) > 0\)

Cách giải:

Biểu thức \(\dfrac{8}{{\sqrt x }}\) xác định khi và chỉ khi\(x > 0\)

Chọn A.

Câu 21 (VD)

Phương pháp:

Tính được \(\angle AOD = \angle AOC = {62^0}\); \(\angle DAE = \angle EDt = {59^0}\)

Từ đó, tính được \(\angle ODA + \angle EDt\)

Cách giải:

Xét \(\left( O \right)\) có: \(A\) là điểm chính giữa cung \(AC\)

\( \Rightarrow \) Số đo cung \(AD = \)Số đo cung \(AC\)

\( \Rightarrow \angle AOD = \angle AOC = {62^0}\)

Ta có: \(OA = OD = R \Rightarrow \Delta AOD\) cân tại \(O\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ODA = \angle DAO\\ \Rightarrow \angle ODA = \angle DAE\end{array}\)

Xét \(\Delta AOD\) có: \(\angle DAO + \angle ODA + \angle AOD = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\angle DAO + \angle AOD = {180^0}\\ \Rightarrow \angle DAO = \dfrac{{{{180}^0} - \angle DAO}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{62}^0}}}{2} = {59^0}\\ \Rightarrow \angle DAE = {59^0}\end{array}\)

Xét \(\left( O \right)\)có: \(\angle DAE = \angle EDt\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng cùng chắn cung \(DE\))

\( \Rightarrow \angle EDt = {59^0}\)

Ta có: \(\angle ODA + \angle EDt = {59^0} + {59^0} = {118^0}\)

Chọn A.

Câu 22 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu có bán kính là \(R\) thì diện tích mặt cầu được tính theo công thức: \(4\pi {R^2}\) (đơn vị diện tích)

Cách giải:

Diện tích của mặt cầu là: \(4\pi {.1^2} = 4\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Chọn D.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot BC\), ta có:

     \(\dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{{25}}{{144}}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{144}}{{25}}\\ \Rightarrow AH = 2,4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Độ dài đường cao \(AH\) bằng: \(2,4\,\,cm\)

Chọn A.

Câu 24 (VD)

Phương pháp:

Gọi \(x\) (đồng) là giá của \(1\,\,kg\) thịt lợn (điều kiện: \(x > 0\))

\(y\) (đồng) là giá của một \(1\,kg\) thịt bò (điều kiện: \(y > 0\))

Từ giả thiết của đề bài, lập hệ phương trình chứa ẩn \(x\) và \(y\)

Giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi \(x\) (đồng) là giá của \(1\,\,kg\) thịt lợn (điều kiện: \(x > 0\))

\(y\) (đồng) là giá của một \(1\,kg\) thịt bò (điều kiện: \(y > 0\))

Một người mua \(0,3\,kg\) thịt lợn và \(0,4\,kg\) thịt bò hết \(148\,000\) đồng nên ta có phương trình:

\(0,3x + 0,4y = 148\,000\,\,\,\left( 1 \right)\)

Một người khác mua \(0,4\,\,kg\) thịt lợn và \(0,3\,\,kg\) thịt bò hết \(139\,000\) đồng nên ta có phương trình:

\(0,4x + 0,3y = 139\,000\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,4y = 148\,000\\0,4x + 0,3y = 139\,000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,6y = 592\,000\\1,2x + 0,9y = 417\,000\end{array} \right.\)

      \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,7y = 175\,000\\x = \dfrac{{139\,000 - 0,3y}}{{0,4}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\,000\,\left( {tm} \right)\\x = 160\,000\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá \(1\,kg\) thịt bò là \(250\,000\) đồng.

Chọn B.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

Thể tích của hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính \(r\) dược tính theo công thức: \(V = \pi {r^2}h\)

Cách giải:

Thể tích của hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính \(r\) dược tính theo công thức: \(V = \pi {r^2}h\)

Chọn B.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) trong đó \(a,b,c,a',b',c'\) là các số thực cho trước, \(x\) và \(y\) là ẩn số.

Cách giải:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\2x + y = 1\end{array} \right.\) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn D.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông\(\Delta ABC\): \(A{B^2} = BH.BC\) \( \Rightarrow \) tính được \(BC\)

Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác vuông \(\Delta ABC\): \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow \) tính được \(AC\)

Cách giải:

+ \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,AH \bot BC\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = BH.BC\\ \Leftrightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{1} = 3\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

+ \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 6\\ \Rightarrow AC = \sqrt 6 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy \(AC = \sqrt 6 \,cm\)

Chọn C.

Câu 28 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông\(\Delta ABC\): \(A{B^2} = BH.BC\) \( \Rightarrow \) tính được \(AB\)

Cách giải:

+ Ta có: \(BC = BH + HC = 1 + 2 = 3\,\left( {cm} \right)\)

+ \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,AH \bot BC\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(\,A{B^2} = BH.BC\)

                 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{B^2} = 1.3 = 3\\ \Rightarrow AB = \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)                                              

Vậy \(AB = \sqrt 3 \,cm\)

Chọn B.

Câu 29 (NB)

Phương pháp:

Với số dương \(a\), số \(\sqrt a \) được gọi là căn bậc hai số học của \(a\).

Cách giải:

Căn bậc hai số học của \(25\) là: \(\sqrt {25}  = 5\)

Chọn C.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

Phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 5} \right) = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \({x^2} - 2x + m - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} - 2x + m - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{x^2} - 2x + m - 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 5} \right) = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \({x^2} - 2x + m - 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta '}_{\left( * \right)}} = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right) > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) + m - 5 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 5 > 0\\1 + 2 + m - 5 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 6\\m \ne 2\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;3;4;5} \right\}\)

Chọn D.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) (hoặc \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\)), sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\) (hoặc \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)), tính được nghiệm của phương trình, kết luận.

Cách giải:

Giải phương trình \({x^2} + 1 - 2\left( {x + 2} \right) = 0.\)

Ta có: \({x^2} + 1 - 2\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)

Phương trình có: \(\Delta ' = 1 - 1.( - 3) = 4 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt 4  = 2\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 + 2 = 3\\{x_2} = 1 - 2 =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - 1 & ;\,\,3} \right\}\).

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng kiến thức về góc nội tiếp, chứng minh được các cặp góc bằng nhau

Cách giải:

a) Ta có: \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AD\) nên \(\angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle ECD = {90^0}\).

Vì \({\rm{EF}} \bot AD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle EFD = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle {\rm{EF}}D + \angle ECD = {180^0}\)

\( \Rightarrow DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn (dhnb).

b) Ta có: \(DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\angle EFC = \angle BDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\)).

Mà \(\angle BDC = \angle BAC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\)).

\( \Rightarrow \angle EFC = \angle BAC\).

Ta lại có: \(\angle ABC + \angle ADC = {180^0}\) (do \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp)

               \(\angle FEC + \angle ADC = {180^0}\)(do tứ giác \(DCEF\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle FEC = \angle ABC\) (cùng bù \(\angle ADC\))

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta CBA\) có: \(\angle EFC = \angle BAC\) (cmt); \(\angle FEC = \angle ABC\) (cmt)

.

Câu 33 (VDC)

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, \(\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} = \dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} \ge \dfrac{{2a}}{{a + b + c}}\) và chứng minh tương tự.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} = \dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} \ge \dfrac{{2a}}{{a + b + c}}\\\dfrac{b}{{\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} = \dfrac{{2b}}{{2\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} \ge \dfrac{{2a}}{{a + b + c}}\\\dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} = \dfrac{{2c}}{{2\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} \ge \dfrac{{2c}}{{a + b + c}}\end{array}\)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b(c + a)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} \ge 2.\left( {\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{a + b + c}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b(c + a)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} \ge 2.\dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 2\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b + c,\,\,\,b = c + a,\,\,\,c = a + b\)

\( \Rightarrow a + b + c = 2\left( {a + b + c} \right)\) (Vô lý)

\( \Rightarrow \) Đẳng thức không xảy ra.

Vậy \(\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b(c + a)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} > 2\) (đpcm).