60 bài tập hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song mức độ nhận biết, thông hiểu

Làm bài

Câu hỏi 1 :

Cho a, b là hai đường thẳng song song với nhau. Chọn khẳng định sai:

  • A Hai đường thẳng a và b cùng nằm trên hai mặt phẳng.
  • B  Nếu c là đường thẳng song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
  • C  Mọi mặt phẳng cắt a đều cắt b.
  • D  Mọi đường thẳng cắt a đều cắt b

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy A, B, C đều đúng.

D sai.

Xét trong mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Lấy 1 đường thẳng c cắt a nhưng đường thẳng c này không cắt b.

 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hình chóp S.ABCD. Các đường thẳng chéo với AD là:

 

  • A BC, SA                             
  • B  SB, SC                              
  • C  SA, AD                            

     

  • D AB, CD

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Các đường thẳng chéo nhau là các đường thẳng không thuộc cùng mặt phẳng.

 

Lời giải chi tiết:

Các đường thẳng chéo với AD là SB và SC.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD. Khi đó đoạn thẳng \({G_1}{G_2}\) bằng:

 

  • A \(\frac{a}{4}\)                                                

     

  • B \(\frac{a}{3}\)                                    
  • C  \(\frac{2a}{3}\)                                              

     

  • D \(\frac{3a}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác, định lí Ta-let đảo để suy ra các đoạn thẳng song song và tỉ lệ đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của CD ta có: \(\frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{E{{G}_{2}}}{EB}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel AB\) (định lí Ta-let đảo)

Và \(\frac{{{G}_{1}}{{G}_{2}}}{AB}=\frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}=\frac{1}{3}AB=\frac{a}{3}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

  • A  Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
  • B  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
  • C  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

     

  • D Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Suy ra trực tiếp tính đúng sai của các đáp án. Hai đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: Song song, chéo nhau và cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chưa thể xác định được chéo nhau hay song song, hay cắt nhau.

B sai. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.

D sai. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau hoặc cắt nhau.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

 Cho tứ diện ABCD. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào SAI ?

  • A  AB và CD chéo nhau                                                        

     

  • B A, B, C, D không đồng phẳng.
  • C AD và BC không cắt nhau                                              

      

  • D AC cắt BD.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Suy ra trực tiếp tính đúng sai của các đáp án. Hai đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: Song song, chéo nhau và cắt nhau.

 

 

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ ta thấy AC và BD là hai đường thẳng chéo nhau nên không thể cắt nhau. Vậy D sai.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho 2 đường thẳng a, b chéo nhau. Trên a lấy hai điểm A, B. Trên b lấy 2 điểm C, D. Mệnh đề nào sau đây sai?

  • A  AB và CD chéo nhau                                                        
  • B  AC và BD chéo nhau.
  • C  AD và BC chéo nhau                                                        
  • D  AC, BD cùng thuộc 1 mặt phẳng

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Suy ra trực tiếp tính đúng sai của các đáp án. Hai đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: Song song, chéo nhau và cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

\(AB\subset a,CD\subset b\). MÀ a và b chéo nhau nên AB và CD chéo nhau. Suy ra A đúng.

Giả sử \(E=AC\cap BD\) ta có: A, B, C, D, E đồng phẳng AB và CD cắt nhau. Mà AB và CD chéo nhau (Mâu thuẫn). Vậy AC và BD không cắt nhau.

Tương tự nếu AC và BD song song ta cũng chỉ ra được mâu thuẫn như trên. Vậy AC và BD chéo nhau.

Suy ra B đúng.

Chứng minh tương tự ta có AD và BC cũng chéo nhau. Suy ra C đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là

  • A  SO                                         
  • B  Sx // AD // BC                                  
  • C  SA                                         
  • D  SD

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d’.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (SAD) và (SBC) có điểm S chung.

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\end{array} \right\} \Rightarrow \)Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx // AD //BC.

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A d qua S và song song với AB 
  • B d qua S và song song với BC
  • C d qua S và song song với BD   
  • D d qua S và song song với DC

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng a và b song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của 2 mặt phẳng đó song song với a và b

Lời giải chi tiết:

Vì AD ⊂ (SAD) , BC ⊂ (SBC) và AD // BC nên giao tuyến (nếu có) của (SAD) và (SBC) song song với BC

Mà S là điểm chung của 2 mặt phẳng trên nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua S và song song BC

Chọn đáp án B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

  • A  d qua S và song song với BD.                                                
  • B d qua S và song song với BC.
  • C d qua S và song song với AB.                                                
  • D  d qua S và song song với DC.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương pháp:

+) Chứng minh hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song.

+) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow AD//BC.\)

Điểm S thuộc cả 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A  Hai đường thẳng phân biệt cùng nàm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
  • B Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
  • C Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau.
  • D Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

A đúng vì hai đường thẳng chéo nhau không thuộc cùng 1 mặt phẳng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tứ diện \(ABCD\). Phát biểu nào sau đây đúng?

  • A Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
  • B  Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.                                       
  • C  Tồn tại một mặt phẳng chứa hai đường thẳng\(AC\) và \(BD\).                  
  • D  Không thể vẽ hình biểu diễn tứ diện \(ABCD\) bằng các nét liền.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và BD.

Lời giải chi tiết:

 

 

Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.    

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A  Hai đường thẳng phân biệt không có quá một điểm chung.
  • B  Hai đường thẳng cắt nhau thì không song song với nhau.   
  • C  Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
  • D  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. Là mệnh đề sai, do hai đường thẳng có thể chéo nhau.

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hình chóp S.ABCD. Có bao nhiêu cạnh của hình chóp chéo nhau với cạnh AB?

  • A 1
  • B 3
  • C 4
  • D 2

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

 

 

Các cạnh của hình chóp chéo nhau với cạnh AB là SC và SD.

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?

  • A AD.
  • B DC
  • C EF
  • D AB

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

IJ là đường trung bình của tam giác SAB \( \Rightarrow IJ//AB\)

EF là đường trung bình của tam giác SCD \( \Rightarrow EF//CD\)

Mà \(AB//CD \Rightarrow IJ//AB//CD//EF\)

IJ không song song với AD.

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là.

  • A Đường thẳng d đi qua S và song song với AD
  • B Đường thẳng d đi qua S và song song với AB.
  • C SO với O là giao điểm của AC và BD.
  • D SM với M là trung điểm của CD.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì có giao tuyến song song với chúng.

Lời giải chi tiết:

(SBC) và (SAD)  có điểm S chung.

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD và BC.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của BC, AD và SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MNP).

  • A Đường thẳng qua M và song song với SC.            
  • B Đường thẳng qua P và song song với AB.

       

  • C Đường thẳng PM.                                                  
  • D Đường thẳng qua S và song song với AB.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến (nếu có) song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

(SAB) và (MNP) có điểm P chung;

 \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\MN \subset \left( {MNP} \right)\\AB\parallel MN\end{array} \right. \Rightarrow\) Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (MNP) là đường thẳng qua P và song song với AB.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho tứ diện ABCDM, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

      CM và DN chéo nhau.

  • B

      CM và DN cắt nhau. 

  • C

      CM và DN đồng phẳng.

  • D   CM và DN song song.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Nếu \(a,\,\,b\) không đồng phẳng thì \(a,\,\,b\) chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

 

Do CM và DN không đồng phẳng \( \Rightarrow \) CM và DN chéo nhau.

Chọn: A 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Khi đó:

  • A \({0^0} \le \alpha  \le {360^0}\)
  • B \(\alpha  \ge {180^0}\)
  • C \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\)
  • D \({0^0} \le \alpha  \le {90^0}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Khi đó: \({0^0} \le \alpha  \le {90^0}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian, hai mặt phẳng tùy ý có thể có bao nhiêu vị trí tương đối nhau?

  • A \(4\)
  • B \(3\)
  • C \(2\)
  • D \(1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng trong không gian có thể có ba vị trí tương đối sau :

+ Song song

+ Cắt nhau

+ Trùng nhau

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là:

  • A Đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AB\). 
  • B Đường thẳng \(SO\).
  • C Đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AD\).
  • D Không có giao tuyến.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha  \right)\\b \subset \left( \beta  \right)\\a\parallel b\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua điểm chung của hai mặt phẳng và song song với \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Xác định \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array} \right.\).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A Hai đường thảng phân biệt không cắt nhau và không song sng thì chéo nhau.
  • B Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
  • C Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
  • D Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Câu C vì có thể hai đường thẳng đó song song.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là:

  • A Đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\).
  • B Đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AC\).
  • C Đường thẳng \(SO\).
  • D Đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng có 1 điểm chung và 2 cạnh song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy \(\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)\) có điểm chung thứ nhất là \(S\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào:

  • A \(AC\)
  • B \(BD\)
  • C \(SC\)
  • D \(AD\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có \(S\) là điểm chung thứ nhất.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(BA'\) và \(CD\) bằng

  • A \({90^o}\) 
  • B \({60^o}\)    
  • C \({30^o}\) 
  • D  \({45^o}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp: Để tính góc giữa \(BA'\)  và \(CD\), ta tính góc giữa \(BA'\)  và \(BA//CD\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải

Vì \(AB//CD\) nên \(\left( {BA';CD} \right) = \left( {BA';AB} \right) = \widehat {A'BA} = {45^o}\).

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

 Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AD. Đường thẳng MN song song với:

  • A  AB                                    
  • B  BC                                     
  • C  PC                                     
  • D  BD

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính chất đường trung bình của tam giác.

 

 

Lời giải chi tiết:

 

 

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

 Cho hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trên một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó:        

 

  • A Song song                         
  • B  Chéo nhau                         
  • C  Cắt nhau                            

     

  • D Trùng nhau.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dùng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối là cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song hoặc trùng nhau, mà chúng lại đồng phẳng nên hai đường thẳng đó song song (Vì hai đường thẳng chéo nhau không đồng phẳng).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

 Cho hình chóp S.ABCD, gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua M song song với SB và AD. Hỏi thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha  \right)\) và hình chóp S.ABCD là hình gì?

  • A  Hình thang                                    
  • B  Ngũ giác                                         
  • C  Hình bình hành                            

     

  • D Tứ giác.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

Chứng minh thiết diện là hình thang mà không là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Trong (SAB) qua M kẻ MN // SB \(\left( N\in SA \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAB \right)=MN.\)

Trong (SAD) qua N kẻ NP // AD \(\left( P\in SD \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAD \right)=NP\)

Trong (ABCD) qua M kẻ MQ // AD \(\left( Q\in CD \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap MQ.\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SCD \right)=PQ.\)

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ (NP // MQ // AD và \(MQ\ne NP\))

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

 Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?

  • A  a và b không có điểm chung.
  • B  a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
  • C  a và b nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt.
  • D  a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dùng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối là cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song hoặc chéo nhau.

B sai vì hai cạnh của 1 tứ diện có thể cắt nhau, chỉ hai cạnh đối mới chéo nhau.

C sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt có thể song song.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AD. Đường thẳng MN song song với:

  • A  AB                                                    

     

  • B BC                                                     
  • C PC                                                     
  • D  BD

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?

  • A  a và b không có điểm chung.
  • B a và b là hai cạnh của một hình tứ diện.
  • C  a và b nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt.
  • D  a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dùng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối là cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song hoặc chéo nhau.

B sai vì hai cạnh của 1 tứ diện có thể cắt nhau, chỉ hai cạnh đối mới chéo nhau.

C sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt có thể song song.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

 Cho bốn mệnh đề sau:

1) Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đều song song với \(\left( \beta  \right)\).

2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.

3) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

4) Có thể tìm được hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?

  • A 4
  • B 2
  • C 1
  • D 3

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề 1) : Đúng

Mệnh đề 2) : Sai, ví dụ: (với (P) // (Q), \(a\subset (P),\,\,b\subset (Q)\) nhưng a không song song b

 

Mệnh đề 3) : Sai (vì 2 đường thẳng đó còn có thể song song với nhau)

Mệnh đề 4) : Sai

Ta xét các đường thẳng a, b, x, y sao cho a // b, x và y là hai đường thẳng chéo nhau; các giao điểm I, J, K, L (như hình vẽ).

Do a//b nên đường thẳng a và đường thẳng b là đồng phẳng, tức là tồn tại mặt phẳng (P) nào đó chứa đồng thời cả hai đường thẳng này.

Khi đó, các giao điểm I, J, K, L nằm trong (P) (vì chúng thuộc a, b)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \subset (P)\\y \subset (P)\end{array} \right.\)

Mà trong một mặt phẳng, 2 đường thẳng phân biệt, hoặc là song song nhau, hoặc là cắt nhau

=> x và y không thể là hai đường thẳng chéo nhau ! (mâu thuẫn với giả thiết đã cho).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA=OB=OC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (tham khảo hình vẽ bên).

Góc giữa hai đường thẳng \(OM\) và \(AB\) bằng

  • A  \({{90}^{0}}\)
  • B \({{30}^{0}}\)
  • C  \({{60}^{0}}\)
  • D \({{45}^{0}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Dựng đường thẳng d qua M và song song với AB, khi đó \(\widehat{\left( OM;AB \right)}=\widehat{\left( OM;d \right)}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của AC ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên AB // MN

\(\Rightarrow \widehat{\left( OM;AB \right)}=\widehat{\left( OM;MN \right)}\)

Đặt \(OA=OB=OC=1\) ta có:

Tam giác OAB vuông cân tại O nên \(AB=\sqrt{2}\Rightarrow MN=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Tam giác OAC vuông cân tại O nên \(AC=\sqrt{2}\Rightarrow ON=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên \(BC=\sqrt{2}\Rightarrow OM=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy tam giác OMN đều nên \(\widehat{\left( OM;MN \right)}=\widehat{OMN}={{60}^{0}}\)

Chọn C.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt{2}.\) Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

  • A \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)                                      
  • B \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)                                      
  • C \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)                                      
  • D \(\frac{1}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và b’ với b’//b và b cắt a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\CD \cap SC = \left\{ C \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {AB;\;SC} \right)} = \widehat {\left( {CD;\;SC} \right)} = \widehat {SCD}.\)

Xét tam giác SDC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}C{D^2} = 2{a^2}\\S{C^2} + S{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow C{D^2} = S{C^2} + S{D^2} \Rightarrow \Delta SCD\)  vuông tại S.

\(\Rightarrow \cos \widehat{SCD}=\frac{SC}{CD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

  • A  Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.                          
  • B Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó đi qua 3 điểm.                                   
  • C Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó.                            
  • D Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng lý thuyết của cơ bản của hình học không gian để loại trừ các đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng có thể cắt nhau hoặc trung nhau.

+) Đáp án B sai vì 3 điểm đó phải không thẳng hàng.

+) Đáp án C đúng.

+) Đáp án D sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho tứ diện \(ABCD.\) Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AC\,\,\left( M \right.\) khác \(A,\,\,M\) khác \(\left. C \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(AD.\) Thiết diện của \(\left( \alpha  \right)\) với tứ diện \(ABCD\) là hình gì?

  • A  Hình tam giác.  
  • B Hình bình hành.               
  • C  Hình vuông.      
  • D  Hình chữ nhật.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định thiết diện của mặt phẳng và khối đa diện.


Lời giải chi tiết:

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại P.

Thiết diện là \(\Delta MNP,\) trong đó \(MN//AB,MP//AD.\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB=AC=a.\) Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) trên mặt đáy \(\left( ABC \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(SH=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC.\) Khi đó

  • A  \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{14}}{4}.\)  
  • B   \(\cos \varphi =\sqrt{7}.\)       
  • C  \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{4}.\)     
  • D \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{7}}{7}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai đường thẳng bằng tích vô hướng trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,H\) là trung điểm của \(BC.\)

Có \(BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H,\) có \(SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Ta có \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \left( \overrightarrow{SB};\overrightarrow{AC} \right)\) mà:

\(\begin{align} & \ \ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HB} \right).\overrightarrow{AC} \\ & =\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}\ \ \ \left( do\ \ SH\bot AC \right) \\& =-\,\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{CB} \right|.\left| \overrightarrow{CA} \right|.\cos \left( \overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA} \right) \\& =-\,\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a.\cos {{45}^{0}}=-\,\frac{{{a}^{2}}}{2}. \\\end{align}\)

Khi đó \(\cos \left( \overrightarrow{SB};\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{2}.a}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Vậy \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Chọn C

 


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng \(a\sqrt{2}\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

  • A \({{30}^{0}}\)                                             
  • B   \({{60}^{0}}\)                                  
  • C  \({{90}^{0}}\)                                  
  • D   \({{45}^{0}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

AB // CD \(\Rightarrow \widehat{\left( AB;SC \right)}=\widehat{\left( CD;SC \right)}=\widehat{SCD}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: AB // CD \(\Rightarrow \widehat{\left( AB;SC \right)}=\widehat{\left( CD;SC \right)}=\widehat{SCD}\)

Xét tam giác SCD có:

\(S{{C}^{2}}+S{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}=C{{D}^{2}}\Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại S, lại có SC = SD (gt) \(\Rightarrow \Delta SCD\) vuông cân tại S \(\Rightarrow \widehat{SCD}={{45}^{0}}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có độ dài các cạnh \(SA=SB=SC=AB=AC=a\) và \(BC=a\sqrt{2}.\) Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) là

 

  • A

    \({{45}^{0}}.\)   

  • B

    \({{90}^{0}}.\)   

  • C

    \({{30}^{0}}.\)   

  • D  \({{60}^{0}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tích có hướng để xác định góc giữa hai vectơ

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) mà \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(A\)

\(\Rightarrow \)\(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC.\)

Mà \(SA=SB=SC\)\(\Rightarrow \,\,SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Ta có \(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HC} \right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AB}=-\,\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BA}\)           \(\left( 1 \right).\)

Mặt khác \(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BA}=\left| \overrightarrow{BH} \right|.\left| \overrightarrow{BA} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{BH};\overrightarrow{BA} \right)}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\cos {{45}^{0}}=\frac{1}{2}\)       \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=-\,\frac{1}{2}=\left| \overrightarrow{SC} \right|.\left| \overrightarrow{AB} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} \right)}\Rightarrow \cos \widehat{\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} \right)}=-\,\frac{1}{2}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) là \({{60}^{0}}.\)

Chọn D

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của\(AD\) và \(SD\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SC.\)

  • A \({{45}^{0}}.\)                                              
  • B    \({{60}^{0}}.\)                                   
  • C \({{30}^{0}}.\)                                   
  • D   \({{90}^{0}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Tìm góc giữa hai đường thẳng.

+) Dựa vào định lý Pi-ta-go để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD.\)

\(\Rightarrow NP//SC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

\(\Rightarrow \widehat{\left( MN;\ SC \right)}=\widehat{\left( MN;\ NP \right)}=\widehat{MNP}.\)

Ta có: \(NM=NP=\frac{a}{2};\,MP=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow M{{P}^{2}}=N{{M}^{2}}+N{{P}^{2}}\Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(N\) \(\Rightarrow \left( MN;SC \right)={{90}^{0}}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C’ bằng

  • A

    \(a\sqrt{3}\).                                       

  • B

     \(a\).                                       

  • C

    \(2a\).                          

  • D  \(a\sqrt{2}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{align}  {{d}_{1}}\subset \left( \alpha  \right) \\  {{d}_{2}}\subset \left( \beta  \right) \\  \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d\left( \left( \alpha  \right);\left( \beta  \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh đều bằng a

\(\Rightarrow (ABC)//(A'B'C')\Rightarrow d\left( AB;A'C' \right)=d\left( (ABC);(A'B'C') \right)=a\)

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'D\) bằng:

 

  • A  \({{45}^{0}}\)
  • B  \({{30}^{0}}\) 
  • C \({{60}^{0}}\) 
  • D \({{90}^{0}}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b là góc giữa đường thẳng a’ và b với a // a’. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(AC//A'C'\Rightarrow \widehat{\left( AC,\ A'D \right)}=\widehat{\left( A'C',\ A'D \right).}\)

Ta có \(\Delta DA'C'\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{DA'C'}={{60}^{0}}.\) \(\Rightarrow \widehat{\left( AC,\ A'D \right)}={{60}^{0}}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot (ABC)\), \(\Delta ABC\) vuông tại A. Góc giữa 2 đường thẳng ABSC bằng: 

  • A \(\frac{\pi }{4}\).
  • B \(\frac{{3\pi }}{4}\).
  • C \(\frac{\pi }{3}\).         
  • D \(\frac{\pi }{2}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

CMR: AB vuông góc SC, từ đó suy ra góc giữa 2 đường thẳng ABSC bằng \({90^0}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SAC) \Rightarrow AB \bot SC\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {AB;SC}} \right) = {90^0} = \frac{\pi }{2}\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa hai đường thẳng AM và BD bằng:

  • A

     \({30^0}\)                            

  • B

     \({60^0}\)                            

  • C

     \({45^0}\)                            

  • D  \({90^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựng MN // BD \( \Rightarrow \widehat {\left( {AM;BD} \right)} = \widehat {\left( {AM;MN} \right)}\)

Lời giải chi tiết:

 

Gọi N là trung điểm của SD ta có MN // BD

\( \Rightarrow \widehat {\left( {AM;BD} \right)} = \widehat {\left( {AM;MN} \right)}\).

Tam giác SAB và SAD vuông cân tại A \( \Rightarrow SB = SD = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow AM = AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow BD = a\sqrt 2  \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy tam giác AMN đều \( \Rightarrow \widehat {\left( {AM;MN} \right)} = \widehat {AMN} = {60^0}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng :

 

  • A  \(\sqrt 3 \)                                      
  • B  \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
  • C  \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)                             
  • D  \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi N là trung điểm của AD \( \Rightarrow \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \widehat {\left( {MN;BM} \right)}\)

Lời giải chi tiết:

 

 

 

Gọi N là trung điểm của AD ta có MN // AC

\( \Rightarrow \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \widehat {\left( {MN;BM} \right)}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \cos \widehat {\left( {MN;BM} \right)} = \left| {\cos \widehat {BMN}} \right|\)

Xét tam giác BMN có:

\(\cos \widehat {BMN} = \frac{{B{M^2} + M{N^2} - B{N^2}}}{{2BM.MN}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \(\cos \widehat {\left( {AC;BM} \right)} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = a;\,\,AD = 2a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’ bằng:

 

  • A \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)                         
  • B  \(a\sqrt 5 \)
  • C  \(2a\)                                               
  • D  a

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

 

 

Ta có \(BB'//CC' \Rightarrow BB'//\left( {ACC'} \right) \Rightarrow d\left( {BB';AC'} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACC'} \right)} \right)\)

Kẻ \(BH \bot AC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {ACC'} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'} \right)} \right) = BH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có \(AH = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ADAC, G là trọng tâm \(\Delta BCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng:

  • A  qua M và song song với AB.                                     
  • B qua N và song song với BD.              
  • C qua G và song song với CD.                                      
  • D  qua G và song song với BC.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định giao tuyến của các mặt phẳng chứa các đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

 

 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\\left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = d\\\left( {GMN} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\\MN//CD\end{array} \right. \Rightarrow \)Giao tuyến d của \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua G song song với BC.

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa A’C’D’C là:

 

  • A  \({{120}^{0}}\).                                 
  • B  \({{90}^{0}}\).                         
  • C \({{60}^{0}}\).                         
  • D \({{45}^{0}}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Vì \(A'B//D'C\) nên \(\left( \widehat{A'C';D'C} \right)=\left( \widehat{A'C';A'B} \right)\).

Tam giác \(A'BC'\) có \(A'B=BC'=A'C'\)(là các đường chéo của các mặt)

\(\Rightarrow \widehat{BA'C'}={{60}^{0}}\)

\(\Rightarrow \left( \widehat{A'C';D'C} \right)={{60}^{0}}\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho tứ diện ABCD. Các cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC có trung điểm lần lượt là M, N, P, Q, R, S. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?

  • A M, N, P, Q.                             
  • B M, R, S, N.                              
  • C P, Q, R, S.                              
  • D  M, P, R, S.     

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

 

MN // BC // NQ, \(MP = \frac{1}{2}BC = NQ \Leftrightarrow MPNQ\) là hình bình hành nên M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng

\(MR//CD//SN,\,\,MR = \frac{1}{2}CD = SN \Rightarrow MRNS\) là hình bình hành nên M, R, S, N thuộc cùng một mặt phẳng

\(PS//AC//RQ,\,\,PS = \frac{1}{2}AC = RQ \Rightarrow PSQR\) là hình bình hành nên P, S, Q, R thuộc cùng một mặt phẳng

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho tứ diện ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho \(CP = 2PD\) và Q là điểm thuộc cạnh AD sao cho bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A  Q là trung điểm của đoạn thẳng AC                                    
  • B \(DQ = 2AQ\)
  • C  \(AQ = 2DQ\)                                                                     
  • D  \(AQ = 3DQ\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện của mặt tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Lời giải chi tiết:

 

 

Xét mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) có:

P chung

\(MN \subset \left( {MNP} \right);\,\,AC \subset \left( {ACD} \right);\,\,MN//AC\) (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng qua P và song song với AC.

Trong \(\left( {ACD} \right)\) kẻ \(PQ//AC\,\,\left( {Q \in AD} \right)\), khi đó M, N, P, Q đồng phẳng.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AQ}}{{DQ}} = \frac{{CP}}{{DP}} = 2 \Rightarrow AQ = 2DQ\)

Chọn đáp án C. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD \(\left( {AB//CD} \right)\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là:

  • A Đường thẳng qua S và qua giao điểm của cặp đường thẳng AB, SC.
  • B Đường thẳng qua S và song song với AD.
  • C  Đường thẳng qua S và song song với AF.                
  • D  Đường thẳng qua S và song song với EF.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Lời giải chi tiết:

 

 

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\),

d là đường thẳng qua S và song song với AB, CD (1)

Do  E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC \(\Rightarrow EF\) là đường trung bình của hình thang ABCD \( \Rightarrow EF//AB//CD\) (2)

Từ (1), (2) suy ra:  Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng qua S và song song với EF.

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 51 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình thang\(ABCD\left( {AD//BC} \right)\). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là: 

  • A SO (O là giao điểm của ACBD).
  • B SJ (J là giao điểm của AMBD).
  • C SI (I là giao điểm của ACBM).
  • D SP (P là giao điểm của ABCD).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định các điểm chung của 2 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là giao điểm của ACBM \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\I \in BM \subset \left( {SBM} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\). Mà  \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right) = SI\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 52 :

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho \(AP = \dfrac{1}{3}AB,\,\)\(BC = 3QC\), R không trùng với C, D. Gọi PQRS là thiết diện của mặt phẳng (PQR) với tứ diện ABCD. Khi đó PQRS là: 

  • A Hình thang cân.
  • B Hình thang
  • C Một tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song.
  • D Hình bình hành.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm của (PQR) với các cạnh của tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{AP}}{{AB}} = \dfrac{{CQ}}{{CB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ//AC\)

Trong (ACD), dựng \(RS//AC,\left( {S \in AD} \right)\)

\( \Rightarrow RS//PQ\left( {//AC} \right) \Rightarrow S,R,Q,P\) đồng phẳng

\( \Rightarrow \left( {PQRS} \right)\) trùng với \(\left( {PQR} \right)\) và thiết diện của mặt phẳng (PQR) với tứ diện ABCD là tứ giác PQRS

Ta có:  \(RS//PQ \Rightarrow PQRS\) là hình thang.

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 53 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh DC, BC, SA. Gọi H là giao điểm của AC và MN. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d. Chọn câu trả lời đúng:

  • A d // AB
  • B d // SO.
  • C d qua S, O
  • D d // AD.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cùng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\) là đường thẳng qua S và song song với AD, BC.

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 54 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Khẳng định nào sau đây sai

  • A NM song song với mặt phẳng (BCD).              
  • B  NM và CD chéo nhau.
  • C NM và CD cắt nhau.    
  • D NM song song với BD.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chứng minh từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

MN là đường trung bình của tam giác ABD \( \Rightarrow MN//BD\).

Mà \(BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {BCD} \right) \Rightarrow \) Đáp án A, D đúng.

Dễ thấy \(C \notin \left( {MND} \right) \Rightarrow MN\) va CD chéo nhau \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 55 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm AO. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) qua I và song song với BD, SA là một hình :

  • A Tam giác 
  • B Lục giác
  • C Hình bình hành
  • D Ngũ giác

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các yếu tố song song xác định thiết diện.

Lời giải chi tiết:

Trong (SAC) qua I kẻ ME // SA \(\left( {M \in SC;E \in AC} \right)\).

Trong (ABCD) qua E kẻ PQ // BD \(\left( {P \in AB;\,\,Q \in AD} \right)\).

Trong (SAB) kẻ PN // SA \(\left( {N \in SB} \right)\), trong (SAD) kẻ QR // SA \(\left( {R \in SD} \right)\).

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 56 :

Cho tứ diện ABCD, gọi các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AC, BD. Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A MN, PQ, BC đôi một song song 
  • B MP // BD
  • C MN // PQ 
  • D MP // NQ

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

MP là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow \) MN // BC.

NQ là đường trung bình của tam giác BCD \( \Rightarrow \) NQ // BC.

Vậy MP // NQ.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 57 :

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a chứa M và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

         

  • B Cho đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa a và song song với b.

         

  • C Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa điểm M và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

       

  • D Cho đường thẳng a và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa a và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Suy luận từng mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A sai vì Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với \(\left( \alpha  \right)\). Các đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 58 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNP) là hình gì trong các hình sau?

  • A Hình thoi.
  • B Hình vuông
  • C Hình chữ nhật.
  • D Hình bình hành.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

Lời giải chi tiết:

Gọi Q là trung điểm của AD.

Ta có: \(PQ//AC\) (do PQ là đường trung bình của tam giác ACD)

      \(MN//AC\) (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

 \( \Rightarrow PQ//MN \Rightarrow M,N,P,Q\) đồng phẳng \( \Rightarrow Q \in \left( {MNP} \right)\)

\( \Rightarrow \) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNQP

Ta có: \(PQ//MN,\,\,PQ = MN\left( { = \dfrac{1}{2}AC} \right) \Rightarrow MNQP\) là hình bình hành

Vậy, thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNP) là hình bình hành.

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 59 :

Cho hình chóp S.ABCDABCD là hình vuông cạnh a;  (SAD) ^ (ABCD), tam giác SAD đều. Góc giữa BCSA là:

  • A 900
  • B 450
  • C 600
  • D 300

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(a,\;b\)  là góc giữa đường thẳng \(a',\;b'\) với \(a//a',\;\;b//b'.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SH \bot AD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \supset SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(ABCD\) là hình vuông

\( \Rightarrow AD//BC \Rightarrow \angle \left( {BC,\;SA} \right) = \angle \left( {AD,\;SA} \right) = \angle SAD.\)

Lại \(\Delta SAD\) là tam giác đều \( \Rightarrow \angle \left( {BC,\;SA} \right) = \angle SAD = {60^0}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 60 :

Cho tứ diện \(ABCD\) có hai mặt \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

  • A \(30^\circ \)
  • B \(60^\circ \)
  • C \(90^\circ \)
  • D \(120^\circ \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(AB \bot \left( {CDM} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có :

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).

\(\Delta ABD\) đều \( \Rightarrow DM \bot AB\)

\( \Rightarrow AB \bot \left( {MCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD \Rightarrow \angle \left( {AB;CD} \right) = {90^0}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

close