Phương pháp giải:

\(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số  \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2} + 2x - 3\) có các hệ số \(a =  - 1,\,\,\,b = 2,\,\,c =  - 3\).

\( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\) và \( - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2\).

Vậy đỉnh của parabol là \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) nhận đường thẳng \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) làm trục đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 4x - 1\) nhận đường thẳng \(x =  - \frac{4}{{2.3}} =  - \frac{2}{3}\) làm trục đối xứng.

Đáp án C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số, điểm nào thỏa mãn thì sẽ thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \({1^2} + 4.1 - 2 = 3 \ne  - 3 \Rightarrow \left( {1; - 3} \right)\) không thuộc (P).

Đáp án B: \({3^2} + 4.3 - 2 = 19 \ne 18 \Rightarrow \left( {3;18} \right)\) không thuộc (P).

Đáp án C: \({\left( { - 2} \right)^2} + 4.\left( { - 2} \right) - 2 =  - 6 \Rightarrow \left( { - 2; - 6} \right)\) thuộc (P).

Đáp án C.

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với \(a \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left( {m - 5} \right){x^2} - 5x + 1\) là hàm số bậc nhất

\( \Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\).

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy ta cho x = 0.

Lời giải chi tiết:

Cho x = 0 ta có: \(y =  - {0^2} - 2.0 + 5 = 5\).

Vậy giao điểm của (P) với Oy là (0;5).

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Dựa vào BBT để nhận xét đỉnh của đồ thị hàm số và tính đơn điệu của hàm, từ đó tìm hàm số thích hợp.

Lời giải chi tiết:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới \( \Rightarrow a > 0 \Rightarrow \) loại đáp án D.

Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {1;2} \right)\).

Vậy hàm số đó là \(y = 2{x^2} - 4x + 4.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số bậc hai.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\) có \(a = \sqrt 2  > 0\) và đồ thị hàm số có đinh là: \(\left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow \) hàm số  nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số đã cho rồi chọn hàm số phù hợp.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y =  - {x^2} + 2x + 3\) có \(a =  - 1 < 0 \Rightarrow \) đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới

\( \Rightarrow \) loại đáp án C.

Đồ thị hàm số đã cho có tọa độ đỉnh là \(I\left( {1;4} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất hàm số và đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Nên A, B sai.

Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) nên D đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào BBT để suy ra tọa độ đỉnh của parabol.

Lời giải chi tiết:

Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh của parabol là điểm \(I\left( { - 1; - 5} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị: bề lõm của đồ thị (\(a > 0:\) bề lõm quay lên trên; \(a < 0:\) bề lõm quay xuống dưới), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ \(Ox,Oy.\)  

Lời giải chi tiết:

Đồ thị có bề lõm quay lên trên nên \(a > 0 \Rightarrow \) loại D

Trục đối xứng của đồ thị hàm số là \(x =  - \frac{b}{{2a}} < 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow b > 0 \Rightarrow \) chọn C.

Chọn  C

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất đồ thị xét dấu của \(a,\,\,\,b,\,\,c.\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên \(a < 0.\)

Trục đối xứng của đồ thị hàm số là: \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} > 0\) mà \(a < 0\) nên \(b > 0.\)

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) và đường thẳng \(d:y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right).\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = a'x + b'.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là:

 \(\begin{array}{l}{x^2} - 4x =  - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow y =  - 3}\\{x = 2 \Rightarrow y =  - 4}\end{array}} \right..\end{array}\)

Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là \(M\left( {1; - 3} \right),N\left( {2; - 4} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\)

Với \(a > 0:\) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \({y_{\min }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}\)  đạt được tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}.\)

 Với \(a < 0:\) Giá trị lớn nhất của hàm số \({y_{\max }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}\) đạt được tại  \(x =  - \frac{b}{{2a}}.\)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ đỉnh \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 4}}{2} = 2.\)

Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số \(y = {x^2} - 4x + 5\)  có giá trị nhỏ nhất \({y_{\min }} = y\left( 2 \right) = {2^2} - 4.2 + 5 = 1.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Khi \(\Delta  < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)

Lời giải chi tiết:

Trong các đáp án, chỉ có hàm số \(y = 4{x^2} - 12x + 9\) là hàm số bậc 2.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Parabol \(y = {x^2} + 1\) có đỉnh \(\left( { - \dfrac{0}{2}; - \dfrac{{0 - 4}}{4}} \right) = \left( {0;1} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay trực tiếp tọa độ các điểm M, N vào hàm số.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm M vào hàm số (P) ta có: \(8 =  - {3.2^2} + 9.2 + 2 \Leftrightarrow 8 = 8\) (luôn đúng) \( \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

Thay tọa độ điểm M vào hàm số (P) ta có: \(56 =  - {3.3^2} + 9.3 + 2 \Leftrightarrow 56 = 2\) (vô lí) \( \Rightarrow N \notin \left( P \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Nếu \(a > 0\) đồ thị có bề lõm hướng lên, nếu \(a < 0\) đồ thị có bề lõm hướng xuống.

- Tọa độ đỉnh I của parabol \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị có bề lõm hướng lên \( \Rightarrow a > 0 \Rightarrow \) Loại bỏ phương án C và D

Đồ thị hàm số bên là parabol có đỉnh \(I\left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\,\,\, \Rightarrow \)Chọn phương án B.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + 2x + m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để đồ thị \(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 3\).

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

Hàm số f(x) xác định trên miền D là hàm số chẵn khi \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D,\,\,f\left( x \right) = f\left( { - x} \right).\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R. \(\forall x \in R \Rightarrow  - x \in R.\)

Ta có: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \Rightarrow f\left( { - x} \right) = a{\left( { - x} \right)^2} + b\left( { - x} \right) + c = a{x^2} - bx + c\)

Để hàm số là hàm chẵn thì \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow a{x^2} + bx + c = a{x^2} - bx + c \Leftrightarrow 2bx = 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow b = 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Thay tọa độ 2 điểm A và B vào hàm số, thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn a, c.

- Giải hệ phương trình tìm a và c.

Lời giải chi tiết:

Vì A thuộc đồ thị hàm số nên \( - 2 = a - 1 + c \Leftrightarrow a + c =  - 1\).

Vì B thuộc đồ thị hàm số nên \(3 = 4a - 2 + c \Leftrightarrow 4a + c = 5\).

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 1\\4a + c = 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(y = 2{x^2} - x - 3\).

Đáp án C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ các điểm A, B.

- Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b. Thay tọa độ các điểm A, B vào và tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^2} - 2 = 2{x^2} - x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Với x = 2 thì y = 10 => A(2;10).

Với x = -3 thì y = 25 => B(-3;25).

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì \(A \in AB\) nên 10 = 2a + b.

Vì \(B \in AB\) nên 25 = -3a + b.

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 10\\ - 3a + b = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 16\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = –3x + 16.

Đáp án C.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, tìm hàm số đã cho rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\\frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = 3\end{array} \right..\)

Độ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow  - 1 = c \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\\frac{{ - {b^2} - 4a}}{{4a}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 4\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow M = 4a + 2b - 3c =  - 4 + 8 + 3 = 7.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, áp dụng quy tắc vẽ đồ thị của hàm số trị tuyệt đối để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\) ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) bằng cách:

+) Giữ lại phần đồ thị phía trên trục \(Ox,\) lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục \(Ox\) lên phía trên trục \(Ox.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a > 0\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Trục đối xứng \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 1\)

Đỉnh parabol \(I\left( {1;3} \right)\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có BBT:

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)có trục đối xứng \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), có đỉnh là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) có trục đối xứng \(x = 1,\) có đỉnh là \(I\left( {1;1} \right)\) nên A đúng, B sai.

Phương trình \(2{x^2} - 4x + 3 = 0\) vô nghiêm do có \(\Delta  =  - 4 < 0\) nên đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) không có giao điểm với trục hoành. Do đó, C đúng.

Thay \(x =  - 1\) vào hàm số ta được \(y = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3 = 9\) nên điểm \(M\left( { - 1;9} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3.\) Do đó, D đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ điểm vào các hàm số ở mỗi đáp án để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ ta thấy parabol quay bề lõm lên trên do đó \(a > 0\), loại D.

Các điểm \(\left( { - 2; - 1} \right);\left( { - 3;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số

Thay \(x =  - 2;y =  - 1\) vào hàm số ở A, B, C ta thấy chỉ có hàm số \(y = {x^2} + 4x + 3\) thỏa mãn nên C đúng.

Chọn C

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào hàm số để chọn.

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\) vào hàm số ta được: \(5 = \left| {2.{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3} \right| \Leftrightarrow 5 = 5\left( {ld} \right)\)  nên điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Chọn C

Phương pháp giải:

Nhận xét \(b,c\) từ điều kiện bài cho và đối chiếu các đáp án.

Lời giải chi tiết:

Trục đối xứng \(x =  - 2\) nên \( - \frac{b}{{2.1}} =  - 2 \Leftrightarrow b = 4\).

Chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hàm số: \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{x_{\max }} =  - \frac{b}{{2a}}\\{y_{\max }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a < 0 \Rightarrow \) loại đáp án B.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Ta thấy đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + x + \frac{1}{2}\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\) nên hàm số này có giá trị lớn nhất là \(\frac{3}{4}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, xét dấu của \(a,\,\) suy ra tọa độ đỉnh của parabol và các điểm thuộc đồ thị hàm số để từ đó chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Gọi hàm số có đồ thị như hình vẽ là \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên \(a > 0 \Rightarrow \) loại đáp án C.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) nên ta có:

 \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 + c =  - 2\\a{.0^2} + b.0 + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\c =  - 1\\a + b + c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow y = {x^2} - 2x - 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Trục đối xứng của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)  là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y =  - 2{x^2} + 4x + 1\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 2} \right)}} \Leftrightarrow x = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng dữ kiện đề bài lập hệ phương trình tìm \(a,b.\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua điểm \(A\left( {3;5} \right)\) và có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = a{.3^2} + b.3 + 2\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9a + 3b = 3\\2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right..\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của đỉnh parabol đã cho, từ đó chỉ ra đường thẳng đi qua đỉnh I

Lời giải chi tiết:

Đỉnh \(I\) có tọa độ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - \frac{{ - 2m}}{{2.1}} = m}\\{{y_I} =  - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{{4{m^2} - 4\left( {{m^2} + 7m + 2} \right)}}{4} = 7m + 2}\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow {y_I} = 7{x_I} + 2.\)

Vậy đỉnh \(I\) luôn nằm trên đường thẳng \(y = 7x + 2\) cố định.

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Toạ độ đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là  \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)

\(\left( P \right)\) đi qua điểm  \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0}^2 + b{x_0} + c.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\) và có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b + 2 = 6}\\{ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b = 4}\\{{b^2} - 4ac = a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4 + b}\\{{b^2} - 8\left( {4 + b} \right) = 4 + b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4 + b}\\{{b^2} - 9b - 36 = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 + b\\\left[ \begin{array}{l}b = 12\\b =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 16}\\{b = 12}\end{array}\,\,\,\,\left( {tm{\rm{ }}a > 1} \right)} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b =  - 3}\end{array}\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)} \right.\end{array} \right. \Rightarrow P = ab = 16.12 = 192.\end{array}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó a, b, c là các hằng số và \(a \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \left( {m + 2} \right){x^2} - 2x + m - 3\) là hàm số bậc hai \( \Leftrightarrow m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+) Nếu \(a > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\).

+) Nếu \(a < 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y =  - 2{x^2} + 4x + 1\) có \(a =  - 2 < 0\) và \( - \dfrac{b}{{2a}} = 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a > 0} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {x^2} - \frac{3}{2}x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{3}{4}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) là parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ của đỉnh I  là:\({x_I} = \frac{4}{{2.2}} = 1 \Rightarrow {y_I} = 2.1 - 4.1 + 1 =  - 1.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ đỉnh của Parabol \(y = 2{x^2} - 4x + 1\) là \(I\left( {1; - 1} \right)\)

Chọn C.