40 bài tập trắc nghiệm hệ trục tọa độ mức độ vận dụng, vận dụng caoLàm bàiCâu hỏi 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {m; - 1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,1 - 2m} \right),\,\,C\left( {3m + 1; - \frac{7}{3}} \right).\) Biết rằng có hai giá trị \({m_1},\,\,{m_2}\) của tham số m để A, B, C thẳng hàng. Tính \({m_1} + {m_2}.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Ba điểm A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right).\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {2m + 1;\,\, - \frac{4}{3}} \right)\end{array} \right..\) Ba điểm A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right) = k\left( {2m + 1; - \frac{4}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m = k\left( {2m + 1} \right)\\2 - 2m = - \frac{4}{3}k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\\2 - m = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\left( {2m + 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 2m = 6{m^2} + 3m - 6m - 3\\ \Leftrightarrow 6{m^2} - m - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {6m - 7} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6m - 7 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{6}\\m = - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow {m_1} + {m_2} = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}.\end{array}\) Đáp án D. Câu hỏi 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto \(\overrightarrow a = \left( {3; - 1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {5; - 4} \right),\,\,\overrightarrow c = \left( {1; - 5} \right).\) Biết \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b .\) Tính x + y.
Đáp án: D Phương pháp giải: Cho các vecto \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};\,\,{b_2}} \right)\) và \(k \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};\,\,{a_2} + {b_2}} \right)\\k\overrightarrow a = k\left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right) = \left( {k{a_1};\,\,k{a_2}} \right)\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b \) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = x\left( {3; - 1} \right) + y\left( {5; - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = \left( {3x; - x} \right) + \left( {5y; - 4y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3x + 5y\\ - 5 = - x - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y = - 3 + 2 = - 1.\end{array}\) Đáp án D. Câu hỏi 3 : Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;1} \right)\,,\,\,B\left( {2; - 1} \right)\,,\,\,C\left( {4;3} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) để \(ABDC\) là hình bình hành là :
Đáp án: D Phương pháp giải: \(ABDC\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. Lời giải chi tiết: Gọi \(D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( {x - 4;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2} \right)\) Để \(ABDC\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\) nên \(D\left( {5;1} \right)\) Chọn D Câu hỏi 4 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right),\,\,B\left( {2; - 3} \right),\,\,C\left( {1; - 2} \right)\) và \(D\left( { - 1;3m + 3} \right)\). Câu 1: Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 + 1}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{4 + \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) Chọn C. Câu 2: Tìm \(m\) để ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng.
Đáp án: C Phương pháp giải: Ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng khi hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương Lời giải chi tiết: Ta có : \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 7} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 2;3m - 1} \right)\) Ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng khi hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương Khi đó: \(\frac{{ - 2}}{1} = \frac{{3m - 1}}{{ - 7}} \Leftrightarrow 3m - 1 = 14 \Leftrightarrow 3m = 15\) \( \Leftrightarrow m = 5\) Vậy \(m = 5\). Chọn C. Câu hỏi 5 : Cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {3;1} \right)\) là trung điểm của \(AB.\) \(H\left( {1;0} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC.\) \(K\left( {0;2} \right)\) là chân đường cao vẽ từ \(B.\) Tìm \(A ;\, B ; \,C.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trung điểm và trực tâm của tam giác để làm bài. Lời giải chi tiết:
* Giả sử \(A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {c;d} \right)\) \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\\b + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6 - a\\d = 2 - b\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {6 - a;2 - b} \right)\) \(\begin{array}{l}*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {KA} = \left( {a;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH} = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KH} = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} = \left( {a - 5;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH} = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {KH} \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{1} = \frac{{b - 2}}{{ - 2}} \Leftrightarrow - 2a - b + 12 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right):\,\,\,a - 2b + 4 = 0\\\left( 2 \right):\,\,\, - 2a - b + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {4;4} \right)\\B\left( {2; - 2} \right)\end{array} \right.\) * Giả sử \(C\left( {m;n} \right)\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( { - 3; - 4} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {m - 2;n + 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 3m - 4n - 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CK} = \left( { - m;2 - n} \right)\\\overrightarrow {KA} = \left( {4;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\overrightarrow {CK} //\overrightarrow {KA} \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{4} = \frac{{2 - n}}{2} \Leftrightarrow - m - 4 + 2n = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\) Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 3 \right):\,\, - 3m - 4n - 2 = 0\\\left( 4 \right):\,\, - m + 2n - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;1} \right)\) Chọn A. Câu hỏi 6 : Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3;\,\,4} \right),{\rm{ }}B\left( {2;\,\,1} \right),{\rm{ }}C\left( { - 1; - 2} \right)\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(BC\) sao cho \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}\).
Đáp án: D Phương pháp giải: \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} \) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\) \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u = k\left( {x\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u = l\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y = - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y = - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y = - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu hỏi 7 : Cho \(\overrightarrow a = \left( {3;\,\,2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( { - 3;\,\,1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u = \left( {2 - x} \right)\overrightarrow a + \left( {3 + y} \right)\overrightarrow b \). Tìm \(x,\,\,y\) sao cho \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) .
Đáp án: D Phương pháp giải: Cho \(\overrightarrow a = \left( {3;\,\,2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( { - 3;\,\,1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u = \left( {2 - x} \right)\overrightarrow a + \left( {3 + y} \right)\overrightarrow b \). Tìm \(x,\,\,y\) sao cho \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) . Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\) \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u = k\left( {x\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u = l\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y = - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y = - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y = - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu hỏi 8 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho 4 điểm \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right),\,\,C\left( {2;7} \right)\) và \(D\left( {0;3} \right)\). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng \(AC\) và \(BD.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Cho \(\overrightarrow u = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'} = (x';y')\) Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) Lời giải chi tiết: Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là giao điểm \(AC\) và \(BD\) suy ra \(\overrightarrow {AI\,} \,;\,\overrightarrow {AC} \) cùng phương và \(\overrightarrow {BI\,} \,;\,\,\overrightarrow {BD} \) cùng phương Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = \left( {x\,;\,y - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\,6} \right) \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{6} \Leftrightarrow 6x - 2y = - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {BI} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;0} \right)\, \Rightarrow y = 3\,\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 6x - 2.3 = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\) Vậy \({\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}};\,3} \right)\) là điểm cần tìm. Chọn D. Câu hỏi 9 : Cho \(\overrightarrow {u\,} = \left( {{m^2} + m - 2\,\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {\,v} = (m;2)\). Tìm m để hai vecto \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) cùng phương.
Đáp án: D Phương pháp giải: Cho \(\overrightarrow u = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'} = (x';y')\) Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) Lời giải chi tiết: + Với \(m = 0\): Ta có \(\overrightarrow {u\,} = ( - 2;4)\,\,\,;\overrightarrow {v\,} = (0;2)\) Vì \(\,\frac{0}{{ - 2}} \ne \frac{2}{4}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,\)không cùng phương + Với \(m \ne 0\): Ta có \(\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,\)cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{{{m^{\rm{2}}} + m - 2}}{m} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 2m \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{m = 2\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\) Vậy với \(m = - 1\) và \(m = 2\) là các giá trị cần tìm. Chọn D. Câu hỏi 10 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A\left( {3;4} \right),\,\,B\left( { - 1;2} \right),\,\,I\left( {4;1} \right)\). Xác định tọa độ các điểm \(C,\,\,D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành và \(I\) là trung điểm cạnh \(CD.\) Tìm tọa tâm \(O\) của hình bình hành \(ABCD\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Đặt \(C\left( {4 - x; - 1 - y} \right),\,\,D\left( {4 + x; - 1 + y} \right)\) vì \(I\left( {4; - 1} \right)\) là trung điểm của CD. Lời giải chi tiết: Do \(I\left( {4; - 1} \right)\) là trung điểm của \(CD\) nên đặt \(C\left( {4 - a; - 1 - b} \right),\,\,D\left( {4 + a; - 1 + b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} \left( {2a;\,\,\,2b} \right)\) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3 + 1\\2b = 4 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right..\) Vậy \(C\left( {2; - 2} \right),\,\,D\left( {6;0} \right),\,\,O\left( {\frac{5}{2};1} \right).\) Chọn D. Câu hỏi 11 : Cho \(A\left( {3;\,\,4} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,1} \right),\,\,E\left( {1;\,\,0} \right),\,\,F\left( {0;\,\,3} \right).\) Tìm điểm \(M\) thẳng hàng với 2 điểm \(E,\,\,F\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất.
Đáp án: D Phương pháp giải: Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(E,\,\,F.\) Xét xem điểm \(A,\,\,B\) có nằm cùng phía với \(d\) hay không. TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau: +) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\) +) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\) \( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\) TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau: +) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\) +) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\) +) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\) \( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\) \( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)
Lời giải chi tiết: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(E,\,\,F\) là: \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) = - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.\) Thay tọa độ điểm \(A,\,\,B\) vào biểu thức: \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3\) ta được: \(\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) = - 80 < 0\) \( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\) Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) là: \(x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(AA'.\) Khi đó \(I\) là trung điểm của\(AA'\) và tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 = - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}\) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\) \( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\) \( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\) Phương trình đường thẳng \(A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\) \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).\) Chọn D. Câu hỏi 12 : Cho đường thẳng \(d:\,\,2x + y - 4 = 0\) và \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1; - 6} \right).\) Tìm điểm \(M \in d\) thỏa mãn \(MA + MB\) nhỏ nhất.
Đáp án: C Phương pháp giải: Xét xem điểm có nằm cùng phía với \(d\) hay không. TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:
+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\) +) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\) \( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\) TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:
+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\) +) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\) +) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA' + MB \ge A'B \Leftrightarrow MA + MB \ge A'B\) \( \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)\,\,\,Min \Leftrightarrow MA' + MB = A'B.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\) \( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\) Thay tọa độ điểm \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 6} \right)\) vào biểu thức \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 2x + y - 4\) ta được: \(\left( {2.4 + 1 - 4} \right)\left( {2.1 - 6 - 4} \right) = 5.\left( { - 8} \right) = - 40 < 0\) \( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\) Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\) Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\frac{{x - 4}}{{1 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6 - 1}} \Leftrightarrow 7\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 7x - 3y - 25 = 0.\) Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\7x - 3y - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{13}}\\y = - \frac{{22}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\) Chọn C. Câu hỏi 13 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho \(M\left( {1; - 1} \right),\,\,N\left( {3;\,\,2} \right),\,\,P\left( {0; - 5} \right)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) của \(\Delta ABC.\) Tọa độ đỉnh \(A\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Chứng minh tứ giác \(APMN\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {NM} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(A.\) Lời giải chi tiết:
Theo đề bài ta có: \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) Theo tính chất đường trung tuyến \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = AP = \frac{1}{2}AB\\MN//AB\end{array} \right. \Rightarrow APMN\) là hình bình hành (dhnb). Gọi \(A\left( {a;\,\,b} \right).\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AP} = \left( { - a; - 5 - b} \right)\\\overrightarrow {NM} = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)\end{array} \right..\) Vì \(APMN\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 2\\ - 5 - b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2; - 2} \right).\) Chọn A. Câu hỏi 14 : Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {5; - 2} \right),\,\,B\left( { - 3;\,\,4} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(C\) có hoành độ âm sao cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(C.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: \(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0\\AC = BC\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Gọi \(C\left( {a;\,\,b} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( {a - 5;\,\,b + 2} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {a + 3;\,\,\,b - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right..\) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0\\AC = BC\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 5} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {b - 4} \right) = 0\\\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a - 15 + {b^2} - 2b - 8 = 0\\{\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\25 - 10a + 4b + 4 = 6a + 9 - 8b + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{1 + 3b}}{4}} \right)^2} + {b^2} - 2.\frac{{1 + 3b}}{4} - 2b - 23 = 0\,\,\,\left( * \right)\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 1 + 6b + 9{b^2} + 16{b^2} - 8 - 24b - 32b - 368 = 0\\ \Leftrightarrow 25{b^2} - 50b - 375 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2;\, - \,3} \right)\\C\left( {4;\,\,5} \right)\end{array} \right..\end{array}\) Lại có là điểm có hoành độ âm nên là điểm thỏa mãn bài toán. Chọn B. Câu hỏi 15 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm \(A\left( {1; - 2} \right);B\left( { - 3;5} \right)\). Tọa độ điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Gọi điểm \(M\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {MB} = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} = \left( {2 - 2x; - 4 - 2y} \right)\,\,;\,\,3\overrightarrow {MB} = \left( { - 9 - 3x;\;15 - 3y} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} = \left( {2 - 2x + 9 + 3x; - 4 - 2y - 15 + 3y} \right) = \left( {x + 11;\;y - 19} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11 = 0\\y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 11\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 11;\;19} \right).\end{array}\) Chọn A. Câu hỏi 16 : Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1;3} \right),\;B\left( {4;\;0} \right),\;C\left( {2; - 5} \right).\) Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng các công thức : \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};\;{y_B} - {y_A}} \right),\;\;\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) + \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) = \left( {{a_1} + {b_1};\;{a_2} + {b_2}} \right).\) \(\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) = \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Gọi \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - {x_0};\;3 - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MB} = \left( {4 - {x_0}; - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MC} = \left( {2 - {x_0}; - 5 - {y_0}} \right).\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( { - 1 + {x_0};\;18 + {y_0}} \right) = \left( {0;\;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + {x_0} = 0\\18 + {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 18\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 18} \right).\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 17 : Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(A\left( {2;3} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0; - 1} \right)\). Chu vi tam giác ABC bằng
Đáp án: D Phương pháp giải: \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {10} \\\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {20} \\\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {10} \end{array}\) Chu vi tam giác ABC \( = AB + AC + BC = 2\sqrt {10} + \sqrt {20} \) Chọn D. Câu hỏi 18 : Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(\vec u\left( {2;5} \right)\) và \(\overrightarrow v \left( { - 3;\,1} \right)\) . Tìm số thực m để \(\vec a = m\vec u + \vec v\) tạo với \(\vec b\left( {1;1} \right)\) 1 góc \({45^0}\).
Đáp án: A Phương pháp giải: \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\vec a = m\vec u + \vec v = m\left( {2;\;5} \right) + \left( { - 3;\;1} \right) = \left( {2m - 3;\;5m + 1} \right)\\ \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( {2m - 3} \right)}^2} + {{\left( {5m + 1} \right)}^2}} = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} \\\overrightarrow b = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \\\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2m - 3 + 5m + 1 = 7m - 2\end{array}\) Mặt khác: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\sqrt 2 .\cos {45^o} = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7m - 2 = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7m - 2 \ge 0\\49{m^2} - 28m + 4 = 29{m^2} - 2m + 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\20{m^2} - 26m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}.\end{array}\) Chọn A. Câu hỏi 19 : Các điểm \(M( - 3;5)\),\(N(5; - 6)\) và \(P(1;0)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Đáp án: D Phương pháp giải: G là trọng tâm tam giác ABC. M, N, P là trung điểm các cạnh của tam giác ABC thì G cũng là trọng tâm tam giác MNP. G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết: G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \) G cũng là trọng tâm tam giác MNP \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{ - 3 + 5 + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{5 - 6 + 0}}{3} = - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\) Chọn D. Câu hỏi 20 : Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), cho \(\overrightarrow a = ( - 1;\,2)\), \(\overrightarrow b = (3; - 5)\). Tìm cặp số \((m,n)\) sao cho \(\overrightarrow i + \overrightarrow j = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \).
Đáp án: B Phương pháp giải: \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)\) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\\\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\end{array} \right..\end{array}\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;1} \right)\) \(\begin{array}{l}m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \left( {m.\left( { - 1} \right) + n.3;\;m.2 - n.5} \right) = \left( { - m + 3n;\;2m - 5n} \right)\\m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 3n = 1\\2m - 5n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = 3\end{array} \right..\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 21 : Cho ba điểm \(A (1; 3) ; B (–1; 2); C(–2; 1) . \) Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) là :
Đáp án: B Phương pháp giải: Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 3; - 2} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1} \right) - \left( { - 3; - 2} \right) = \left( {1;\;1} \right).\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 22 : Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), cho \(\overrightarrow a = ( - 1;2)\), \(\overrightarrow b = (3; - 5)\). Tìm số thực \(m\) sao cho \(m\overrightarrow a + \overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \).
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các công thức sau để làm bài toán: \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;\;1} \right)\) \(m\overrightarrow a + \overrightarrow b = m\left( { - 1;2} \right) + \left( {3; - 5} \right) = \left( {m.\left( { - 1} \right) + 3;\;m.2 - 5} \right) = \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right)\) Để \(m\overrightarrow a + \overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \Leftrightarrow \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right).\left( {1;\;1} \right) = 0 \Leftrightarrow - m + 3 + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) Chọn B. Câu hỏi 23 : Cho ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Vectơ \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \) có độ dài bằng :
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng định lý Py-ta-go và quy tắc 3 điểm. Lời giải chi tiết: Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có: \(\begin{array}{l} \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 5.\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 24 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với \(A( - 1;3),B(2;4),C(2; - 1)\) Câu 1: Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Đáp án: B Phương pháp giải: G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết: Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 + 2}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{3 + 4 - 1}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;2} \right)\). Câu 2: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0. \)
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\); \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( { - 1 - x;3 - y} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x;4 - y} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( {2 - x; - 1 - y} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( { - 1 - x; - 2 - y} \right)\) Mà \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 0\\ - 2 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\) Vậy với \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 3: Chứng minh 3 điểm B, M, G thẳng hàng.
Đáp án: A Phương pháp giải: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh các vectơ cùng phương. Cụ thể là: \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) hoặc \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {BC} \) … Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow {MB} = \left( {3;6} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {GB} = \left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {GB} \) Vậy 3 điểm B, M, G thẳng hàng. Câu hỏi 25 : Trong mặt phẳng Oxy cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {2; - 3} \right),\,\,B\left( {4;1} \right),\,\,C\left( { - 2; - 5} \right)\). Chứng minh \(\Delta ABC\) cân, tính độ dài đường cao AH của \(\Delta ABC\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B},\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \) H là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \\\overrightarrow {AC} = \left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \end{array}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A (định nghĩa). Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow H\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( { - 1;\;1} \right)\) Do \(\Delta ABC\) cân tại A (cmt) \( \Rightarrow \) AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \) Chọn A. Câu hỏi 26 : Trong hệ trục tọa độ \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\) cho điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 4\vec i - 2\vec j\). Tìm tọa độ điểm M.
Đáp án: D Phương pháp giải: \(\overrightarrow i = \left( {1;\;0} \right);\,\,\overrightarrow j = \left( {0;\;1} \right)\) từ đó tìm tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) suy ra tọa độ điểm M chính là tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Gọi \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {{x_0};\;{y_0}} \right).\) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = 4\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = 4\left( {1;\;0} \right) - 2\left( {0;\;1} \right) = \left( {4.1 - 2.0;\;4.0 - 2.1} \right) = \left( {4; - 2} \right) \Rightarrow M\left( {4; - 2} \right)\) Chọn D. Câu hỏi 27 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(1 ; 0), B(0 ; 3), C(-3; -5). Tọa độ của điểm M thuộc trục Ox sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất là :
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\), tính \(2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} \) +) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \). Lời giải chi tiết: Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\) ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - m;0} \right);\,\,\overrightarrow {MB} = \left( { - m;3} \right);\,\,\overrightarrow {MC} = \left( { - 3 - m; - 5} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( {2 - 2m + 3m - 6 - 2m; - 9 - 10} \right) = \left( { - m - 4; - 19} \right)\\ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + {{19}^2}} \ge \sqrt {{{19}^2}} = 19\end{array}\) Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = - 4 \Rightarrow M\left( { - 4;0} \right)\). Chọn C. Câu hỏi 28 : Cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2} \right),B\left( { - 3; - 3} \right),C\left( {5; - 2} \right)\). Tìm tọa độ của \(\vec v = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} + 4\overrightarrow {BC} \).
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 5} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 4} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {8;1} \right)\) Vậy \(\vec v = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} + 4\overrightarrow {BC} \Rightarrow \vec v = \left( {12;6} \right)\). Câu hỏi 29 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a = \left( {2 + x; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;2} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow v = \left( { - 5;8} \right)\) là vectơ ngược chiều với \(\overrightarrow u \). Tìm x biết \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right|\).
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Tính vectơ u. +) Sử dụng các giả thiết để tìm x. +) Dựa vào điều kiện \(\overrightarrow u \) là vectơ ngược chiều với \(\overrightarrow v \) để loại đáp án. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64} = \sqrt {89} ;\,\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89} = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\ \Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.\end{array}\) Khi \(x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v \,\,\left( {tm} \right)\) Khi \(x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\) Vậy \(x = \frac{{ - 5}}{4}\).
Câu hỏi 30 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có \(M\left( { - \frac{5}{2}; - 1} \right);\,\,N\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{7}{2}} \right);\,\,P\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm trọng tâm G của tam giác ABC?
Đáp án: A Phương pháp giải: G là trọng tâm tam giác MNP thì G là trọng tâm giác ABC. Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta dễ dàng chứng minh được G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: \(G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\) Chọn A. Câu hỏi 31 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD gấp đôi đáy nhỏ AB. Biết \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( { - 1;2} \right);\,\,C\left( {0;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm D ?
Đáp án: A Phương pháp giải: Tìm tọa độ điểm D để \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \). Lời giải chi tiết: Ta có: \(CD = 2AB \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 - {x_D} = 2\left( { - 1 - 1} \right)\\1 - {y_D} = 2\left( {2 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_D} = - 4\\1 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4; - 1} \right)\). Chọn A. Câu hỏi 32 : Trên hệ tọa độ \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\) cho tam giác ABC với tọa độ ba đỉnh là: \(A(3; - 1),\;B(2;5),\;C( - 2;1).\) Câu 1: Tính tọa độ các vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Đáp án: C Phương pháp giải: Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\) Lời giải chi tiết: Trên hệ tọa độ \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\) cho tam giác ABC với tọa độ ba đỉnh là: \(A(3; - 1),B(2;5),C( - 2;1)\) Tính tọa độ các vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) \(\overrightarrow {AC} = ( - 5;\;2)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB} = ( - 1;\;6).\) Chọn C. Câu 2: Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC (M là trung điểm của BC)
Đáp án: A Phương pháp giải: Tìm điểm M là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \). Lời giải chi tiết: Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC (M là trung điểm của BC) +) Trung điểm của BC là \(M\left( {0;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 3;\;4} \right).\) +) Độ dài trung tuyến AM: \(AM = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = \sqrt {25} = 5\) Chọn A. Câu 3: Tìm điểm N trên đường thẳng \(y = x + 1\) sao cho \(AN = 5.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm N theo 1 chữ, từ AN = 5 lập phương trình để tìm tọa độ N Lời giải chi tiết: Tìm điểm N trên đường thẳng \(y = x + 1\) sao cho AN = 5. +) N thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên \(N(a;a + 1)\) +) \(AN = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {{(a + 2)}^2}} \) \(AN = 5 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(a + 2)^2} = 25 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 2\\a = 3\end{array} \right.\) Vậy có hai điểm N thỏa mãn bài toán: \(N\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(N\left( {3;4} \right)\) Chọn C. Câu hỏi 33 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có \(A\left( {2;2} \right);\,\,B\left( {5;3} \right)\) và \(C\left( {4; - 4} \right)\). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tìm tọa độ điểm D sao cho bốn điểm A, B, C, D lập thành một hình chữ nhật. Phương pháp giải: Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \). Để ABDC là hình chữ nhật cần thêm điều kiện \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \). Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 6} \right);\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 7} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.2 + 1.\left( { - 6} \right) = 0 \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A. Để ABDC là hình bình hành \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left( {3;1} \right) = \left( {{x_D} - 4;{y_D} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 3\\{y_D} + 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 7\\{y_D} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7; - 3} \right)\end{array}\) Hơn nữa \(\widehat {BAC} = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên ABDC là hình chữ nhật. Vậy \(D\left( {7; - 3} \right)\).
Câu hỏi 34 : Tam giác ABC vuông ở A. \(B\left( {1;4} \right);\,\,G\left( {5;4} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). \(AC = 2AB.\) Tìm A, C biết \({x_A} > 0\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
G là trọng tâm \( \Rightarrow \overrightarrow {BG} = 2\overrightarrow {GM} \Rightarrow M\left( {7;8} \right)\) (M là trung điểm AC). \(AC = 2AB \Rightarrow AM = AB\). Giả sử \(M\left( {a;b} \right).\,\,A{M^2} = A{B^2}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2}\\ \Rightarrow a = 8 - 2b\,\,\left( 1 \right)\end{array}\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {7 - a;8 - b} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( {1 - a;4 - b} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow \left( {7 - a} \right)\left( {1 - a} \right) + \left( {8 - b} \right)\left( {4 - b} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( { - 2;5} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)\\A\left( {10; - 1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) M là trung điểm của AC \( \Rightarrow C\left( {4;17} \right)\). Câu hỏi 35 : \(\Delta ABC;\,\,A\left( {1;8} \right);\,\,B\left( { - 2; - 1} \right);\,\,C\left( {6;3} \right)\). Tìm trực tâm H của tam giác ABC.
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
Giả sử \(H\left( {a;b} \right)\) ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 8} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow 2a + b - 10 = 0\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} = \left( {a + 2;b + 1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 5} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) Giải hệ (1); (2) \( \Rightarrow H\left( {3;4} \right)\). Chọn A. Câu hỏi 36 : Tìm trên trục hoành điểm \(P\) sao cho tổng khoảng cách từ \(P\) tới hai điểm \(A\) và \(B\) là nhỏ nhất, biết \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Xét vị trí trương đối của A, B so với trục hoành. Tìm A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành. Sử dụng bất đẳng thức tam giác. Lời giải chi tiết: Dễ thấy \(A,\,B\) cùng phía với trục hoành. Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua trục hoành. \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'\left( {1; - 2} \right)\\PA = PA'\end{array} \right..\) Ta có \(PA + PB = PA' + PB \ge A'B\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'P} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'B} \) Suy ra \(\frac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \frac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\frac{5}{3};0} \right)\) Chọn A. Câu hỏi 37 : Cho A(2;5); B(1;1); C(3;3). Toạ độ điểm E thoả \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\) \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Gọi \(E\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {x - 2;y - 5} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2} \right)\) \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3.\left( { - 1} \right) - 2.1\\y - 5 = 3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 3; - 3} \right).\) Chọn C. Câu hỏi 38 : Viết vec tơ \(\vec u\) dưới dạng \(\vec u = x\vec i + y\vec j\) khi biết tọa độ của \(\vec u\): \(\left( {2; - 3} \right),\,\,\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( { - 1;\,\,8} \right),\,\,\left( {2;\,\,0} \right),\,\,\left( {0;\,\,0} \right),\,\,\left( {\pi ; - sin{{10}^0}} \right)\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\vec u = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\vec i - 3\vec j\\\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = - \overrightarrow j \\\overrightarrow u = \left( { - 1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = - \overrightarrow i + 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u = \left( {0;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = 0\overrightarrow i + 0\overrightarrow j = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow u = \left( {2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = 2\overrightarrow i \\\overrightarrow u = \left( {\pi ; - \sin {{10}^0}} \right) = \pi \overrightarrow i - \sin {10^0}\overrightarrow j \end{array}\) Câu hỏi 39 : Cho \(\vec a = \left( {2;1} \right),\;\vec b = \left( {3;4} \right),\;\vec c = \left( {7;2} \right).\) a) Tìm tọa độ của vecto \(\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c.\) b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec v\)ao cho \(\vec v + \vec a = \vec b - \vec c.\) c) Tìm các số \(k,\,\,m\) để \(\vec c = k\vec a + m\vec b.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}a)\,\,\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {4;\,2} \right) - \left( {9;12} \right) + \left( {7;2} \right) = \left( {2; - 8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow v = - \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \\ \Leftrightarrow \overrightarrow v = - \left( {2;\,\,1} \right) + \left( {3;\,\,4} \right) - \left( {7;\,\,2} \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow v = \left( { - 2 + 3 - 7;\,\, - 1 + 4 - 2} \right) = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c = k\overrightarrow a + m\overrightarrow b = k\left( {2;\,\,1} \right) + m\left( {3;\,\,4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {7;\,\,2} \right) = \left( {2k + 3m;\,\,k + 4m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + 3m = 7\\k + 4m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{22}}{5}\\m = - \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow c = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a - \frac{3}{5}\overrightarrow b .\end{array}\) Câu hỏi 40 : Cho \(\Delta ABC,\) các điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right),\,\,\,N\left( {2;\,\,3} \right),\,\,\,P\left( {0; - 4} \right)\) lần lượt là trung điểm cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,\,AB.\) Tính tọa độ các đỉnh của \(\Delta ABC.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Ta có \(PANM\) là hình bình hành nên: \(\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} \) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} + 4 = 2}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} = - 2}\end{array}} \right.\) Tương tự ta tính được : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = - 1}\\{{y_B} = - 6}\end{array}} \right.;\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 8}\end{array}} \right.\) Vậy tọa độ các đỉnh của \(\Delta ABC\) là: \(A\left( {1; - 2} \right),\,\,B\left( { - 1; - 6} \right),\,\,C\left( {3;\,\,8} \right).\)
|
