Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\)

\(\begin{array}{l}(1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 3i - 2 - i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( { - 1 + 2i} \right)(a + bi) = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow  - a - bi + 2ai - 2b = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 2b = 2\\2a - b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{5}\\b =  - \frac{9}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = \frac{8}{5} - \frac{9}{5}i\end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}(3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow (3 + 4i)z = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow (3 + 4i)(a + bi) = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow 3a + 3bi + 4ai - 4b = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 1\\4a + 3b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{5}\\b = \frac{4}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = \frac{7}{5} + \frac{4}{5}i\end{array}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Tính mô đun của \(z:\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\Rightarrow (3 - 2i)(a - bi) - 4(1 - i) = (2 + i)(a + bi)\\\Leftrightarrow 3a - 3bi - 2ai - 2b - 4 + 4i = 2a + 2bi + ai - b\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b - 4 = 2a - b\\- 2a - 3b + 4 = a + 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 4\\3a + 5b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 3 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {10} \end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm .

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Điểm biểu diễn số phức \(z=a+bi\) là điểm \(M\left( a;b \right)\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (3 + 2i)(a + bi) = 5 - 14i\\ \Leftrightarrow 3a + 3bi + 2ai - 2b = 5 - 14i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 5\\2a + 3b =  - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Þ Điểm biểu diễn của  có tọa độ là: \((-1;-4)\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow P\).

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}(1 + i)z + 2\overline z  = 3 + 2i\\               \Leftrightarrow (1 + i)(a + bi) + 2(a - bi) = 3 + 2i\\ \Leftrightarrow a + ai + bi - b + 2a - 2bi = 3 + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - b = 3\\a - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} =  - 1\end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

- Rút gọn số phức \(z=a+bi\).

- Tính mô đun \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z=5+2i-{{\left( 1+i \right)}^{3}}=5+2i-(1+3i+3{{i}^{2}}+{{i}^{3}})\)

              \(=5+2i+2-2i=7\)

          \(\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{49}=7\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Dùng hằng đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) với chú ý \({{i}^{2}}=-1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z={{\left( \sqrt{2}+3i \right)}^{2}}=2+6\sqrt{2}i+9{{i}^{2}}=-7+6\sqrt{2}i\)

Chọn D

Phương pháp giải:

- Dùng quy tắc nhân hai số phức.

Lời giải chi tiết:

 Ta có: z = i(2 – i)(3 + i) =\(\left( 2i+1 \right)\left( 3+i \right)\) 

              \(=6i+2{{i}^{2}}+3+i=1+7i\)

Chọn B

Phương pháp giải:

- Rút gọn số phức \(z=a+bi\).

- Phần ảo của số phức \(z=a+bi\) là \(b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z={{\left( \sqrt{2}+i \right)}^{2}}\left( 1-\sqrt{2}i \right)=\left( 2+2\sqrt{2}i+{{i}^{2}} \right)\left( 1-\sqrt{2}i \right)\)

          \(=\left( 1+2\sqrt{2}i \right)\left( 1-\sqrt{2}i \right)=1-\sqrt{2}i+2\sqrt{2}i-4{{i}^{2}}=5+\sqrt{2}i\)

  Phần ảo của số phức \(z\) là \(\sqrt{2}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

+) Cho số phức \(z=a+bi\ \ \left( a;\ b\in R \right)\) thì điểm \(M\left( a;\ b \right)\) biểu diễn số phức z.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z=\left( 6+7i \right)i=6i+7{{i}^{2}}=-7+6i.\)

\(\Rightarrow M\left( -7;\ 6 \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính \(z.z'\Rightarrow w\)

Tính môđun của số phức \(w=a+bi\): \(\left| w \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Sử dụng MTCT ta tính được:

\(\Rightarrow w=z.z'=12+5i.\)

\(\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{{{12}^{2}}+{{5}^{2}}}=13\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính số phức \(3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}\)

- Phần ảo của số phức \(z=a+bi\) là \(b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=3(1+2i)-2(2-3i)=3+6i-4+6i=-1+12i\)

=> Phần ảo của nó là \(12\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Xác định số phức liên hợp và tìm số phức w bằng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z=3-2i\Rightarrow \bar{z}=3+2i\Rightarrow i.\bar{z}=-\,2+3i.\)

Vậy \(w=i.\bar{z}-z=-\,2+3i-3+2i=-\,5+5i.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)\)có phần thực là a, phần ảo là b.

Lời giải chi tiết:

\(z=\left( 1+2i \right)\left( 5-i \right)=5-i+10i-2{{i}^{2}}=5-i+10i+2=7+9i\)

\(z\)có phần thực là 7.

Chọn: B

Phương pháp giải:

- Tìm số phức z rồi suy ra số phức w.

- Môđun của số phức \(w = a + bi\) là \(\left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = \left( {3 - 2i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} = 4 + 6i\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}w = iz + \overline z  = i\left( {4 + 6i} \right) + \left( {4 - 6i} \right) =  - 2 - 2i\\ \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó \(a\) là phần thực, \(b\) là phần ảo của số phức \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(z = i{\left( {1 + 2i} \right)^2}\)\( = i\left( {1 + 4i + 4{i^2}} \right)\) \( = i\left( {4i - 3} \right)\)\( = 4{i^2} - 3i =  - 4 - 3i\)

\( \Rightarrow \) Phần ảo của số phức \(z\) là \( - 3.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)  

Khi đó modun của số phức \(z\) là:\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overline z  - 3 + i = 0 \Leftrightarrow \overline z  = 3 - i \Rightarrow z = 3 + i.\)

\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + 1}  = \sqrt {10} .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép nhân và cộng số phức.

- Số phức \(z = a + bi\) có phần ảo bằng b.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z = 2{z_1} + 3i{z_2} = 2\left( {2 - i} \right) + 3i\left( { - 3 + i} \right)\\\,\,\,\, = 4 - 2i - 9i - 3 = 1 - 11i\end{array}\)

Vậy phần ảo của số phức \(z\) bằng -11.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính số phức z.

- Áp dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}iz + \overline z  = i\left( {1 - 2i} \right) + \left( {1 + 2i} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = i + 2 + 1 + 2i = 3 + 3i\\ \Rightarrow \left| {iz + \overline z } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\bar z = a - bi\).

- Thực hiện phép nhân tìm số phức \(w\).

- Sử dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}w = 2z + \left( {1 + i} \right)\bar z\\w = 2\left( {2 - 3i} \right) + \left( {1 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)\\w = 4 - 6i + 2 + 3i + 2i - 3\\w = 3 - i\\ \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{b_1},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Ta có: \({z_1} + {z_2} = {a_1} + {a_2} + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + 3i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right. \Rightarrow {z_1} + {z_2} = 3 + 2i\) \( \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức làm xuất hiện \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1}{z_2}\).

Sử dụng định lí Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức cần tính giá trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \dfrac{3}{2}\\{z_2}.{z_2} = 2\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\\ = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} - 2.2 =  - \dfrac{7}{4}\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép nhân và trừ số phức.

- Hai số phức \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\), \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) bằng nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {a + bi} \right) - 2\left( {a - bi} \right) =  - 1 + 6i\\ \Leftrightarrow  - a + 3bi =  - 1 + 6i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 1\\3b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a + b = 1 + 2 = 3\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{b_1},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Ta có:  \({z_1} \pm {z_2} = {a_1} \pm {a_2} + \left( {{b_1} \pm {b_2}} \right)i.\)

Cho số phức \(z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {x;\;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_1} - {z_2} = \left( {2 - 1} \right) + \left( {1 + 1} \right)i = 1 + 2i\)

\( \Rightarrow N\left( {1;\,2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} - {z_2}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {x;\;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Cho hai số phức: \({z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{b_1},\,\,{a_2},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó: \({z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: \(M\left( { - 1;\,\,2} \right) \Rightarrow z =  - 1 + 2i\) và \(N\left( {2;\,\,1} \right) \Rightarrow {\rm{w}} = 2 + i.\)

Khi đó ta có: \(z + {\rm{w}} =  - 1 + 2i + 2 + i = 1 + 3i.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

 Chia số phức và tính môđun của số phức tìm được (bấm máy) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z\left( 1+i \right)=3-5i\Leftrightarrow z=\frac{3-5i}{1+i}=\frac{\left( 3-5i \right)\left( 1-i \right)}{1-{{i}^{2}}}=-1-4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{17}.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT, đưa z về dạng \(z = a + bi\) và kết luận số phức z có phần ảo bằng b.

Lời giải chi tiết:

Chọn B.

Phương pháp giải:

cho z = a + bi , phần thực của z là a ; phần ảo của z là b

Lời giải chi tiết:

\(z=\frac{3-i}{1+i}+\frac{2+i}{i}=2-4i\)

Suy ra phần thực là 2 ; phần ảo là -4

Chọn đáp án A

Phương pháp giải:

Số phức \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = \dfrac{3}{i} = \dfrac{{3i}}{{{i^2}}} =  - 3i\): có phần ảo là \( - 3\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overline z  = a - bi\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = \dfrac{2}{{i + 1}} = \dfrac{{2\left( {i - 1} \right)}}{{\left( {i + 1} \right)\left( {i - 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {i - 1} \right)}}{2} = 1 - i\)

Số phức liên hợp của z là \(\overline z  = 1 + i\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia số phức tìm \(z\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 1 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{1 - 5i}}{{1 - i}} = 3 - 2i.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính số phức z bằng MTCT sau đó suy ra phần thực.

Lời giải chi tiết:

\(z = \dfrac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\)

Vậy phần thực của z bằng 3.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = \dfrac{{4 + 6i}}{{1 - i}} =  - 1 + 5i \Rightarrow \overline z  =  - 1 - 5i.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm số phức z bằng MTCT hoặc thực hiện phép chia.

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = \dfrac{{7 + i}}{{1 + i}} = 4 - 3i\)

Khi đó \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép chia số phức.

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 + 3i} \right)z - 5 = 7i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{7i + 5}}{{1 + 3i}} = \dfrac{{13}}{5} - \dfrac{4}{5}i\\ \Rightarrow \overline z  = \dfrac{{13}}{5} + \dfrac{4}{5}i\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Từ đồ thị suy ra tọa độ của M, N.

- Tìm hai số phức z, w: Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z = a + bi\).

- Tính \(\dfrac{z}{{\rm{w}}}\), sử dụng MTCT.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị ta có \(M\left( {3;2} \right),\)\(N\left( {1; - 4} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 3 + 2i\\{\rm{w}} = 1 - 4i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{z}{{\rm{w}}} = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - 4i}} =  - \dfrac{5}{{17}} + \dfrac{{14}}{{17}}i\end{array}\)

Khi đó phần ảo của số phức \(\dfrac{z}{{\rm{w}}}\) là \(\dfrac{{14}}{{17}}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình số phức, giải phương trình dạng \(az = b \Leftrightarrow z = \dfrac{b}{a}\).

- Sử dụng MTCT để thực hiện phép chia số phức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {3 + i} \right)z + \left( {4 - 5i} \right) = 6 - 3i\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = 6 - 3i - \left( {4 - 5i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{2 + 2i}}{{3 + i}} = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Số phức nghịch đảo của số phức z là \(\dfrac{1}{z}\).

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + i} \right)z + \left( {2 - i} \right)\overline z  = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {2 - i} \right)\left( {a - bi} \right) = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow a + ai + bi + b{i^2} + 2a - 2bi - ai + b{i^2} = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow 3a - 2b - bi = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 13\\ - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 3 - 2 = 1.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia số phức.

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{2}{{z - 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z - 1 = \dfrac{2}{{1 + i}} \Leftrightarrow z - 1 = 1 - i \Leftrightarrow z = 2 - i\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng: \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{a_1} + {b_1}i}}{{{a_2} + {b_2}i}}\)\( = \dfrac{{\left( {{a_1} + {b_1}i} \right)\left( {{a_2} - {b_2}i} \right)}}{{a_2^2 + b_2^2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\)\( = \dfrac{{5 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {5 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} - {i^2}}}\)\( = \dfrac{{5 - 6i + {i^2}}}{2}\)\( = \dfrac{{4 - 6i}}{2} = 2 - 3i\)

Số phức \(2 - 3i\) có phần thực bằng \(2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó số phức nghịch đảo của số phức \(z\) là: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}}.\)

Lời giải chi tiết:

Số phức nghịch đảo của số phức  \(z = 3 + 4i\) là: \(\dfrac{1}{{3 + 4i}} = \dfrac{{3 - 4i}}{{{3^2} - {{\left( {4i} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{3 - 4i}}{{9 + 16}} = \dfrac{3}{{25}} - \dfrac{4}{{25}}i.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Sử dụng MTCT tìm số phức \(z\).

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực bằng \(a\).

Lời giải chi tiết:

Sử dụng MTCT ta có:  \( \Rightarrow z = \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}i\).

Vậy số phức \(z\) có phần thực bằng \(\dfrac{3}{2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Ta có:\({z^{ - 1}} = \dfrac{1}{z}.\)  

Số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) có phần thực là \(a\) và phần ảo là \(b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^{ - 1}} = 1 + 2i\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{z} = 1 + 2i\) \( \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{{1 + 2i}} = \dfrac{{1 - 2i}}{{1 - {{\left( {2i} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{1 - 2i}}{{1 + 4}} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i\)

\( \Rightarrow \) Số phức \(z\) có phần ảo là \( - \dfrac{2}{5}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right),\) ta có modun của số phức \(z\) là:\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(iz = 1 + 3i\) \( \Rightarrow z = \dfrac{{1 + 3i}}{i} = \dfrac{{i + 3{i^2}}}{{{i^2}}} = 3 - i\) \( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + 1}  = \sqrt {10} .\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm số phức \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\) là số phức liên hợp của z.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = \dfrac{1}{{1 + i}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i \Rightarrow \overline z  = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép chia số phức để tìm \(z\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính tổng \(T = a + b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z\left( {\overline {1 + 2i} } \right) + i = 3 \Leftrightarrow z.\left( {1 - 2i} \right) = 3 - i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{5} = 1 + i\end{array}\)

\( \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow T = a + b = 2\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{b_1},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó ta có: \({z_1} + {z_2} = {a_1} + {a_2} + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 - 3i\\\,{z_2} =  - 3 + 6i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_1} + {z_2}\) \( = \left( {2 - 3} \right) + \left( { - 3 + 6} \right)i\) \( =  - 1 + 3i.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;{z_2} = {a_2} + {b_2}i\) với \({a_1},{b_1},{a_2},{b_2} \in \mathbb{R}\)

Ta có: \({z_1} - {z_2} = \left( {{a_1} - {a_2}} \right) + \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z_1} - {z_2}\)\( = 2 + 3i - \left( { - 4 + i} \right)\)\( = 2 + 3i + 4 - i\)\( = 6 + 2i\)

Phần ảo của số phức \(6 + 2i\) là \(2.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tính số phức z bằng MTCT và suy ra phần thực của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 4 + 3i.\)

Vậy phần thực của số phức z là 4.

Chọn A.