40 bài tập vận dụng Phân tích đa thức thành nhân tử

Làm bài

Câu hỏi 1 :

Phân tích đa thức \(3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\) thành nhân tử

  • A \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)\)                     
  • B \(3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)\)                                        
  • C \(\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)\)        
  • D \(\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tách hạng tử \( - 8{x^2}\) thành \( - 2{x^2} - 6{x^2}\) và tách \( - 41x\) thành \(4x - 45x\) sau đó ghép nhóm hạng tử để tạo nhân tử chung \(3x - 2\).

Tiếp tục tách ghép hợp lý tạo nhân tử chung \(x + 3\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\\ = 3{x^3} - 2{x^2} - 6{x^2} + 4x - 45x + 30\\ = {x^2}\left( {3x - 2} \right) - 2x\left( {3x - 2} \right) - 15\left( {3x - 2} \right)\\ = \left( {3x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 15} \right)\\ = \left( {3x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 5x - 15} \right)\\ = \left( {3x - 2} \right)\left[ {x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \right]\\ = \left( {3x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1:

\(2{x^2} - 3x - 2\)

  • A \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
  • B \(\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
  • C \(\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
  • D \(\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tách hạng tử \( - 3x\) thành \(x - 4x\)  để nhóm ghép tạo nhân tử chung \(2x + 1\).

Lời giải chi tiết:

\(2{x^2} - 3x - 2\)

\(\begin{array}{l} = 2{x^2} + x - 4x - 2\\ = x\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x + 1} \right)\\ = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({x^3} - 8{y^3} - 2xy\left( {x - 2y} \right)\)

  • A \(\left( {x - 4y} \right)\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)\)
  • B \(\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\)
  • C \(\left( {x + 4y} \right)\left( {{x^2} - 2{y^2}} \right)\)
  • D \(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để tạo nhân tử chung \(x - 2y\).

Lời giải chi tiết:

\({x^3} - 8{y^3} - 2xy\left( {x - 2y} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {x^3} - {\left( {2y} \right)^3} - 2xy\left( {x - 2y} \right)\\ = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - 2xy\left( {x - 2y} \right)\\ = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2} - 2xy} \right)\\ = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Phân tích đa thức \({x^4} - 4{x^2} - {y^2} + 4\) thành nhân tử

  • A \({\left( {{x^2} - 2 + y} \right)^2}\)                     
  • B \(\left( {{x^2} + 2 + y} \right)\left( {{x^2} + 2 - y} \right)\)                 
  • C \(\left( {{x^2} + 2 + y} \right)\left( {{x^2} - 2 + y} \right)\)     
  • D \(\left( {{x^2} - 2 + y} \right)\left( {{x^2} - 2 - y} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đổi chỗ hạng tử để áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để tạo và sử dụng hằng đẳng thức mới \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^4} - 4{x^2} - {y^2} + 4\\ = {x^4} - 4{x^2} + 4 - {y^2}\\ = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {{x^2} - 2 + y} \right)\left( {{x^2} - 2 - y} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Phân tích đa thức thành nhân tử:

\(\eqalign{& a)\;16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y  \cr & c)\;16{x^3} - 54{y^3}  \cr & e)\;{x^2} - 9 + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)  \cr & g)\;4{x^3} - 4{x^2} - x + 1 \cr} \)             \(\eqalign{& b)\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy  \cr  & d)\;{x^3} + {x^2} - 4x - 4  \cr & f)\;{x^2} - 2x + 1 - 4{y^2}  \cr & h)\;{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} \cr} \)

  • A \(\eqalign{& a)\;\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right).  \cr & b)\;2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right).  \cr & c)\;2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right).  \cr & d)\;\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right).  \cr & e)\left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right).  \cr & f)\left( {x - 2y - 1} \right)\left( {x + 2y - 1} \right).  \cr & g)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right).  \cr & h)\;{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}. \cr} \)
  • B \(\eqalign{& a)\;\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right).  \cr & b)\;2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right).  \cr & c)\;2\left( {2x + 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right).  \cr & d)\;\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right).  \cr & e)\left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right).  \cr & f)\left( {x - 2y - 1} \right)\left( {x + 2y - 1} \right).  \cr & g)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right).  \cr & h)\;{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}. \cr} \)
  • C \(\eqalign{& a)\;\left( {2x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x + y} \right).  \cr & b)\;2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right).  \cr & c)\;2\left( {2x + 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right).  \cr & d)\;\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right).  \cr & e)\left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right).  \cr & f)\left( {x - 2y - 1} \right)\left( {x + 2y - 1} \right).  \cr & g)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right).  \cr & h)\;{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}. \cr} \)
  • D \(\eqalign{& a)\;\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right).  \cr & b)\;2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x - y - 1} \right).  \cr & c)\;2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right).  \cr & d)\;\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right).  \cr & e)\left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right).  \cr & f)\left( {x - 2y - 1} \right)\left( {x + 2y - 1} \right).  \cr & g)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right).  \cr & h)\;{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}. \cr} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\;16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y  \cr  &  = 16{x^4}\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)  \cr &  = \left( {16{x^4} - 1} \right)\left( {x - y} \right)  \cr &  = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^4} - 1} \right]\left( {x - y} \right)  \cr  &  = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {\left( {2{x^2}} \right) + 1} \right]\left( {x - y} \right)  \cr  &  = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right). \cr} \)           \(\eqalign{& b)\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy  \cr &  = 2xy\left( {{x^2} - {y^2} - 2y - 1} \right)  \cr  &  = 2xy\left[ {{x^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right)} \right]  \cr &  = 2xy\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]  \cr &  = 2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right). \cr} \)

\(\eqalign{& c)\;16{x^3} - 54{y^3}  \cr &  = 2\left( {8{x^3} - 27{y^3}} \right)  \cr &  = 2\left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {{\left( {3y} \right)}^3}} \right]  \cr &  = 2\left( {2x - 3y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right]  \cr &  = 2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right). \cr} \)        \(\eqalign{& d)\;{x^3} + {x^2} - 4x - 4  \cr &  = \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {4x + 4} \right)  \cr &  = {x^2}\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right)  \cr &  = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right)  \cr &  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right). \cr} \)

\(\eqalign{& e)\;{x^2} - 9 + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)  \cr &  = \left( {{x^2} - 9} \right) + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)  \cr &  = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)  \cr &  = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3 - 2x - 7} \right)  \cr &  = \left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right). \cr} \)         \(\eqalign{& f)\;{x^2} - 2x + 1 - 4{y^2}  \cr &  = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\left( {2y} \right)^2}  \cr &  = {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2}  \cr &  = \left( {x - 1 - 2y} \right)\left( {x - 1 + 2y} \right)  \cr &  = \left( {x - 2y - 1} \right)\left( {x + 2y - 1} \right). \cr} \)

\(\eqalign{& g)\;4{x^3} - 4{x^2} - x + 1  \cr &  = \left( {4{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right)  \cr &  = 4{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)  \cr &  = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)  \cr &  = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)  \cr &  = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right). \cr} \)          \(\eqalign{& h)\;{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}  \cr &  = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)  \cr &  = {x^2}\left( {{x^2} - 2.2.x + {2^2}} \right)  \cr &  = {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}. \cr} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tính nhanh giá trị của biểu thức: \(B=5.101,5-50.0,15\)

 

  • A \(100\)
  • B \(50\)
  • C \(500\)
  • D \(1000\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(B=5.101,5-50.0,15=5.101,5-5.10.0,15=5\left( 101,5-10.0,15 \right)=5\left( 101,5-1,5 \right)=5.100=500\)

Chọn C.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho \(x+y=0\), rút gọn biểu thức \(B=5{{x}^{2}}yz+5x{{y}^{2}}z-5xyz\):

 

  • A  \(5xyz\)                               
  • B \(0\)                                                
  • C \(-5\)                                           
  • D    \(-5xyz\)\(\)  

     

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(B=5{{x}^{2}}yz+5x{{y}^{2}}z-5xyz=5xyz.x+5xyz.y-5xyz=5xyz\left( x+y-1 \right)\)

Với \(x+y=0\), biểu thức \(B\) rút gọn là: \(B=5xyz\left( 0-1 \right)=-5xyz\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tìm \(x\) biết:

\(a)\ {{\left( x-1 \right)}^{2}}=x-1\)                                                              \(b)\ 7{{x}^{2}}+2x=0\)

\(c)\ 7{{x}^{2}}\left( x-7 \right)+5x\left( 7-x \right)=0\)                                                       \(d)\ {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3-x=0\)

  • A \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,x \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\\
    b)\,\,x \in \left\{ { - \frac{2}{7};\,\,\,0} \right\}\\
    c)\,\,x \in \left\{ {0;\,\,\frac{5}{7};\,\,7} \right\}\\
    d)\,\,x \in \left\{ { - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,x \in \left\{ {1} \right\}\\
    b)\,\,x \in \left\{ { - \frac{2}{7}} \right\}\\
    c)\,\,x \in \left\{ {0;\,\,\frac{5}{7};\,\,7} \right\}\\
    d)\,\,x \in \left\{ { - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,x \in \left\{ {2} \right\}\\
    b)\,\,x \in \left\{ { - \frac{2}{7}} \right\}\\
    c)\,\,x \in \left\{ {0;\,\,\frac{5}{7};\,\,7} \right\}\\
    d)\,\,x \in \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,x \in \left\{ {1} \right\}\\
    b)\,\,x \in \left\{ { - \frac{2}{7}} \right\}\\
    c)\,\,x \in \left\{ {0;\,\,\frac{5}{7};\,\,7} \right\}\\
    d)\,\,x \in \left\{ { - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}
    \end{array}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết:

\(\begin{array}{l}a){\left( {x - 1} \right)^2} = x - 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=2\)

\(\begin{array}{l}b)\;7{x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 7x.x + 2.x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {7x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{2}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x = \frac{{ - 2}}{7}\)

\(\begin{array}{l}c)7{x^2}\left( {x - 7} \right) + 5x\left( {7 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 7x.x\left( {x - 7} \right) - 5.x\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7x.x - 5.x} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {7x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\7x - 5 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{7}\\x = 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x=7\) hoặc \(x=\frac{5}{7}\)

\(\begin{array}{l}d)\;{x^3} - 3{x^2} + 3 - x = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}.x - 3.{x^2} + \left( {3 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=-1\) hoặc \(x=3\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tính giá trị của biểu thức: \(A={{x}^{6}}-{{x}^{4}}-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\) biết \({{x}^{3}}-x=6\)

  • A \(A=0\)
  • B \(A=6\)
  • C \(A=12\)
  • D \(A=36\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(A={{x}^{6}}-{{x}^{4}}-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\\={{x}^{3}}.{{x}^{3}}-{{x}^{3}}.x-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\\={{x}^{3}}\left( {{x}^{3}}-x \right)-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\\=\left( {{x}^{3}}-x \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)\)

Với \({{x}^{3}}-x=6\), giá trị của biểu thức là: \(A=6.6=36.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Chứng minh rằng:

\(a)\ P={{7}^{19}}+{{7}^{20}}+{{7}^{21}}\) chia hết cho \(57\)

\(b)\ Q={{32}^{567}}-{{32}^{566}}\) chia hết cho \(31\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a)\ P={{7}^{19}}+{{7}^{20}}+{{7}^{21}} \\ ={{7}^{19}}+{{7}^{19}}.7+{{7}^{19}}{{.7}^{2}} \\ ={{7}^{19}}.\left( 1+7+{{7}^{2}} \right)\\ ={{7}^{19}}\left( 1+7+49 \right) \\={{7}^{19}}.57\)

Suy ra \(P\) chia hết cho \(57\).

\(b)\ Q={{32}^{567}}-{{32}^{566}} \\ ={{32}^{566}}.32-{{32}^{566}}.1 \\ ={{32}^{566}}\left( 32-1 \right) \\ ={{32}^{566}}.31\)

Suy ra \(Q\) chia hết cho \(31\).

 

Câu hỏi 10 :

Rút gọn biểu thức \(B=(x-2)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+3x\)

 

  • A \(x-8\) 
  • B \(8-4x\) 
  • C  \(8-x\) 
  • D \(4x-8\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x\\B = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x.2 + {2^2}} \right) - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3x\\B = {x^3} - {2^3} - x.{x^2} + x.1 + 3x\\B = {x^3} - 8 - {x^3} + x + 3x\\B = 4x - 8\end{array}\)

 Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Phân tích đa thức thành nhân tử:

\(a)\ {{x}^{2}}+4x-{{y}^{2}}+4\)

\(b)\ 4{{x}^{2}}-25-\left( 2x+7 \right)\left( 5-2x \right)\)\(c)\ {{\left( 2{{x}^{2}}-y \right)}^{2}}-64{{y}^{2}}\)

\(d)\ -{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}y-12x{{y}^{2}}+8{{y}^{3}}\)

\(e)\;{x^8} - {y^8}\)

 

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a)\;{x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = \left( {{x^2} + 2.2.x + {2^2}} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}b)\;4{x^2} - 25 - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\= {\left( {2x} \right)^2} - {5^2} - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\= \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5} \right) - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\= \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5} \right) + \left( {2x + 7} \right)\left( {2x - 5} \right)\\= \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5 + 2x + 7} \right) = \left( {2x - 5} \right)\left( {4x + 12} \right)\end{array}\)

\(c)\;{\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = {\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2} = \left( {2{x^2} - y - 8y} \right)\left( {2{x^2} - y + 8y} \right) = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)\)

\(d)\; - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( { - x} \right)^3} + 3.{x^2}.2y + 3.\left( { - x} \right).{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} = {\left( { - x + 2y} \right)^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}\)

\(\begin{array}{l}e)\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\\ = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\end{array}\)

Câu hỏi 12 :

Tìm \(x\) biết:

\(a){{\left( x+5 \right)}^{2}}-2\left( x+5 \right)\left( x-2 \right)+{{\left( x-2 \right)}^{2}}=49\)

\(b)\ 4{{x}^{2}}+12x+9=0\)

\(c)\ 9{{x}^{2}}-16=0\)

\(d)\ {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+63=0\)

 

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;{\left( {x + 5} \right)^2} - 2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {\left( {\left( {x + 5} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5 - x + 2} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {7^2} = 49\end{array}\)

Vậy với mọi \(x\) đều thỏa mãn.

\(\begin{array}{l}b)\;4{x^2} + 12x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.3 + {3^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(x=-\frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l}c)\;9{x^2} - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} - {4^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 4} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 4 = 0\\3x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{4}{3}\) hoặc \(x=-\frac{4}{3}\).

\(\begin{array}{l}d)\;{x^3} - 3{x^2} + 3x + 63 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2}.\left( { - 1} \right) + 3.x.{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} + 64 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} + 64 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = - 64\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( { - 4} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x - 1 = - 4\\ \Leftrightarrow x = - 3\end{array}\)

Vậy \(x=-3\)

Câu hỏi 13 :

Tính giá trị biểu thức:

\(a) \, A={{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x+2y\) tại \(x=2345,y=2344\)

\(b) \, B={{x}^{2}}-2009x-{{y}^{2}}+2009y\) tại \(x=723,y=1286\)

 

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a)A={{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x+2y=\left( x-y \right)\left( x+y \right)-2\left( x-y \right)=\left( x-y \right)\left( x+y-2 \right)\)

Tại \(x=2345\) và \(y=2344\), giá trị của biểu thức là:

\(A=\left( 2345-2344 \right)\left( 2345+2344-2 \right)=1.4687=4687\)

\(b)\ B={{x}^{2}}-2009x-{{y}^{2}}+2009y \\={{x}^{2}}-{{y}^{2}}-\left( 2009x-2009y \right) \\ =\left( x-y \right)\left( x+y \right)-2009\left( x-y \right) \\ =\left( x-y \right)\left( x+y-2009 \right)\)

Tại \(x=723\) và \(y=1286\), giá trị của biểu thức là:

\(B=\left( 723-1286 \right)\left( 1286+723-2009 \right)=-563.0=0\)

 

Câu hỏi 14 :

Tính nhanh:

\(a)\ {{56}^{2}}-{{44}^{2}}-{{23}^{2}}+{{77}^{2}}\)                         

\(b)\ {{103}^{2}}-{{3}^{2}}-100.6\)

 \(c)\ {{203}^{2}}-{{103}^{2}}\)                                                         

\(d)\ 20,{{5}^{2}}-10,{{5}^{2}}\)

 

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;{56^2} - {44^2} - {23^2} + {77^2}\\ = \left( {{{56}^2} - {{44}^2}} \right) - \left( {{{23}^2} - {{77}^2}} \right)\\ = \left( {56 + 44} \right)\left( {56 - 44} \right) - \left( {23 + 77} \right)\left( {23 - 77} \right)\\ = 100.12 - 100.\left( { - 54} \right)\\ = 100\left( {12 + 54} \right)\\ = 100.66 = 6600\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}b)\;{103^2} - {3^2} - 100.6\\ = \left( {103 - 3} \right)\left( {103 + 3} \right) - 100.6\\ = 100.106 - 100.6\\ = 100\left( {106 - 6} \right)\\ = 100.100 = 10000\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}c) \;{203^2} - {103^2}\\ = \left( {203 - 103} \right)\left( {203 + 103} \right)\\ = 100.306 = 30600\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}d)\;20,{5^2} - 10,{5^2}\\ = \left( {20,5 - 10,5} \right)\left( {20,5 + 10,5} \right)\\ = 10.31 = 310\end{array}\)

Câu hỏi 15 :

Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức: \(3{{x}^{2}}-18x+27=0\)

  • A \(1\)                                         
  • B \(3\)                              
  • C \(-1\)                                               
  • D \(-3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức thành tích các đa thức và đơn thức có dạng: A.B = 0, suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó rút ra giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3{x^2} - 18x + 27 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 2.3.x + {3^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Vậy \(x = 3\).

Chọn B. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tính giá trị biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) với \(x = 3\)

  • A \(2\)                     
  • B \(4\)                  
  • C \(1\)               
  • D \(0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^3} - {B^3}\) để thu gọn biểu thức.

Sau đó, thay \(x = 3\) vào biểu thức và tính toán.

Lời giải chi tiết:

\({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3}\)\( = {\left( {x - 2} \right)^3}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Thay \(x = 3\) vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {3 - 2} \right)^2} = 1\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm \(x\) thỏa mãn \({x^3} - 3x - 2 = 0\)

  • A \(x = 2\)      
  • B \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\)          
  • C \(x =  - 1\)                   
  • D \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt \(2{x^2}\) để tạo nhân tử chung \(x - 2\) và giải phương trình tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2{x^2} - 4x + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right) + 2x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right..\)

Chọn B.          

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Tính giá trị của biểu thức \(B={{x}^{6}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x\) khi \({{x}^{3}}-x=6\):

  • A  36                                     
  • B  42                                
  • C  48                                  
  • D   56

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp và tách hạng tử (tách hạng tử thứ 2 thành 2 hạng tử giống nhau) để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

Sau khi tách hạng tử, nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2, nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 5và nhóm hạng tử thứ 4 với hạng tử thứ 6 để xuất hiện nhân tử chung giống với \({{x}^{3}}-x\).

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Sau đó thế biểu thức \({{x}^{3}}-x=6\) vào biểu thức vừa biến đổi để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = {x^6} - {x^4} - {x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^6} - {x^4}} \right) - \left( {{x^4} - {x^2}} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = {x^3}\left( {{x^3} - x} \right) - x\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\end{array}\)

Tại \({{x}^{3}}-x=6\), ta có: \(B=\left( 6+1 \right).6=7.6=42\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tìm giá trị của x thỏa mãn \(x\left( 2x-7 \right)-4x+14=0\)

  • A \(x=\frac{7}{2}\)hoặc \(x=-2\)                                                                     
  • B \(x=\frac{-7}{2}\) hoặc \(x=2\)                  
  • C \(x=\frac{7}{2}\) hoặc \(x=2\)                                                                     
  • D \(x=\frac{-7}{2}\) hoặc \(x=-2\)

     

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Để tích các đa thức bằng 0 thì giá trị từng đa thức phải bằng 0.

Suy ra giá trị x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Vậy \(x=\frac{7}{2}\) hoặc \(x=2\).

\(\begin{array}{l}\,x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x - 7} \right) - 2\left( {2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\x = 2\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn C.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Giá trị của x khi biết:

\(\begin{align}&a)\ 3{{x}^{2}}-4x-12=-8 \\ & b)\ 13x-26{{x}^{2}}=9-18x \\& c)\ x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+{{x}^{2}}-1=0 \\\end{align}\)

  • A a)\(x=\frac{2}{3}\) hoặc \(x=2\).

    b)\(x=\frac{-9}{15}\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\)

    c) \(x=-1\) hoặc \(x=2\).

  • B a)\(x=\frac{-2}{3}\) hoặc \(x=2\).

    b)\(x=\frac{9}{13}\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\)

    c) \(x=-1\) hoặc \(x=1\).

  • C a)\(x=\frac{-2}{3}\) hoặc \(x=2\).

    b)\(x=\frac{9}{13}\) hoặc \(x=\frac{-1}{2}\)

    c) \(x=-1\) hoặc \(x=1\).

  • D a)\(x=\frac{-2}{3}\) hoặc \(x=2\).

    b)\(x=\frac{4}{13}\) hoặc \(x=\frac{-1}{2}\)

    c) \(x=-1\) hoặc \(x=1\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp phân phối phép nhân và phép trừ, giao hoán, kết hợp để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

Sau đó, nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Để tích các đa thức bằng 0 thì giá trị từng đa thức phải bằng 0.

Suy ra giá trị x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;\,\,3{x^2} - 4x - 12 = - 8\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 12 + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} - 12} \right) - \left( {4x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 4} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {3\left( {x + 2} \right) - 4} \right]\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 2 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{-2}{3}\) hoặc \(x=2\).

\(\begin{array}{l}b)\;\,\,13x - 26{x^2} = 9 - 18x\\ \Leftrightarrow 13x\left( {1 - 2x} \right) = 9\left( {1 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 13x\left( {1 - 2x} \right) - 9\left( {1 - 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {13x - 9} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}13x - 9 = 0\\1 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{13}}\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{9}{13}\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l}c)\;x(x - 1)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=-1\) hoặc \(x=1\).

 Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tính giá trị của biểu thức: \(A=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)+\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)+x-1\) tại x = 5.

  • A 35
  • B 50
  • C 40
  • D 30

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung. Sau đó đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.Thay giá trị x vào tích các đa thức vừa thu được để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x - 1\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 2} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3 + 1} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right]\end{array}\)

Tại \(x=5\), ta có:\(\,\,\,A = \left( {5 - 1} \right)\left[ {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + 1} \right] = 4.\left( {{3^2} + 1} \right) = 4.\left( {9 + 1} \right) = 4.10 = 40\)

Vậy \(x=40\) .

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Không làm phép chia đa thức hãy xem xét xem  đa thức: \(B=3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-75x-150\) có hay không chia hết cho \(x-5\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp để sắp xếp các hạng tử.

Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3 và nhóm hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Biểu thức B sẽ chia hết cho đa thức trong tích các đa thức của B thu được.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B = 3{x^3} + 6{x^2} - 75x - 150\\\Leftrightarrow B = \left( {3{x^3} - 75x} \right) + \left( {6{x^2} - 150} \right)\\\Leftrightarrow B = 3x\left( {{x^2} - 25} \right) + 6\left( {{x^2} - 25} \right)\\\Leftrightarrow B = \left( {3x + 6} \right)\left( {{x^2} - {5^2}} \right)\\\Leftrightarrow B = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)\end{array}\)

Suy ra \(B=3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-75x-150\) chia hết cho \(\left( x-5 \right)\).

 

Câu hỏi 23 :

Tìm x biết\({x^3} - {x^2} - x + 1 = 0\):

  • A x = 1  hoặc x = -1 
  • B x = - 1  hoặc x = 0 
  • C x = 1  hoặc x = 0
  • D x = 1

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức bằng 0: A.B.C = 0- Suy ra, A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0.- Suy ra, các giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {x^2} - x + 1 = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 1 = 0 \hfill \cr  x + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x =  - 1 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy x = 1  hoặc x = -1 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C = 4{x^2} + 8x + 9\) :

  • A 4
  • B 3
  • C 1
  • D 5

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức (A + B)2 hoặc (A – B)2 để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.- Khi đó,\(C \ge c\) với mọi x.

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của C.

Lời giải chi tiết:

\(C = 4{x^2} + 8x + 9 = {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.2 + {2^2} + 5 = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2.2x.2 + {2^2}} \right) + 5 = {\left( {2x + 2} \right)^2} + 5\)

Vì  \({\left( {2x + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \(C \ge 5\) với mọi x \( \Rightarrow Min\,\,C = 5\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1.\)

Kết luận C đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1. Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Phân tích đa thức thành nhân tử:

\(a)\;{x^8} + {x^4} + 1\)       \(b)\;{x^2} + 3x – 18\)

  • A \(\eqalign{& a)\,\,\left( {{x^3} - {x^3} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).  \cr & b)\,\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right). \cr} \)
  • B \(\eqalign{& a)\,\,\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).  \cr & b)\,\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right). \cr} \)
  • C \(\eqalign{& a)\,\,\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).  \cr & b)\,\left( {x - 6} \right)\left( {x + 3} \right). \cr} \)
  • D \(\eqalign{& a)\,\,\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right).  \cr & b)\,\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right). \cr} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới. - Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\;{x^8} + {x^4} + 1  \cr &  = {x^8} + 2{x^4} + 1 - {x^4}  \cr &  = \left( {{x^8} + 2{x^4} + 1} \right) - {x^4}  \cr &  = \left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} + 2.{x^4}.1 + {1^2}} \right] - {x^4}  \cr &  = {\left( {{x^4} + 1} \right)^2} - {\left( {{x^2}} \right)^2}  \cr &  = \left( {{x^4} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{x^4} + 1 + {x^2}} \right)  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 2{x^2} - {x^2} + 1} \right) \cr} \)

\(\eqalign{&  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left[ {\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2.1.{x^2} + 1} \right) - {x^2}} \right]  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}} \right]  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1 + x} \right)  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right). \cr} \)          

\(\eqalign{& b)\;{x^2} + 3x - 18  \cr  &  = {x^2} + 6x - 3x - 18  \cr &  = \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {6x - 18} \right)  \cr &  = x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {x - 3} \right)  \cr &  = \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right). \cr} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tìm x biết:

\(\eqalign{& a)\;{\left( {2x - 3} \right)^2} - 4{x^2} + 9 = 0  \cr & c)\;2\left( {x + 3} \right) - {x^2} - 3x = 0 \cr} \)         \(b)\;{x^4} + 2{x^3} - 8x - 16 = 0\)

  • A \(a)\,x = {3 \over 4},\,b)\,x = 2\,hoac\,x =  3,c)\,x = 2\,\,hoac\,\,x =  - 2\)
  • B \(a)\,x = {5 \over 2},\,b)\,x = 2\,hoac\,x =  - 3,c)\,x = 1\,\,hoac\,\,x =  - 1\)
  • C \(a)\,x = {3 \over 2},\,b)\,x = 2\,hoac\,x =  - 3,c)\,x = 2\,\,hoac\,\,x =  - 2\)
  • D \(a)\,x = {3 \over 2},\,b)\,x = 4\,hoac\,x =  - 4,c)\,x = 2\,\,hoac\,\,x =  - 2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức bằng 0: A.B.C = 0- Suy ra, A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0.- Suy ra, các giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\;{\left( {2x - 3} \right)^2} - 4{x^2} + 9 = 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {4{x^2} - 9} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - {3^2}} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 3 - 2x - 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( { - 6} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2x - 3 = 0  \cr &  \Leftrightarrow x = {3 \over 2} \cr} \)         \(\eqalign{& b)\;{x^4} + 2{x^3} - 8x - 16 = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 2{x^3}} \right) - \left( {8x + 16} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {x^3}\left( {x + 2} \right) - 8\left( {x + 2} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 8} \right)\left( {x + 2} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^3} - 8 = 0 \hfill \cr x + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 2 \hfill \cr x =  - 2 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

\(\eqalign{& c)\;2\left( {x + 3} \right) - {x^2} - 3x = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} + 3x} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right) - x\left( {x + 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{2 - x = 0 \hfill \cr x + 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x =  - 3 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Chứng minh rằng  \({a^2} – a\) chia hết cho 2, với a là số nguyên.

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

- Nhận xét kết quả thu được, biện luận để thu được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} - a = a\left( {a - 1} \right)\)

+) Với \(a = 2k\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow a - 1 = 2k - 1 \Rightarrow {a^2} - a = 2k\left( {2k - 1} \right)\)Vì 2k luôn chi hết cho 2 với mọi k \( \Rightarrow {a^2} – a\) chia hết cho 2 

+) Với\(a = 2k + 1\,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow a - a = 2b \Rightarrow {a^2} - a = \left( {2k + 1} \right)2k.\)

Vì 2k luôn chi hết cho 2 với mọi k \( \Rightarrow {a^2} – a\) chia hết cho 2.Vậy với mọi a nguyên thì \({a^2} – a\) chia hết cho 2.

Câu hỏi 28 :

Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1:

\({x^2}\left( {x - 2} \right) + 18 - 9x\)

  • A \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)
  • B \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\)
  • C \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\)
  • D \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tạo nhân tử chung \(x - 2\) và sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

\({x^2}\left( {x - 2} \right) + 18 - 9x\)

\(\begin{array}{l} = {x^2}\left( {x - 2} \right) - 9x + 18\\ = {x^2}\left( {x - 2} \right) - 9\left( {x - 2} \right)\\ = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)\\ = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(8{x^3} - 27 + 2x\left( {3 - 2x} \right)\)

  • A \(\left( {3 - 2x} \right)\left( {4{x^2} + 4x + 9} \right)\)
  • B \(\left( {3 - 2x} \right)\left( {4{x^2} + 4x - 9} \right)\)
  • C \(\left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 4x - 9} \right)\)
  • D \(\left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 4x + 9} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để tạo nhân tử chung \(2x - 3\).

Lời giải chi tiết:

\(8{x^3} - 27 + 2x\left( {3 - 2x} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {2x} \right)^3} - {3^3} + 2x\left( {3 - 2x} \right)\\ = \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right) - 2x\left( {2x - 3} \right)\\ = \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9 - 2x} \right)\\ = \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 4x + 9} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1:

\({x^5} - 5{x^4} + 7{x^3} - 3{x^2}\)

  • A \({x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\)
  • B \({x^2}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\)
  • C \(x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^2}\)
  • D \({x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Bước 1: Rút nhân tử chung \({x^2}\).

Bước 2: Tách biểu thức để tạo nhân tử chung \(x - 3\)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức: \({A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\) để thu gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\({x^5} - 5{x^4} + 7{x^3} - 3{x^2}\)

\(\begin{array}{l} = {x^2}\left( {{x^3} - 5{x^2} + 7x - 3} \right)\\ = {x^2}\left( {{x^3} - 3{x^2} - 2{x^2} + 6x + x - 3} \right)\\ = {x^2}\left[ {{x^2}\left( {x - 3} \right) - 2x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right)} \right]\\ = {x^2}\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\ = {x^2}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({a^3}b - 4{a^2}{b^2} + 4{b^3}a + 4a - 8b\)

  • A \(\left( {a - 2b} \right)\left( {{a^2}b - 2a{b^2} + 4} \right)\)
  • B \(\left( {a + 2b} \right)\left( {{a^2}b - 2a{b^2} - 4} \right)\)
  • C \(\left( {a - 2b} \right)\left( {2{a^2}b - a{b^2} + 4} \right)\)
  • D \(\left( {a + 2b} \right)\left( {2{a^2}b - a{b^2} - 4} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Rút \(ab\) và sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\) để tạo nhân tử chung \(a - 2b\).

Lời giải chi tiết:

\({a^3}b - 4{a^2}{b^2} + 4{b^3}a + 4a - 8b\)

\(\begin{array}{l} = ab\left( {{a^2} - 4ab + 4{b^2}} \right) + 4\left( {a - 2b} \right)\\ = ab{\left( {a - 2b} \right)^2} + 4\left( {a - 2b} \right)\\ = \left( {a - 2b} \right)\left[ {ab\left( {a - 2b} \right) + 4} \right]\\ = \left( {a - 2b} \right)\left( {{a^2}b - 2a{b^2} + 4} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn:

Câu 1:

\(3{x^3} + 4{x^2} - 17x - 6 = 0\)

  • A \(S = \left\{ {2; - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)
  • B \(S = \left\{ { - 2; - 3;\frac{1}{3}} \right\}.\)
  • C \(S = \left\{ { - 2;3;\frac{1}{3}} \right\}.\)
  • D \(S = \left\{ {2;3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tách hạng tử tạo nhân tử chung \(x - 2\) sau đó tách tạo nhân tử \(x + 3\) và \(3x + 1\)

Từ đó ta giải phương trình \(A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\\C = 0\end{array} \right.\)  và tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\(3{x^3} + 4{x^2} - 17x - 6 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^3} - 6{x^2} + 10{x^2} - 20x + 3x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x - 2} \right) + 10x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 9x + x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {3x\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 3 = 0\\3x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {2; - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({x^4} + 3{x^3} - 4x = 0\)

  • A \(S = \left\{ {0; - 1;2} \right\}.\)
  • B \(S = \left\{ {0; - 1; - 2} \right\}.\)
  • C \(S = \left\{ {0;1;2} \right\}.\)
  • D \(S = \left\{ {0;1; - 2} \right\}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tách hạng tử tạo nhân tử chung \(x\) sau đó tách tạo nhân tử \(x - 1\) và \({\left( {x + 2} \right)^2}\)

Sau đó giải phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

\({x^4} + 3{x^3} - 4x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - {x^2} + 4{x^2} - 4x + 4x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2}\left( {x - 1} \right) + 4x\left( {x - 1} \right) + 4\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {0;1; - 2} \right\}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Biết \(x = 13;\,\,y = 3\), tính giá trị của biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} - 2{x^2} - 2{y^2} + 4xy\)

  • A \(A = 600\)
  • B \(A = 800\)
  • C \(A = 660\)
  • D \(A = 720\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tạo nhân tử chung \({\left( {x - y} \right)^2}\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}{A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\\{A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\end{array} \right..\)

Sau đó thay \(x = 13;\,\,y = 3\) vào \(A\) và tính \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} - 2{x^2} - 2{y^2} + 4xy\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^3} - 2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^3} - 2{\left( {x - y} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x - y - 2} \right)\end{array}\)

Thay \(x = 13;\,\,y = 3\) vào \(A\) ta được: \(A = {\left( {13 - 3} \right)^2}\left( {13 - 3 - 2} \right)\)\( = {10^2}.8 = 800.\)

Vậy \(A = 800\) với \(x = 13;\,\,y = 3\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = 3{x^3}y - 5{x^2}{y^2} - 2x{y^3}\) tại \(x = 24;\,\,y = 12\)

  • A \(840\)      
  • B \(120\)                
  • C \(0\)                   
  • D \(240\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Rút nhân tử chung \(xy\) và tách \(5xy\) thành \( - 6xy + xy\) để tạo nhân tử chung \(x - 2y\) rồi thay \(x = 24;\,\,y = 12\) để tính toán.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 3{x^3}y - 5{x^2}{y^2} - 2x{y^3}\\\,\,\,\,\, = xy\left( {3{x^2} - 5xy - 2{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = xy\left( {3{x^2} - 6xy + xy - 2{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = xy\left[ {3x\left( {x - 2y} \right) + y\left( {x - 2y} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = xy\left( {x - 2y} \right)\left( {3x + y} \right)\end{array}\)

Thay \(x = 24;\,\,y = 12\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = 24.12\left( {24 - 2.12} \right)\left( {3.24 + 12} \right)\)\( = 24.12.0.84 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1:

\({x^4} + 64\)

  • A \(\left( {{x^2} + 4x + 8} \right)\left( {{x^2} - 4x - 8} \right)\)
  • B \(\left( {{x^2} - 4x + 8} \right)\left( {{x^2} - 4x - 8} \right)\)
  • C \(\left( {{x^2} + 4x + 8} \right)\left( {{x^2} - 4x + 8} \right)\)
  • D \(\left( {{x^2} + 4x + 8} \right)\left( {{x^2} + 4x - 8} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thêm bớt \(16{x^2}\) và sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2};\,\,\)\({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để tạo nhân tử.

Lời giải chi tiết:

\({x^4} + 64\) 

\(\begin{array}{l} = {x^4} + 16{x^2} + 64 - 16{x^2}\\ = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.8{x^2} + {8^2} - {\left( {4x} \right)^2}\\ = {\left( {{x^2} + 8} \right)^2} - {\left( {4x} \right)^2}\\ = \left( {{x^2} + 8 + 4x} \right)\left( {{x^2} + 8 - 4x} \right)\\ = \left( {{x^2} + 4x + 8} \right)\left( {{x^2} - 4x + 8} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({x^2}{y^2} + 2{x^2}y + {x^2} - 4{y^2}\)

  • A \(\left( {xy - x + 2y} \right)\left( {xy - x - 2y} \right)\)
  • B \(\left( {xy + x + 2y} \right)\left( {xy + x - 2y} \right)\)
  • C \(\left( {xy - x + 2y} \right)\left( {xy + x - 2y} \right)\)
  • D \(\left( {xy + x - 2y} \right)\left( {xy - x - 2y} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Rút \({x^2}\) và sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}\) để tạo \({\left( {y + 1} \right)^2}\) nhân \({x^2}\) được \({\left( {xy + x} \right)^2}\).

Sau đó sử dụng hằng đẳng thức \(\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để tạo nhân tử.

Lời giải chi tiết:

\({x^2}{y^2} + 2{x^2}y + {x^2} - 4{y^2}\)

\(\begin{array}{l} = {x^2}\left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 4{y^2}\\ = {x^2}{\left( {y + 1} \right)^2} - 4{y^2}\\ = {\left( {xy + x} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2}\\ = \left( {xy + x + 2y} \right)\left( {xy + x - 2y} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn:

Câu 1:

\({x^3} + 3{x^2} - 4x - 12 = 0\)

  • A \(S = \left\{ { - 3;3;2} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {3; - 2;2} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {3; - 3; - 2} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ { - 3; - 2;2} \right\}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút \({x^2}\) và \( - 4\) tạo nhân tử chung \(x + 3\) và hằng đẳng thức \(\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

Từ đó ta giải phương trình \(A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\\C = 0\end{array} \right.\)  và tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\({x^3} + 3{x^2} - 4x - 12 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) - 4\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 2 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 3; - 2;2} \right\}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({x^4} + {x^3} + {x^2} = x + 2\)

  • A \(S = \left\{ {1; - 2} \right\}.\)
  • B \(S = \left\{ {2; - 1} \right\}.\)
  • C \(S = \left\{ {1; - 1} \right\}.\)
  • D \(S = \left\{ {1; - 1;2} \right\}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tách hạng tử tạo nhân tử chung \(x + 1\) sau đó tiếp tục tách để tạo nhân tử \(x - 1\).

Từ đó ta giải phương trình \(A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\\C = 0\end{array} \right.\)  và tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\({x^4} + {x^3} + {x^2} = x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} + {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} + {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3}\left( {x + 1} \right) + x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - x + 2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {{x^2} - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do \({x^2} + x + 2 = {x^2} + 2.\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}\)\( = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 1 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {1; - 1} \right\}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(a+b+c=0\), rút gọn biểu thức: \(B={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+c\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-abc\)

  • A \(B=ab\)
  • B \(B=0\)
  • C \(B=a\)
  • D \(B=b\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = {a^3} + {b^3} + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - abc\\B = {a^2}.a + {b^2}.b + c.{a^2} + c.{b^2} - abc\\B = ({a^2}.a + c.{a^2}) + \left( {{b^2}.b + c.{b^2}} \right) - abc\\B = {a^2}\left( {a + c} \right) + {b^2}\left( {b + c} \right) - abc\;\;(1)\end{array}\)

Mà a + b + c = 0 nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = - b\\b + c = - a\end{array} \right.\) (2)

Thế (2) vào (1) ta có:

\(B = {a^2}\left( { - b} \right) + {b^2}\left( { - a} \right) - abc \\=  - {a^2}b - a{b^2} - abc \\=  - ab.a - ab.b - ab.c \\=  - ab(a + b + c)\\=  - ab.0 = 0\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Chứng minh rằng: \(C={{15}^{6}}-{{13}^{6}}\) chia hết cho \(56\).

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết\(\begin{align} & C={{15}^{6}}-{{13}^{6}}=\left( {{15}^{3}}-{{13}^{3}} \right)\left( {{15}^{3}}+{{13}^{3}} \right)=\left( 15-13 \right)\left( {{15}^{2}}+15.13+{{13}^{2}} \right)\left( 15+13 \right)\left( {{15}^{2}}-15.13+{{13}^{2}} \right) \\ & =2.28\left( {{15}^{2}}+15.13+{{13}^{2}} \right)\left( {{15}^{2}}-15.13+{{13}^{2}} \right)=56.\left( {{15}^{2}}+15.13+{{13}^{2}} \right)\left( {{15}^{2}}-15.13+{{13}^{2}} \right)\vdots 56 \\ \end{align}\)

Suy ra \(C={{15}^{6}}-{{13}^{6}}\) chia hết cho \(56\) .

 

Câu hỏi 37 :

Chứng minh rằng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc\) thì \(a=b=c\) hoặc \(a+b+c=0\).

 

Phương pháp giải:

Kết hợp kiến thức mới học và kiến thức cũ về hằng đẳng thức để suy luận logic ra hướng giải bài tập.Hằng đẳng thức được sử dụng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\)

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) = \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] = {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\end{array}\)

Do đó nếu \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\) thì \(a+b+c=0\) hoặc \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=0\)

Mà \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=\frac{1}{2}.\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]\) suy ra \(a=b=c\). (điều phải chứng minh)

 

Câu hỏi 38 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)

 

  • A \(\left\{ \matrix{ x = 4 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)
  • B \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr}  \right.\)
  • C \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)
  • D \(\left\{ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr y = - 4 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.- Khi đó, với mọi x.- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y  \cr &  \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17  \cr &  \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17  \cr &  \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17. \cr} \)

Vì \(\left\{ \matrix{{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr {\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr}  \right.\) với mọi x nên  \(A \ge  - 17\) với mọi x.

\( \Rightarrow A =  - 17 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - y + 1 = 0 \hfill \cr y - 4 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = y - 1 \hfill \cr  y = 4 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Phân tích đa thức thành nhân tử \({\left( {a - b} \right)^3} + {\left( {b - c} \right)^3} + {\left( {c - a} \right)^3}\).  

  • A \(3\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\)
  • B \(3abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\)
  • C \(3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)
  • D \(6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)\) cho hai hạng tử đầu để rút nhân tử chung \(c - a\).

Sau đó thu gọn biểu thức, nhóm thích hợp tạo nhân tử \(a - b;\,\,b - c\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} + {\left( {b - c} \right)^3} + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - b + b - c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right) + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2} - ab + ac + {b^2} - bc + {b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - 3ab + ac - 3bc + 3{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {c - a} \right)\left[ { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc + {c^2} - 2ac + {a^2}} \right)\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - 3{b^2} + 3ab + 3bc - 3ac} \right)\\ = 3\left( {c - a} \right)\left[ {b\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)} \right]\\ = 3\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Phân tích đa thức \(A = x{\left( {y - z} \right)^3} + y{\left( {z - x} \right)^3} + z{\left( {x - y} \right)^3}\) thành nhân tử

  • A \(\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {z - x - y} \right)\)
  • B \(\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {z + x + y} \right)\)
  • C \(\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x - y - z} \right)\)
  • D \(\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z - x - y} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Giữ hạng tử đầu, khai triển hai hạng tử sau và sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\) để xuất hiện nhân tử \(y - z\).

Tiếp tục biến đổi liên tiếp, ghép hợp lý tạo các nhân tử \(x - y\,\,;z - x;\,\,x + y + z\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = x{\left( {y - z} \right)^3} + y{\left( {z - x} \right)^3} + z{\left( {x - y} \right)^3}\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} + y\left( {{z^3} - 3{z^2}x + 3z{x^2} - {x^3}} \right) + z\left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} + {z^3}y - 3{z^2}xy + 3z{x^2}y - {x^3}y + {x^3}z - 3{x^2}yz + 3x{y^2}z - {y^3}z\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} - \left( {{y^3}z - {z^3}y} \right) - \left( {{x^3}y - {x^3}z} \right) + \left( {3x{y^2}z - 3{z^2}xy} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} - yz\left( {{y^2} - {z^2}} \right) - {x^3}\left( {y - z} \right) + 3xyz\left( {y - z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left[ {x{{\left( {y - z} \right)}^2} - yz\left( {y + z} \right) - {x^3} + 3xyz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x{y^2} - 2yzx + {z^2}x - {y^2}z - y{z^2} - {x^3} + 3xyz} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( { - {x^3} + x{y^2} + {z^2}x - y{z^2} + xyz - {y^2}z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left[ { - x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {z^2}\left( {x - y} \right) + yz\left( {x - y} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left[ { - x\left( {x + y} \right) + {z^2} + yz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{z^2} - {x^2} + yz - xy} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {z + x + y} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

list
close