Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy A, B, C đều đúng.

D sai.

Xét trong mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Lấy 1 đường thẳng c cắt a nhưng đường thẳng c này không cắt b.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Các đường thẳng chéo nhau là các đường thẳng không thuộc cùng mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Các đường thẳng chéo với AD là SB và SC.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác, định lí Ta-let đảo để suy ra các đoạn thẳng song song và tỉ lệ đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của CD ta có: \(\frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{E{{G}_{2}}}{EB}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel AB\) (định lí Ta-let đảo)

Và \(\frac{{{G}_{1}}{{G}_{2}}}{AB}=\frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}=\frac{1}{3}AB=\frac{a}{3}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Suy ra trực tiếp tính đúng sai của các đáp án. Hai đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: Song song, chéo nhau và cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chưa thể xác định được chéo nhau hay song song, hay cắt nhau.

B sai. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.

D sai. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau hoặc cắt nhau.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Suy ra trực tiếp tính đúng sai của các đáp án. Hai đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: Song song, chéo nhau và cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ ta thấy AC và BD là hai đường thẳng chéo nhau nên không thể cắt nhau. Vậy D sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Suy ra trực tiếp tính đúng sai của các đáp án. Hai đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: Song song, chéo nhau và cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

\(AB\subset a,CD\subset b\). MÀ a và b chéo nhau nên AB và CD chéo nhau. Suy ra A đúng.

Giả sử \(E=AC\cap BD\) ta có: A, B, C, D, E đồng phẳng AB và CD cắt nhau. Mà AB và CD chéo nhau (Mâu thuẫn). Vậy AC và BD không cắt nhau.

Tương tự nếu AC và BD song song ta cũng chỉ ra được mâu thuẫn như trên. Vậy AC và BD chéo nhau.

Suy ra B đúng.

Chứng minh tương tự ta có AD và BC cũng chéo nhau. Suy ra C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d’.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (SAD) và (SBC) có điểm S chung.

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\end{array} \right\} \Rightarrow \)Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx // AD //BC.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng a và b song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của 2 mặt phẳng đó song song với a và b

Lời giải chi tiết:

Vì AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC) và AD // BC nên giao tuyến (nếu có) của (SAD) và (SBC) song song với BC

Mà S là điểm chung của 2 mặt phẳng trên nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua S và song song BC

Chọn đáp án B

Phương pháp giải:

Phương pháp:

+) Chứng minh hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song.

+) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow AD//BC.\)

Điểm S thuộc cả 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC.

Phương pháp giải:

Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

A đúng vì hai đường thẳng chéo nhau không thuộc cùng 1 mặt phẳng.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và BD.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.    

Chọn: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. Là mệnh đề sai, do hai đường thẳng có thể chéo nhau.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Các cạnh của hình chóp chéo nhau với cạnh AB là SC và SD.

Chọn: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

IJ là đường trung bình của tam giác SAB \( \Rightarrow IJ//AB\)

EF là đường trung bình của tam giác SCD \( \Rightarrow EF//CD\)

Mà \(AB//CD \Rightarrow IJ//AB//CD//EF\)

IJ không song song với AD.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì có giao tuyến song song với chúng.

Lời giải chi tiết:

(SBC) và (SAD)  có điểm S chung.

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD và BC.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến (nếu có) song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

(SAB) và (MNP) có điểm P chung;

 \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\MN \subset \left( {MNP} \right)\\AB\parallel MN\end{array} \right. \Rightarrow\) Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (MNP) là đường thẳng qua P và song song với AB.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nếu \(a,\,\,b\) không đồng phẳng thì \(a,\,\,b\) chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Do CM và DN không đồng phẳng \( \Rightarrow \) CM và DN chéo nhau.

Chọn: A 

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Khi đó: \({0^0} \le \alpha  \le {90^0}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng trong không gian có thể có ba vị trí tương đối sau :

+ Song song

+ Cắt nhau

+ Trùng nhau

Chọn B

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha  \right)\\b \subset \left( \beta  \right)\\a\parallel b\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua điểm chung của hai mặt phẳng và song song với \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Xác định \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array} \right.\).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Câu C vì có thể hai đường thẳng đó song song.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng có 1 điểm chung và 2 cạnh song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy \(\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)\) có điểm chung thứ nhất là \(S\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có \(S\) là điểm chung thứ nhất.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Để tính góc giữa \(BA'\)  và \(CD\), ta tính góc giữa \(BA'\)  và \(BA//CD\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải

Vì \(AB//CD\) nên \(\left( {BA';CD} \right) = \left( {BA';AB} \right) = \widehat {A'BA} = {45^o}\).

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

Tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dùng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối là cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song hoặc trùng nhau, mà chúng lại đồng phẳng nên hai đường thẳng đó song song (Vì hai đường thẳng chéo nhau không đồng phẳng).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

Chứng minh thiết diện là hình thang mà không là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Trong (SAB) qua M kẻ MN // SB \(\left( N\in SA \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAB \right)=MN.\)

Trong (SAD) qua N kẻ NP // AD \(\left( P\in SD \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAD \right)=NP\)

Trong (ABCD) qua M kẻ MQ // AD \(\left( Q\in CD \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap MQ.\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SCD \right)=PQ.\)

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ (NP // MQ // AD và \(MQ\ne NP\))

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dùng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối là cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song hoặc chéo nhau.

B sai vì hai cạnh của 1 tứ diện có thể cắt nhau, chỉ hai cạnh đối mới chéo nhau.

C sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt có thể song song.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dùng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối là cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song hoặc chéo nhau.

B sai vì hai cạnh của 1 tứ diện có thể cắt nhau, chỉ hai cạnh đối mới chéo nhau.

C sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt có thể song song.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề 1) : Đúng

Mệnh đề 2) : Sai, ví dụ: (với (P) // (Q), \(a\subset (P),\,\,b\subset (Q)\) nhưng a không song song b

Mệnh đề 3) : Sai (vì 2 đường thẳng đó còn có thể song song với nhau)

Mệnh đề 4) : Sai

Ta xét các đường thẳng a, b, x, y sao cho a // b, x và y là hai đường thẳng chéo nhau; các giao điểm I, J, K, L (như hình vẽ).

Do a//b nên đường thẳng a và đường thẳng b là đồng phẳng, tức là tồn tại mặt phẳng (P) nào đó chứa đồng thời cả hai đường thẳng này.

Khi đó, các giao điểm I, J, K, L nằm trong (P) (vì chúng thuộc a, b)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \subset (P)\\y \subset (P)\end{array} \right.\)

Mà trong một mặt phẳng, 2 đường thẳng phân biệt, hoặc là song song nhau, hoặc là cắt nhau

=> x và y không thể là hai đường thẳng chéo nhau ! (mâu thuẫn với giả thiết đã cho).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựng đường thẳng d qua M và song song với AB, khi đó \(\widehat{\left( OM;AB \right)}=\widehat{\left( OM;d \right)}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của AC ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên AB // MN

\(\Rightarrow \widehat{\left( OM;AB \right)}=\widehat{\left( OM;MN \right)}\)

Đặt \(OA=OB=OC=1\) ta có:

Tam giác OAB vuông cân tại O nên \(AB=\sqrt{2}\Rightarrow MN=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Tam giác OAC vuông cân tại O nên \(AC=\sqrt{2}\Rightarrow ON=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên \(BC=\sqrt{2}\Rightarrow OM=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy tam giác OMN đều nên \(\widehat{\left( OM;MN \right)}=\widehat{OMN}={{60}^{0}}\)

Chọn C.  

Phương pháp giải:

+) Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và b’ với b’//b và b cắt a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\CD \cap SC = \left\{ C \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {AB;\;SC} \right)} = \widehat {\left( {CD;\;SC} \right)} = \widehat {SCD}.\)

Xét tam giác SDC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}C{D^2} = 2{a^2}\\S{C^2} + S{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow C{D^2} = S{C^2} + S{D^2} \Rightarrow \Delta SCD\)  vuông tại S.

\(\Rightarrow \cos \widehat{SCD}=\frac{SC}{CD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng lý thuyết của cơ bản của hình học không gian để loại trừ các đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng có thể cắt nhau hoặc trung nhau.

+) Đáp án B sai vì 3 điểm đó phải không thẳng hàng.

+) Đáp án C đúng.

+) Đáp án D sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định thiết diện của mặt phẳng và khối đa diện.

Lời giải chi tiết:

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại P.

Thiết diện là \(\Delta MNP,\) trong đó \(MN//AB,MP//AD.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai đường thẳng bằng tích vô hướng trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,H\) là trung điểm của \(BC.\)

Có \(BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H,\) có \(SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Ta có \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \left( \overrightarrow{SB};\overrightarrow{AC} \right)\) mà:

\(\begin{align} & \ \ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HB} \right).\overrightarrow{AC} \\ & =\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}\ \ \ \left( do\ \ SH\bot AC \right) \\& =-\,\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{CB} \right|.\left| \overrightarrow{CA} \right|.\cos \left( \overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA} \right) \\& =-\,\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a.\cos {{45}^{0}}=-\,\frac{{{a}^{2}}}{2}. \\\end{align}\)

Khi đó \(\cos \left( \overrightarrow{SB};\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{2}.a}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Vậy \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

AB // CD \(\Rightarrow \widehat{\left( AB;SC \right)}=\widehat{\left( CD;SC \right)}=\widehat{SCD}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: AB // CD \(\Rightarrow \widehat{\left( AB;SC \right)}=\widehat{\left( CD;SC \right)}=\widehat{SCD}\)

Xét tam giác SCD có:

\(S{{C}^{2}}+S{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}=C{{D}^{2}}\Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại S, lại có SC = SD (gt) \(\Rightarrow \Delta SCD\) vuông cân tại S \(\Rightarrow \widehat{SCD}={{45}^{0}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tích có hướng để xác định góc giữa hai vectơ

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) mà \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(A\)

\(\Rightarrow \)\(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC.\)

Mà \(SA=SB=SC\)\(\Rightarrow \,\,SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Ta có \(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HC} \right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AB}=-\,\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BA}\)           \(\left( 1 \right).\)

Mặt khác \(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BA}=\left| \overrightarrow{BH} \right|.\left| \overrightarrow{BA} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{BH};\overrightarrow{BA} \right)}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\cos {{45}^{0}}=\frac{1}{2}\)       \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=-\,\frac{1}{2}=\left| \overrightarrow{SC} \right|.\left| \overrightarrow{AB} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} \right)}\Rightarrow \cos \widehat{\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} \right)}=-\,\frac{1}{2}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) là \({{60}^{0}}.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+) Tìm góc giữa hai đường thẳng.

+) Dựa vào định lý Pi-ta-go để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD.\)

\(\Rightarrow NP//SC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

\(\Rightarrow \widehat{\left( MN;\ SC \right)}=\widehat{\left( MN;\ NP \right)}=\widehat{MNP}.\)

Ta có: \(NM=NP=\frac{a}{2};\,MP=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow M{{P}^{2}}=N{{M}^{2}}+N{{P}^{2}}\Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(N\) \(\Rightarrow \left( MN;SC \right)={{90}^{0}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{align}  {{d}_{1}}\subset \left( \alpha  \right) \\  {{d}_{2}}\subset \left( \beta  \right) \\  \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d\left( \left( \alpha  \right);\left( \beta  \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh đều bằng a

\(\Rightarrow (ABC)//(A'B'C')\Rightarrow d\left( AB;A'C' \right)=d\left( (ABC);(A'B'C') \right)=a\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b là góc giữa đường thẳng a’ và b với a // a’. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(AC//A'C'\Rightarrow \widehat{\left( AC,\ A'D \right)}=\widehat{\left( A'C',\ A'D \right).}\)

Ta có \(\Delta DA'C'\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{DA'C'}={{60}^{0}}.\) \(\Rightarrow \widehat{\left( AC,\ A'D \right)}={{60}^{0}}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

CMR: AB vuông góc SC, từ đó suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB và SC bằng \({90^0}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SAC) \Rightarrow AB \bot SC\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {AB;SC}} \right) = {90^0} = \frac{\pi }{2}\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Dựng MN // BD \( \Rightarrow \widehat {\left( {AM;BD} \right)} = \widehat {\left( {AM;MN} \right)}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của SD ta có MN // BD

\( \Rightarrow \widehat {\left( {AM;BD} \right)} = \widehat {\left( {AM;MN} \right)}\).

Tam giác SAB và SAD vuông cân tại A \( \Rightarrow SB = SD = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow AM = AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow BD = a\sqrt 2  \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy tam giác AMN đều \( \Rightarrow \widehat {\left( {AM;MN} \right)} = \widehat {AMN} = {60^0}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi N là trung điểm của AD \( \Rightarrow \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \widehat {\left( {MN;BM} \right)}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của AD ta có MN // AC

\( \Rightarrow \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \widehat {\left( {MN;BM} \right)}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \cos \widehat {\left( {MN;BM} \right)} = \left| {\cos \widehat {BMN}} \right|\)

Xét tam giác BMN có:

\(\cos \widehat {BMN} = \frac{{B{M^2} + M{N^2} - B{N^2}}}{{2BM.MN}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \(\cos \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(BB'//CC' \Rightarrow BB'//\left( {ACC'} \right) \Rightarrow d\left( {BB';AC'} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACC'} \right)} \right)\)

Kẻ \(BH \bot AC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {ACC'} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'} \right)} \right) = BH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có \(AH = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định giao tuyến của các mặt phẳng chứa các đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\\left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = d\\\left( {GMN} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\\MN//CD\end{array} \right. \Rightarrow \)Giao tuyến d của \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua G song song với BC.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Vì \(A'B//D'C\) nên \(\left( \widehat{A'C';D'C} \right)=\left( \widehat{A'C';A'B} \right)\).

Tam giác \(A'BC'\) có \(A'B=BC'=A'C'\)(là các đường chéo của các mặt)

\(\Rightarrow \widehat{BA'C'}={{60}^{0}}\)

\(\Rightarrow \left( \widehat{A'C';D'C} \right)={{60}^{0}}\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

MN // BC // NQ, \(MP = \frac{1}{2}BC = NQ \Leftrightarrow MPNQ\) là hình bình hành nên M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng

\(MR//CD//SN,\,\,MR = \frac{1}{2}CD = SN \Rightarrow MRNS\) là hình bình hành nên M, R, S, N thuộc cùng một mặt phẳng

\(PS//AC//RQ,\,\,PS = \frac{1}{2}AC = RQ \Rightarrow PSQR\) là hình bình hành nên P, S, Q, R thuộc cùng một mặt phẳng

Chọn: D

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện của mặt tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) có:

P chung

\(MN \subset \left( {MNP} \right);\,\,AC \subset \left( {ACD} \right);\,\,MN//AC\) (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng qua P và song song với AC.

Trong \(\left( {ACD} \right)\) kẻ \(PQ//AC\,\,\left( {Q \in AD} \right)\), khi đó M, N, P, Q đồng phẳng.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AQ}}{{DQ}} = \frac{{CP}}{{DP}} = 2 \Rightarrow AQ = 2DQ\)

Chọn đáp án C. 

Phương pháp giải:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\),

d là đường thẳng qua S và song song với AB, CD (1)

Do  E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC \(\Rightarrow EF\) là đường trung bình của hình thang ABCD \( \Rightarrow EF//AB//CD\) (2)

Từ (1), (2) suy ra:  Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng qua S và song song với EF.

Chọn: D

Phương pháp giải:

Xác định các điểm chung của 2 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là giao điểm của AC và BM \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\I \in BM \subset \left( {SBM} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\). Mà  \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right) = SI\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm của (PQR) với các cạnh của tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{AP}}{{AB}} = \dfrac{{CQ}}{{CB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ//AC\)

Trong (ACD), dựng \(RS//AC,\left( {S \in AD} \right)\)

\( \Rightarrow RS//PQ\left( {//AC} \right) \Rightarrow S,R,Q,P\) đồng phẳng

\( \Rightarrow \left( {PQRS} \right)\) trùng với \(\left( {PQR} \right)\) và thiết diện của mặt phẳng (PQR) với tứ diện ABCD là tứ giác PQRS

Ta có:  \(RS//PQ \Rightarrow PQRS\) là hình thang.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cùng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\) là đường thẳng qua S và song song với AD, BC.

Chọn: D

Phương pháp giải:

Chứng minh từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

MN là đường trung bình của tam giác ABD \( \Rightarrow MN//BD\).

Mà \(BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {BCD} \right) \Rightarrow \) Đáp án A, D đúng.

Dễ thấy \(C \notin \left( {MND} \right) \Rightarrow MN\) va CD chéo nhau \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các yếu tố song song xác định thiết diện.

Lời giải chi tiết:

Trong (SAC) qua I kẻ ME // SA \(\left( {M \in SC;E \in AC} \right)\).

Trong (ABCD) qua E kẻ PQ // BD \(\left( {P \in AB;\,\,Q \in AD} \right)\).

Trong (SAB) kẻ PN // SA \(\left( {N \in SB} \right)\), trong (SAD) kẻ QR // SA \(\left( {R \in SD} \right)\).

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

MP là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow \) MN // BC.

NQ là đường trung bình của tam giác BCD \( \Rightarrow \) NQ // BC.

Vậy MP // NQ.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Suy luận từng mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A sai vì Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với \(\left( \alpha  \right)\). Các đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

Lời giải chi tiết:

Gọi Q là trung điểm của AD.

Ta có: \(PQ//AC\) (do PQ là đường trung bình của tam giác ACD)

      \(MN//AC\) (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

 \( \Rightarrow PQ//MN \Rightarrow M,N,P,Q\) đồng phẳng \( \Rightarrow Q \in \left( {MNP} \right)\)

\( \Rightarrow \) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNQP

Ta có: \(PQ//MN,\,\,PQ = MN\left( { = \dfrac{1}{2}AC} \right) \Rightarrow MNQP\) là hình bình hành

Vậy, thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNP) là hình bình hành.

Chọn: D

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(a,\;b\)  là góc giữa đường thẳng \(a',\;b'\) với \(a//a',\;\;b//b'.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SH \bot AD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \supset SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(ABCD\) là hình vuông

\( \Rightarrow AD//BC \Rightarrow \angle \left( {BC,\;SA} \right) = \angle \left( {AD,\;SA} \right) = \angle SAD.\)

Lại \(\Delta SAD\) là tam giác đều \( \Rightarrow \angle \left( {BC,\;SA} \right) = \angle SAD = {60^0}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(AB \bot \left( {CDM} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có :

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).

\(\Delta ABD\) đều \( \Rightarrow DM \bot AB\)

\( \Rightarrow AB \bot \left( {MCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD \Rightarrow \angle \left( {AB;CD} \right) = {90^0}\).

Chọn C.