Đề thi giữa kì 2 Toán 11 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,$ $BC = 2a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $S$ vuông góc với $AB.$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.

A

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
B

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
C

$S = {a^2}\sqrt 3 .$
D

$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$

Câu 2 :

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$
B

Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.
C

Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.
D

Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $mp\left( \alpha \right)//c~$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.

Câu 3 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:

A

$\dfrac{1}{4}.$
B

$\dfrac{1}{2}.$
C

$\dfrac{1}{3}.$
D

$\dfrac{1}{5}.$

Câu 4 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?

A

$\dfrac{1}{4}.$
B

$\dfrac{1}{3}.$
C

$ - \dfrac{1}{4}.$
D

$ - \dfrac{1}{3}.$

Câu 5 :

Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó
B

Tất cả các cạnh của hình chóp đều thì bằng nhau.
C

Đáy của hình chóp đều là các đa giác đều.
D

Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân

Câu 6 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)$ là:

A

$1.$
B

$ - \infty .$
C

$0.$
D

$ + \infty .$

Câu 7 :

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì $OC \bot OA,OC \bot OB$ nên $OC \bot \left( {OAB} \right)$.

II. Do $AB \subset \left( {OAB} \right)$nên $AB \bot OC.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

III. Có $OH \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \subset \left( {ABC} \right)$nên $AB \bot OH.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

IV. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A

$4$.
B

$3$.
C

$2$.
D

$1$.

Câu 8 :

Cho hai số $x$ và $y$ biết các số $x - y;x + y;3x - 3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số $x - 2;y + 2;2x + 3y$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm $x;y$:

A

$x = 3;y = 1$
B

$x = 3;y = 1$ hoặc $x = - \dfrac{{16}}{{13}};y = - \dfrac{2}{3}$
C

$x = 3;y = 1$ hoặc $x = \dfrac{{ - 6}}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}$
D

$x = 3;y = 1$ hoặc $x = - \dfrac{{16}}{3};y = \dfrac{2}{3}$

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$, $AB = 4{,^{}}CD = 6$. $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC = \dfrac{1}{2}BM$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $CD$. Diện tích thiết diện của $\left( P \right)$ với tứ diện là:

A

$5$
B

$6$
C

$\dfrac{{17}}{3}.$
D

$\dfrac{{16}}{3}.$

Câu 10 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}$ là:

A

$ - 1.$
B

$0$
C

$1$
D

$ + \infty .$

Câu 11 :

Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?

A

$ - 4.$
B

$ - 1.$
C

$5.$
D

$ - \dfrac{3}{2}.$

Câu 12 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;3} \right)$
B

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$
D

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( {0;4} \right)$

Câu 13 :

Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$. Chọn mệnh đề sai:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}$
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$

Câu 14 :

Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Dựng đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Chọn khẳng định không đúng.

A

$AH \bot SA$
B

$AH \bot SC$
C

$AH \bot \left( {SBC} \right)$
D

$AH \bot BC$

Câu 15 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ $. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $?

A

$60^\circ .$
B

$45^\circ .$
C

$120^\circ .$
D

$90^\circ .$

Câu 16 :

Trong không gian cho tam giác đều $SAB$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $H,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
B

$\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
C

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 17 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_3} = - 2$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.$ Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A

${u_n} = 3n - 11$
B

${u_n} = 3n - 8$
C

${u_n} = 2n - 8$
D

${u_n} = n - 5$

Câu 18 :

Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

A

${190^0}$
B

${191^0}$
C

${192^0}$
D

${193^0}$

Câu 19 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

Ba mặt phẳng $\left( ABC \right),\,\,\left( ABD \right),\,\,\left( ACD \right)$ đôi một vuông góc.
B

Hình chiếu của A lên mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là trực tâm của tam giác BCD.
C

Tam giác BCD vuông.
D

Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

Câu 20 :

Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A

số hạng thứ $103$
B

số hạng thứ $104$
C

số hạng thứ $105$
D

Đáp án khác

Câu 21 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$. là tam giác vuông tại $B,$ $BC = a$. Cạnh bên $SA = a$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^0}$. Độ dài $AC$ bằng

A

$a\sqrt 2 .$
B

$a\sqrt 3 .$
C

$2a.$
D

$a.$

Câu 22 :

Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D’$ . Xét tất cả các hình bình hành có đỉnh là đỉnh của hình hộp đó. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành mà mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt phẳng đáy $ (ABCD)$ ?

A

$4$
B

$6$
C

$8$
D

$10$

Câu 23 :

Chọn đáp án đúng:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty $
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4} = - \infty $
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty $
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty $

Câu 24 :

Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 + \ldots + x = 280$ là:

A

$x = 53$
B

$x = 55$
C

$x = 57$
D

$x = 59$

Câu 25 :

Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?

A

$1.$
B

$\dfrac{2}{3}.$
C

$ - 1.$
D

$ - \dfrac{1}{3}.$

Câu 26 :

Biết rằng $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ (với $a$ là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị $a$ là đúng?

A

$a$ là một số nguyên
B

$a$ là một số vô tỉ
C

$a > 5.$
D

$a < 0.$

Câu 27 :

Cho phương trình $2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right)$
B

Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 2;0} \right)$
D

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Câu 28 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Câu 29 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat {ABC} = {60^0}$, tam giác $SBC$ là tam giác đều có bằng cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\varphi = {60^0}.$
B

$\tan \varphi = 2\sqrt 3 .$
C

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.$
D

$\tan \varphi = \dfrac{1}{2}.$

Câu 30 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E,\,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $AC.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là

A

$\widehat {CSF}.$
B

$\widehat {BSF}.$
C

$\widehat {BSE}.$
D

$\widehat {CSE}.$

Câu 31 :

Cho cấp số cộng có tổng của $4$ số hạng liên tiếp bằng $22$, tổng bình phương của chúng bằng $166$. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:

A

$1,4,7,10$
B

$1,4,5,10$
C

$2,3,5,10$
D

$2,3,4,5$

Câu 32 :

Độ dài $3$ cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng $6$ thì công sai của cấp số cộng này là:

A

$7,5$
B

$4,5$
C

$0,5$
D

Đáp án khác.

Câu 33 :

Tính tổng ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}$ ($a \ne 1$ là số cho trước)

A

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
B

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
C

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$

Câu 34 :

Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
B

Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
C

Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
D

Cả 3 đáp án trên đều sai

Câu 35 :

Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?

A

$\dfrac{4}{3}.$
B

$\dfrac{1}{2}.$
C

$1.$
D

$2$

Câu 36 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + x - 1} \right)$ bằng?

A

$-1$
B

$0$
C

$\dfrac{1}{2}.$
D

$- \infty$

Câu 37 :

Biết rằng $a + b = 4$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{b}{{1 - {x^3}}} - \dfrac{a}{{1 - x}}} \right)$.

A

$-1$
B

$2$
C

$1$
D

$-2$

Câu 38 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$

A

$m \in \emptyset $
B

$m \in R$
C

$m = 1$
D

$m = - 1$

Câu 39 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.
B

Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.
C

Nếu phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$
D

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tăng trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không thể có nghiệm trong $\left( {a;b} \right)$.

Câu 40 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Câu 41 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC)$ và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:

A

Đồng quy.
B

Đôi một song song
C

Đôi một chéo nhau
D

Đáp án khác

Câu 42 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SC = a\sqrt 2 $. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$. Khẳng định nào sau đây là sai?.

A

$SH \bot \left( {ABCD} \right)$
B

$SH \bot HC$
C

$AC \bot SK$
D

$HC \bot HD$

Câu 43 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB = a,$ $AD = 2a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $SO$ và vuông góc với $\left( {SAD} \right).$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và hình chóp đã cho.

A

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
C

$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
D

$S = {a^2}.$

Câu 44 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S,$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$ và $SC.$ Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN,$ biết rằng mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$

A

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}.$
B

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{8}.$
C

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{12}}.$
D

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$

Câu 45 :

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$, đáy $ABC$ là tam giác đều $a$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {C'AI} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Độ dài $AA'$ bằng

A

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B

$\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.$
C

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}.$

Câu 46 :

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: ${x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0$, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

A

$ - \dfrac{{343}}{8}$
B

$\dfrac{{721}}{8}$
C

$ - \dfrac{{721}}{8}$
D

$\dfrac{{343}}{8}$

Câu 47 :

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tâm $O$, đường cao $AA'$; $SO = 2a$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $OA'{\rm{ }}\left( {M \ne A';M \ne O} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AA'$. Đặt $AM = x$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp $S.ABC$.

A

${S_{IJEF}} = - \,2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).$
B

${S_{IJEF}} = 2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).$
C

$S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {a - x} \right)^2}.$
D

$S = 2{\left( {a - x} \right)^2}.$

Câu 48 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)$ bằng:

A

$0$
B

$\dfrac{{n + 1}}{2}$
C

$n$
D

$1$

Câu 49 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3}-1000{x^2} + 0,01$. Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng:

I. $\left( { - 1;0} \right)$.

II. $\left( {0;1} \right)$.

III. $\left( {1;2} \right)$.

IV. $\left( {2;1000} \right)$

A

Chỉ I, II, III.
B

Chỉ I và II
C

Chỉ I, II, IV.
D

Cả I, II, III IV.

Câu 50 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = SH = a.$ Tính cosin của góc $\alpha $ tọa bởi hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

A

$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
B

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
B

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
C

$S = {a^2}\sqrt 3 .$
D

$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết :

Gọi H là trung điểm $AB \Rightarrow SH \bot AB.$ Suy ra:

$ \bullet $ $SH \subset \left( \alpha \right)$.

$ \bullet $ $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ (do $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ theo giao tuyến $AB$).

Kẻ $HM \bot AB{\rm{ }}\left( {M \in CD} \right) \Rightarrow HM \subset \left( \alpha \right).$

Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H.

Ta có $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$, $HM = BC = 2a.$ Vậy ${S_{\Delta SHM}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 2 :

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$
B

Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.
C

Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.
D

Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $mp\left( \alpha \right)//c~$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $c$)

C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của $a$ và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng ${90^0}$, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.

D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c,b~$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng ${90^0}$, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng ${0^0}$.

Do đó B đúng.

Câu 3 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:

A

$\dfrac{1}{4}.$
B

$\dfrac{1}{2}.$
C

$\dfrac{1}{3}.$
D

$\dfrac{1}{5}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay $x = 2$ vào hàm số lấy giới hạn.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}} = \sqrt [3]{\dfrac{{{2^2} - 2 - 1}}{{{2^2} + 2.2}}} = \dfrac{1}{2}$

Câu 4 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?

A

$\dfrac{1}{4}.$
B

$\dfrac{1}{3}.$
C

$ - \dfrac{1}{4}.$
D

$ - \dfrac{1}{3}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, chia cả tử và mẫu cho $x-2$ khử dạng vô định và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}{{(x - 2)(x + 2)}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 3)}}{{x + 2}} $ $= \dfrac{{(2 - 1)(2 - 3)}}{{2 + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}$

Câu 5 :

Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó
B

Tất cả các cạnh của hình chóp đều thì bằng nhau.
C

Đáy của hình chóp đều là các đa giác đều.
D

Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình chóp đều.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.

Câu 6 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)$ là:

A

$1.$
B

$ - \infty .$
C

$0.$
D

$ + \infty .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt ${x^3}$ làm nhân tử chung rồi tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty $ vì $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0\end{array} \right..$

Câu 7 :

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì $OC \bot OA,OC \bot OB$ nên $OC \bot \left( {OAB} \right)$.

II. Do $AB \subset \left( {OAB} \right)$nên $AB \bot OC.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

III. Có $OH \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \subset \left( {ABC} \right)$nên $AB \bot OH.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

IV. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A

$4$.
B

$3$.
C

$2$.
D

$1$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng mệnh đề.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\\OA \cap OB = O\\OA,OB \subset \left( {OAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)$.

Vậy $I$ đúng.

$\left\{ \begin{array}{l}OC \bot \left( {OAB} \right)\\AB \subset \left( {OAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot OC$.

Vậy $II$ đúng.

$\left\{ \begin{array}{l}OH \bot \left( {ABC} \right)\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot OH$.

Vậy $III$ đúng.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot OC}\\{AB \bot OH}\\\begin{array}{l}OC \cap OH = O\\OC,OH \subset \left( {OCH} \right)\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$.

Vậy $IV$ đúng.

Câu 8 :

A

$x = 3;y = 1$
B

$x = 3;y = 1$ hoặc $x = - \dfrac{{16}}{{13}};y = - \dfrac{2}{3}$
C

$x = 3;y = 1$ hoặc $x = \dfrac{{ - 6}}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}$
D

$x = 3;y = 1$ hoặc $x = - \dfrac{{16}}{3};y = \dfrac{2}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân:

- Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng thì ${u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2$

- Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân thì $u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2$

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right) + \left( {3x - 3y} \right) = 2(x + y)\\{\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\{\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {3y - 2} \right)\left( {9y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\13{y^2} - 11y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - \dfrac{2}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy $x = 3;y = 1$ hoặc $x = - \dfrac{6}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}$

Câu 9 :

A

$5$
B

$6$
C

$\dfrac{{17}}{3}.$
D

$\dfrac{{16}}{3}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xác định thiết diện.

- Nhận xét tính chất thiết diện và tính diện tích.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}AB\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}AB.$

Tương tự ta có $MQ{\rm{//}}CD,\,\,NP{\rm{//}}CD,\,\,QP{\rm{//}}AB$. Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

Ta có $\left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \left( {\widehat {MN;MQ}} \right) = \widehat {NMQ} = {90^0}$$ \Rightarrow $ tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Lại có $\Delta CMN\backsim \Delta CBA\Rightarrow \dfrac{CM}{CB}=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{4}{3};$

$\Delta ANP\backsim \Delta ACD\Rightarrow \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{NP}{CD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow MP=4.$

Vậy ${S_{MNPQ}} = MN.NP = \dfrac{{16}}{3}.$

Câu 10 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}$ là:

A

$ - 1.$
B

$0$
C

$1$
D

$ + \infty .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhân liên hợp khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(x - 1)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 4} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x + 4}} + 4} \right)}}{{\left( {4x + 4 - 8} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 4} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x + 4}} + 4} \right)}}{{4\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \dfrac{{12}}{{12}} = 1.$

Câu 11 :

Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?

A

$ - 4.$
B

$ - 1.$
C

$5.$
D

$ - \dfrac{3}{2}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^5}$.

Lời giải chi tiết :

$\lim \dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}{{(n + 1)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$ $ = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}}}{{{n^3}}}.\dfrac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{{2 - 25{n^5}}}{{{n^5}}}}}$ $ = \dfrac{{{{\left( {\frac{{2 - 5n}}{n}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}}$ $ = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 5} \right)}^3}.{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\dfrac{2}{{{n^5}}} - 25}} $ $ = \dfrac{{{{\left( {0 - 5} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 25}}$ $= \dfrac{{{{( - 5)}^3}{{.1}^2}}}{{ - 25}} = 5$.

Câu 12 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;3} \right)$
B

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$
D

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( {0;4} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Lời giải chi tiết :

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)$. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Do đó hàm số không liên tục trên mọi khoảng có chứa điểm $x = 1$ hay A, B sai, D đúng.

Đáp án C sai do hàm số liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Câu 13 :

Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$. Chọn mệnh đề sai:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}$
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý tổng, hiệu, tích, thương của giới hạn các hàm số tại một điểm.

Lời giải chi tiết :

Định lý: Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$. Khi đó:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}$ với $M \ne 0$

Từ định lý trên ta thấy đáp án A sai vì thiếu điều kiện $M \ne 0$.

Câu 14 :

Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Dựng đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Chọn khẳng định không đúng.

A

$AH \bot SA$
B

$AH \bot SC$
C

$AH \bot \left( {SBC} \right)$
D

$AH \bot BC$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Do đó $\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$

Lại có $\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot SC$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó các đáp án B, C, D đều đúng.

Câu 15 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ $. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $?

A

$60^\circ .$
B

$45^\circ .$
C

$120^\circ .$
D

$90^\circ .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} $ và kết luận đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $

$\begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ .\end{array}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0$$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ $.

Câu 16 :

A

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
B

$\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
C

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với AB và CD.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot d.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK \Rightarrow d \bot SK.$

Từ đó suy ra

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot d\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;SK} \right)} = \widehat {HSK}.$

Trong tam giác vuông $SHK$, có $\tan \widehat {HSK} = \dfrac{{HK}}{{SH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$

Câu 17 :

A

${u_n} = 3n - 11$
B

${u_n} = 3n - 8$
C

${u_n} = 2n - 8$
D

${u_n} = n - 5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định ${u_1}$ và $d.$

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

Lời giải chi tiết :

${u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là CSC có công sai $d = 3.$

${u_3} = {u_1} + 2d$ $ \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d = - 2 - 2.3 = - 8$

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.$

Câu 18 :

A

${190^0}$
B

${191^0}$
C

${192^0}$
D

${193^0}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi số đo góc nhỏ nhất là $A$ và biểu diễn các góc còn lại theo $A$, sử dụng đinh nghĩa cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử $A < B < C < D$.

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

$\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}$

Câu 19 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

Ba mặt phẳng $\left( ABC \right),\,\,\left( ABD \right),\,\,\left( ACD \right)$ đôi một vuông góc.
B

Hình chiếu của A lên mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là trực tâm của tam giác BCD.
C

Tam giác BCD vuông.
D

Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết của hai mặt phẳng vuông góc: Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đều vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AD\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABD} \right)\end{array}$

$\Rightarrow $ A đúng.

$AD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AD\bot BC$. Tương tự ta chứng minh được

$AB\bot CD;\,\,AC\bot BD\Rightarrow D$ đúng.

Gọi H là trực tâm của tam giác BCD ta có $\left\{ \begin{align} DH\bot BC \\ AD\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow AH\bot BC$

Tương tự ta chứng minh được $AH\bot BD;\,\,AH\bot CD\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)$ $\Rightarrow $ B đúng.

Chưa đủ điều kiện để kết luận tam giác $BCD$ vuông.

Câu 20 :

Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A

số hạng thứ $103$
B

số hạng thứ $104$
C

số hạng thứ $105$
D

Đáp án khác

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}} $ $\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104$

Câu 21 :

A

$a\sqrt 2 .$
B

$a\sqrt 3 .$
C

$2a.$
D

$a.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC \Rightarrow BC$ là giao tuyến.

Mặt khác $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $\Delta ABC$ vuông tại $B \Rightarrow AB \bot BC$.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow $$BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {45^0}$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $\widehat {SBA} = {45^0} \Rightarrow SA = AB = a$.

Mà $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 $.

Câu 22 :

A

$4$
B

$6$
C

$8$
D

$10$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựng hình và tìm các mặt phẳng có trong hình mà vuông góc với $ (ABCD) $. Từ đó suy ra các hình bình hành cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Có $6$ hình bình hành thỏa mãn yêu cầu: $ABB'A';\,\,BCC'B';\,\,CDD'C';\,\,ADD'A';\,\,ACC'A';\,\,BDD'B’$ .

Câu 23 :

Chọn đáp án đúng:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty $
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4} = - \infty $
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty $
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng chú ý: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty $ nếu $k$ chẵn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty $ nên A đúng, B sai.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = - \infty $ nên C và D đều sai.

Câu 24 :

Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 + \ldots + x = 280$ là:

A

$x = 53$
B

$x = 55$
C

$x = 57$
D

$x = 59$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhận xét : Tổng trên là tổng của 1 cấp số cộng, áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu tiên của CSC: ${S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}$

Lời giải chi tiết :

Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 + \ldots + x$ là tổng của cấp số cộng với ${u_1} = 1,d = 6$.

Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó $x = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)6$, và $\begin{array}{l}1 + 7 + 13 + \ldots + x = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {2 + \left( {n - 1} \right).6} \right)}}{2} = 280\\ \Rightarrow 2n + 6n\left( {n - 1} \right) = 560\\ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10\end{array}$

Vậy $x = 1 + 9.6 = 55$.

Câu 25 :

Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?

A

$1.$
B

$\dfrac{2}{3}.$
C

$ - 1.$
D

$ - \dfrac{1}{3}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${5^n}$.

Bước 2: Sử dụng giới hạn $\lim {q^n} = 0$ nếu $\left| q \right| < 1$.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $ = \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} $

$= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$

Bước 2:

$ =\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} = - \dfrac{1}{3}.$

Câu 26 :

A

$a$ là một số nguyên
B

$a$ là một số vô tỉ
C

$a > 5.$
D

$a < 0.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$

Lời giải chi tiết :

Hàm số xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right)$. Khi đó $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).{\rm{ }}\left( * \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = a\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \right] = 4\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a = 4$

Câu 27 :

Cho phương trình $2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right)$
B

Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 2;0} \right)$
D

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một số ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ sao cho x₀ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: D = R. Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^2} + x + 1$ liên tục trên R.

Ta có: $f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$

Ta có $f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$

$ \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow $ Đáp án A sai.

Câu 28 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng chưa chắc đã có mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (vì nếu hai đường thẳng đã cho không vuông góc với nhau thì không có mặt phẳng nào hết)

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 29 :

A

$\varphi = {60^0}.$
B

$\tan \varphi = 2\sqrt 3 .$
C

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.$
D

$\tan \varphi = \dfrac{1}{2}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, suy ra $SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi $K$ là trung điểm $AC$, suy ra $HK$//$AB$ nên $HK \bot AC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot SK.$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SK \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SK;HK} \right)} = \widehat {SKH}.$

Tam giác vuông $ABC$, có $AB = BC.\cos \widehat {ABC} = a \Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}.$

Tam giác $SBC$ đều cạnh $2a$ có đường cao $SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2}$

Tam giác vuông $SHK$, có $\tan \widehat {SKH} = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = 2\sqrt 3 $.

Câu 30 :

A

$\widehat {CSF}.$
B

$\widehat {BSF}.$
C

$\widehat {BSE}.$
D

$\widehat {CSE}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với EF.

Vì EF là đường trung bình tam giác ABC suy ra EF // BC.

Khi đó d // EF // BC$ \Rightarrow \left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = \left( d \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\,\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AB \bot BC\end{array} \right.$$ \Rightarrow $$BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot SE\\BC \bot SB\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\left( d \right) \bot SE\\\left( d \right) \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SEF} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;SB} \right)} = \widehat {BSE}.$

Câu 31 :

Cho cấp số cộng có tổng của $4$ số hạng liên tiếp bằng $22$, tổng bình phương của chúng bằng $166$. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:

A

$1,4,7,10$
B

$1,4,5,10$
C

$2,3,5,10$
D

$2,3,4,5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi bốn số hạng của cấp số cộng là $u,u + d,u + 2d,u + 3d$, dựa vào giả thiết lập hệ hai phương trình 2 ẩn $u$ và $d,$ giải hệ phương trình tìm $u, d$ và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là $u,u + d,u + 2d,u + 3d$. Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u + u + d + u + 2d + u + 3d = 22\\{u^2} + {\left( {u + d} \right)^2} + {\left( {u + 2d} \right)^2} + {\left( {u + 3d} \right)^2} = 166\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4u + 6d = 22\\4{u^2} + 12ud + 14{d^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + 3d = 11\\2{u^2} + 6ud + 7{d^2} = 83\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{{11 - 3d}}{2}\\\dfrac{{9{d^2} - 66d + 121}}{2} + 6\dfrac{{11 - 3d}}{2}d + 7{d^2} = 83\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 9{d^2} - 66d + 121 + 66d - 18{d^2} + 14{d^2} = 166\\ \Leftrightarrow 5{d^2} = 45 \Leftrightarrow d = \pm 3\end{array}$

$d = 3 \Rightarrow u = \dfrac{{11 - 3.3}}{2} = 1 \Rightarrow $ 4 số cần tìm là 1, 4, 7, 10

$d = - 3 \Rightarrow u = \dfrac{{11 - 3\left( { - 3} \right)}}{2} = 10 \Rightarrow $ 4 số cần tìm là $10, 7, 4, 1.$

Câu 32 :

Độ dài $3$ cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng $6$ thì công sai của cấp số cộng này là:

A

$7,5$
B

$4,5$
C

$0,5$
D

Đáp án khác.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của cấp số cộng ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$.

Sử dụng tính chất ba cạnh của tam giác vuông (định lí Py – ta – go).

Lời giải chi tiết :

Gọi 3 cạnh của tam giác vuông là $a,b,c\left( {a < b < c} \right)$. Khi đó ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\\dfrac{{a + b + c}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\a + b + c = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\3b = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\{a^2} + 36 = {c^2}\\a = 12 - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 12 - c\\144 - 24c + {c^2} + 36 = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\c = \dfrac{{15}}{2}\\a = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \\ \Rightarrow d = b - a = 6 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\end{array}$

Câu 33 :

Tính tổng ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}$ ($a \ne 1$ là số cho trước)

A

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
B

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
C

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Nhân của hai vế của tổng với $a$.

- Trừ vế với vế tương ứng và áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Nếu $a = 0$ thì $S = 1$.

Nếu $a \ne 1$ thì ta có:

$\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{ }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}$

Câu 34 :

Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
B

Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
C

Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
D

Cả 3 đáp án trên đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.

- Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$:

* Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$

Từ (*) ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) $ $= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm và $\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow $$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $

Câu 35 :

Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?

A

$\dfrac{4}{3}.$
B

$\dfrac{1}{2}.$
C

$1.$
D

$2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \left( {\dfrac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}}} \right).\left( {\dfrac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}}} \right)...\left( {\dfrac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{3^2} - 1} \right)...\left( {{n^2} - 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1.3} \right).\left( {2.4} \right).\left( {3.5} \right).\left( {4.6} \right)\,...\,\,\left[ {\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)} \right]}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\end{array}$

Câu 36 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + x - 1} \right)$ bằng?

A

$-1$
B

$0$
C

$\dfrac{1}{2}.$
D

$- \infty$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Đặt $x$ làm nhân tử chung.

- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + x - 1} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + x - 1} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + 1 - \dfrac{1}{x}} \right)} \right] = - \infty $

Câu 37 :

A

$-1$
B

$2$
C

$1$
D

$-2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức.

Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn hữu hạn suy ra $a,b$

Bước 3: Với $a,b$ tìm được ở trên thì tính giới hạn hàm số có được

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right) $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{1 - {x^3}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.$

Bước 2:

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)$ hữu hạn thì tử thức $a + ax + a{x^2} - b$ phải có nghiệm bằng $1$

$ \Leftrightarrow a + a.1 + a{.1^2} - b = 0 \Leftrightarrow 3a - b = 0.$

Vậy ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. $

Bước 3:

$ \Rightarrow L = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)$

$ = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} $ $= - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{1 + x + {x^2}}} = 1$.

Câu 38 :

A

$m \in \emptyset $
B

$m \in R$
C

$m = 1$
D

$m = - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 3.$

Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( 1 \right) = 1\end{array}$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow $ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$

Câu 39 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.
B

Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.
C

Nếu phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$
D

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tăng trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không thể có nghiệm trong $\left( {a;b} \right)$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một số ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - 5.$ Hàm số này xác định trên $\left[ { - 3;3} \right]$ và liên tục trên đoạn đó, đồng thời $f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0$ nhưng phương trình $f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0$ có nghiệm $x = \pm \sqrt 5 \in \left( { - 3;3} \right)$

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$.

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0\\x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right.$. Hàm số này xác định trên $\left[ { - 3;3} \right]$, có nghiệm $x = - 1$ thuộc khoảng $\left( { - 3;3} \right)$ nhưng gián đoạn tại điểm $x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)$ nên không liên tục trên khoảng $\left( { - 3;3} \right)$ .

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tăng trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nên $f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < 0\\f\left( b \right) < 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $f\left( x \right) = 0$, hay phương trình $f\left( x \right) = 0$ không thể có nghiệm trong $\left( {a;b} \right)$.

Câu 40 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm $G$ vào các véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} $ với chú ý :

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ và ${\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$

$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$

Câu 41 :

A

Đồng quy.
B

Đôi một song song
C

Đôi một chéo nhau
D

Đáp án khác

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$

Lời giải chi tiết :

Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $ABC$ $ \Rightarrow AA' \bot BC$ mà

$BC \bot SA$ nên $BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK$ (vì $K$ là trực tâm của tam giác)

Câu 42 :

A

$SH \bot \left( {ABCD} \right)$
B

$SH \bot HC$
C

$AC \bot SK$
D

$HC \bot HD$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh $\Delta SHC$ vuông tại $H$, từ đó suy ra tính đúng, sai cho các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Vì $H$ là trung điểm của $AB$ và tam giác $SAB$ đều nên $SH \bot AB$

Lại có $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},SC = a\sqrt 2 ,$ $HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Do đó $H{C^2} + H{S^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{4} = 2{a^2} = S{C^2}$

$ \Rightarrow \Delta HSC$ vuông tại $H \Rightarrow SH \bot HC$ nên B đúng.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}SH \bot HC\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên A đúng.

b) Ta có $AC \bot HK$ và $AC \bot SH \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right)$

$ \Rightarrow AC \bot SK$ nên C đúng.

Câu 43 :

A

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
C

$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
D

$S = {a^2}.$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm $AD,{\rm{ }}BC$. Khi đó

$ \bullet $ $MN$ đi qua $O.$

$ \bullet $ $\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AD\\MN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAD} \right).$

Từ đó suy ra $\left( \alpha \right) \equiv \left( {SMN} \right)$ và thiết diện cần tìm là tam giác $SMN$.

Tam giác $SMN$ vuông tại $M$ nên

${S_{\Delta \,SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + {{\left( {\dfrac{{AD}}{2}} \right)}^2}} .AB = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 44 :

A

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}.$
B

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{8}.$
C

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{12}}.$
D

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Gọi $K$ là trung điểm của $BC$ và $I = SK \cap MN$

Từ giả thiết $ \Rightarrow \,\,MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2},$ $MN\parallel BC$$ \Rightarrow \,\,I$ là trung điểm của $SK$ và $BC.$

Ta có $\Delta \,SAB = \Delta \,SAC$$ \Rightarrow $ Hai trung tuyến tương ứng $AM = AN.$

$ \Rightarrow \,\,\Delta \,AMN$ cân tại $A$$ \Rightarrow \,\,AI \bot MN.$ Mà $\left( {SBC} \right) \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$

$ \Rightarrow \,\,AI \bot SK.$

Suy ra tam giác $SAK$ cân tại $A\,\, \Rightarrow \,\,SA = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Khi đó $S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AI = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{{SK}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.$

Vậy diện tích tam giác $AMN$ là ${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{1}{2}MN.AI = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$

Câu 45 :

A

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B

$\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.$
C

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $I$ là trung điểm của $BC\,\, \Rightarrow AI \bot BC$

$ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng $ \Rightarrow C'C \bot \left( {ABC} \right).$

$ \Rightarrow C'C \bot AI$ mà $AI \bot BC \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AI \bot C'I$

Suy ra

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {C'AI} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AI\\\left( {C'AI} \right) \supset C'I \bot AI\\\left( {ABC} \right) \supset BC \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {C'AI} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {C'I;BC} \right)} = \widehat {C'IC} = {60^0}$

Xét $\Delta \,C'CI$ vuông tại $C$, có : $\tan \widehat {C'IC} = \dfrac{{CC'}}{{IC}} \Rightarrow CC' = \tan {60^0}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AA' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Câu 46 :

A

$ - \dfrac{{343}}{8}$
B

$\dfrac{{721}}{8}$
C

$ - \dfrac{{721}}{8}$
D

$\dfrac{{343}}{8}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đặt $t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn $t$.

Tìm điều kiện của $m$ để phương trình bậc hai ẩn $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Sử dụng tính chất của cấp số cộng ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$ để suy ra mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $t$

Sử dụng định lý Vi-et.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, khi đó phương trình trở thành ${t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0$ (*)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25$

Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là ${t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)$. Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau $ - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} $.

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì $ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}$

Mà theo định lí Vi-et ta có ${t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9$

Lại có ${t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$

Do đó ${1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{721}}{8}$

Câu 47 :

A

${S_{IJEF}} = - \,2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).$
B

${S_{IJEF}} = 2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).$
C

$S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {a - x} \right)^2}.$
D

$S = 2{\left( {a - x} \right)^2}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì $S.ABC$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABC} \right)$

($O$ là tâm của tam giác $ABC$)

Do đó $SO \bot AA'$ mà $\left( \alpha \right) \bot AA'$ suy ra $SO\parallel \left( \alpha \right)$.

Tương tự ta cũng có $BC\parallel \left( \alpha \right)$

Qua $M $ kẻ $IJ\parallel BC$ với $I \in AB,{\rm{ }}J \in AC$; kẻ $MN\parallel SO$ với $N \in SA'.$

Qua $N$ kẻ $EF\parallel BC$ với $E \in SB,{\rm{ }}F \in SC$.

Khi đó thiết diện là hình thang $IJFE.$

Diện tích hình thang ${S_{IJEF}} = \dfrac{1}{2}\left( {IJ + EF} \right)MN$.

Tam giác $ABC,$ có $\dfrac{{IJ}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} \Rightarrow IJ = \dfrac{{AM.BC}}{{AA'}} = \dfrac{{x.a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{3}.$

Tam giác $SBC,$ có $\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow EF = \dfrac{{OM.BC}}{{OA'}} = \dfrac{{\left( {x - \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)a}}{{\dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right).$

Tam giác $SOA’,$ có $\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = \dfrac{{SO.MA'}}{{OA'}} = \dfrac{{2a.\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - x} \right)}}{{\dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right).$

Vậy

$\begin{array}{l}{S_{IJEF}} = \dfrac{1}{2}MN\left( {EF + IJ} \right) = \dfrac{1}{2}.2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\left( {\dfrac{{2x\sqrt 3 }}{3} + 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right)} \right)\\ = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right) = - 2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).\end{array}$

Câu 48 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)$ bằng:

A

$0$
B

$\dfrac{{n + 1}}{2}$
C

$n$
D

$1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đặt $x = \dfrac{1}{y}$, khi $x \to + \infty :\,\,\,y \to 0$ .

- Nhân liên hợp, tính $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y}$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $x = \dfrac{1}{y}$, khi $x \to + \infty :\,\,\,y \to 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left( {\sqrt[n]{{\left( {\dfrac{1}{y} + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{y} + 2} \right)...\left( {\dfrac{1}{y} + n} \right)}} - \dfrac{1}{y}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y}$

$\begin{array}{l}\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1\\ = \sqrt[n]{{1 + y}} - \sqrt[n]{{1 + y}} + \sqrt[n]{{\left( {1 + y} \right)\left( {1 + 2y} \right)}} - \sqrt[n]{{\left( {1 + y} \right)\left( {1 + 2y} \right)}} + ... + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}\\\,\,\,\,\, - \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}} + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1\\ = \left( {\sqrt[n]{{1 + y}} - 1} \right) + \sqrt[n]{{1 + y}}\left( {\sqrt[n]{{1 + 2y}} - 1} \right) + ... + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}\left( {\sqrt[n]{{1 + ny}} - 1} \right)\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + y}} - 1} \right)}}{y}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{1 + y}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + 2y}} - 1} \right)}}{y}} \right] + ... + \\\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ny}} - 1} \right)}}{y}} \right]\end{array}$

Tổng quát:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}.\dfrac{{\sqrt[n]{{1 + ky}} - 1}}{y}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]}}{{y\left[ {{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{(1 + ky - 1).\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}}}{{y{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{k.\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}}}{{{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1}} = \dfrac{k}{n}\end{array}$

Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n} + ... + \dfrac{n}{n} = \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{n} = \dfrac{{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}}}{n} = \dfrac{{n + 1}}{2}$

Câu 49 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3}-1000{x^2} + 0,01$. Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng:

I. $\left( { - 1;0} \right)$.

II. $\left( {0;1} \right)$.

III. $\left( {1;2} \right)$.

IV. $\left( {2;1000} \right)$

A

Chỉ I, II, III.
B

Chỉ I và II
C

Chỉ I, II, IV.
D

Cả I, II, III IV.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý: Nếu $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Xét tích $f\left( a \right).f\left( b \right)$ trong từng khoảng đã cho với lưu ý:

+ Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình có ít nhất $1$ nghiệm.

+ Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) > 0$ thì chưa kết luận vội vàng số nghiệm, có thể

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 1000{x^2} + 0,01$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\left[ { - 1;0} \right]$, $\left[ {0;1} \right]$, $\left[ {1;2} \right]$ và $\left[ {2;1000} \right]$ $\left( 1 \right)$.

Ta có $f\left( { - 1} \right) = - 1000,99$; $f\left( 0 \right) = 0,01$ suy ra $f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$, $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.

Ta có $f\left( 0 \right) = 0,01$; $f\left( 1 \right) = - 999,99$ suy ra $f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0$, $\left( 3 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.

Ta có $f\left( 1 \right) = - 999,99$; $f\left( 2 \right) = - 39991,99$suy ra $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) > 0$, $\left( 4 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = - 39991,99 < 0,$$f\left( {1000} \right) = 0,01 > 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất $1$ nghiệm thuộc khoảng $\left( {2;1000} \right)$

Mà phương trình bậc ba chỉ có nhiều nhất ba nghiệm nên ở mỗi khoảng I, II, IV thì phương trình đều có $1$ nghiệm và trên khoảng $\left( {1;2} \right)$ không có nghiệm.

Câu 50 :

A

$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
B

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH$ (1)

Tam giác ABC cân tại C nên $CH \bot AB$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$

Gọi I là trung điểm $AC$ $\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC$ (3)

Mặt khác $AC \bot SH$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right)$) (4)

Từ (3) và (4), suy ra $AC \bot \left( {SHI} \right)$

Kẻ $HK \bot SI{\rm{ }}\,\left( {K \in SI} \right)$ (5)

Từ $AC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AC \bot HK$ (6)

Từ (5) và (6), suy ra $HK \bot \left( {SAC} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $HK$ và $HC$

Ta có $HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot CK \Rightarrow \Delta CHK$ vuông tại $K.$

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ là $\widehat {CHK}$

Có $CH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$; $\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{3}$

Do đó $\cos \widehat {CHK} = \dfrac{{HK}}{{CH}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{2}{3}.$

Bài liên quan