Phương pháp giải:

- Chia cả tử và mẫu của Q cho \(\cos x\) để làm xuất hiện \(\tan x\).

- Thay \(\tan x = 5\) vào tính giá trị của Q.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}} = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x + 2\sin x}}{{\cos x}}}}\\\,\,\,\, = \frac{{3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4.\frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\end{array}\)

Thay \(\tan x = 5\) ta được: \(Q = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \({\cos ^2}x\)

Kết hợp điều kiện của \(x\) để suy ra dấu của \(\cos x\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}x = 1\)\( \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(x\) thuộc góc phần tư thứ II \( \Rightarrow \cos x < 0\)

Vậy \(\cos x =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I bán kính R\( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \((C):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) \( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.2 - 2m + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {9 - 2m} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left| {9 - 2m} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 2m = 15\\9 - 2m =  - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m =  - 6\\2m = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m = 12\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó \(S = \left\{ { - 3;12} \right\}\) nên tích cần tìm bằng \(\left( { - 3} \right).12 =  - 36.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Vì tồn tại \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu cho \(\sin \alpha \) và rút gọn \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Vì tồn tại \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của \(P\)cho \(\sin \alpha \)

\( \Rightarrow P = \frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin 2\alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\)\( = \frac{{2 - \sqrt 2 \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{4 + 3\sqrt 2 \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\)\( = \frac{{2 - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right)}} =  - 2\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \cos \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\\ = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 1.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Ta có: \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác \( \Rightarrow A + B + C = {180^0}.\)

Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos \left( {{{180}^0} - x} \right) =  - \cos x\\\cos \left( {{{90}^0} - x} \right) = \sin x\\\sin \left( {{{90}^0} - x} \right) = \cos x\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đáp án A ta có: \(\sin \frac{{A + C}}{2} = \sin \frac{{{{180}^0} - B}}{2}\)\( = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{B}{2}} \right) = \cos \frac{B}{2}\)\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

+) Xét đáp án B ta có: \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {{{180}^0} - C} \right) =  - \cos C \ne \cos C\) \( \Rightarrow \) đáp án B sai.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}} = \frac{{\sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}}{{2\sin 2x\cos 2x}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x}}{{2\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}}\) là biểu thức không phụ thuộc vào \(x.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}} = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x\left( {1 + \cos x} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sin x}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{x}{2}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Ta có: \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác \( \Rightarrow A + B + C = {180^0}.\)

Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos \left( {{{180}^0} - x} \right) =  - \cos x\\\cos \left( {{{90}^0} - x} \right) = \sin x\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)

\(\begin{array}{l} = \sin 2A + 2\sin \frac{{2B + 2C}}{2}\cos \frac{{2B - 2C}}{2}\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin \left( {B + C} \right)\cos \left( {B - C} \right)\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin \left( {{{180}^0} - A} \right)\cos \left( {B - C} \right)\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin A\cos \left( {B - C} \right)\\ = 2\sin A\left[ {\cos A + \cos \left( {B - C} \right)} \right]\\ = 2\sin A.2\cos \frac{{A + B - C}}{2}.\cos \frac{{A - B + C}}{2}\\ = 4\sin A.\cos \frac{{{{180}^0} - 2C}}{2}.\cos \frac{{{{180}^0} - 2B}}{2}\\ = 4\sin A.\cos \left( {{{90}^0} - C} \right).\cos \left( {{{90}^0} - B} \right)\\ = 4\sin A\sin B\sin C.\end{array}\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin 2a = 2\sin a\cos a\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\cos a - \cos 5a}}{{\sin 4a + \sin 2a}} = \frac{{ - 2\sin 3a.\sin \left( { - 2a} \right)}}{{2\sin 3a.\cos a}}\\ = \frac{{ - \sin \left( { - 2a} \right)}}{{\cos a}} = \frac{{\sin 2a}}{{\cos a}} = \frac{{2\sin a.\cos a}}{{\cos a}} = 2\sin a.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + \sin 2\alpha  = \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow \sin 2\alpha  = \frac{9}{{16}}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\); \(\sin a\sin b =  - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\\M = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a - \cos 2b} \right)\\M = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b + \cos 2a - \cos 2b} \right)\\M = \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) mà \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{2}{3}.\)

Lại có \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{2}{3}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}\\\, = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Từ \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), tìm \(\cos \alpha ,\sin \alpha .\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha .\)

Lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{3}{4} - \sin \alpha } \right)^2} = 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \frac{3}{2}\sin \alpha  - \frac{7}{{16}} = 0\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8}\) (vì với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì \(\sin \alpha  > 0)\).

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha  = \frac{3}{4} - \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8} = \frac{{3 - \sqrt {23} }}{8}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  - \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {23} }}{4}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {\alpha  + \pi } \right) = \tan \alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Trong các đáp án chỉ có đáp án C sai, công thức đúng: \(\tan \left( {\pi  + \alpha } \right) = \tan \alpha .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha  > 0.\)

Có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{{16}}{{169}}}  = \frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,M = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow M = \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right) \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\left( {\cos x + \dfrac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\left( {\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow M = 2\cos 2x.2\cos \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{x - \dfrac{\pi }{3}}}{2}\\M = 4\cos 2x\cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) Sử dụng công thức \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).

+) Sử dụng quan hệ \(\sin a = \cos \left( {{{90}^0} - a} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos {54^0}\cos {4^0} - \cos {36^0}\cos {86^0} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos {{58}^0} + \cos {{50}^0}} \right] - \dfrac{1}{2}\left( {\cos {{122}^0} + \cos {{50}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos {{58}^0} + \cos {{50}^0} - \cos {{122}^0} - \cos {{50}^0}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos {{58}^0} - \cos {{122}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right)\sin {90^0}\sin \left( { - {{32}^0}} \right) = \sin {32^0} = \sin \left( {{{90}^0} - {{58}^0}} \right) = \cos {58^0}\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2};\,\,\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{{\cos }^2}x + 2\cos 2x\cos x}}{{\cos x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\cos x\left( {\cos x + \cos 2x} \right)}}{{\cos x + \cos 2x}}\\\,\,\,\,\, = 2\cos x\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(M = \dfrac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \dfrac{{2\cos 2x\sin x}}{{\cos 2x}} = 2\sin x\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{3a}}{2}\cos \dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{3a}}{2} + \dfrac{a}{2}} \right) + \cos \left( {\dfrac{{3a}}{2} - \dfrac{a}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos a} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + \cos a} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2.\dfrac{9}{{16}} - 1 + \dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{7}{{16}}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi: \(1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x,\,\,1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}} = \dfrac{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}} = \cot x\).

\(1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 9 \Leftrightarrow {\cot ^2}x = 8\)

Do \({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \cot x < 0 \Leftrightarrow \cot x =  - 2\sqrt 2 \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Tính \(\cos a,\,\,\cos b\).

+) Sử dụng các công thức \(\sin 2x=2\sin x\cos x,\,\,\sin \left( a+b \right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\) \(\cos \left( a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align} {{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\Leftrightarrow \cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,\,\left( Do\,\,0<a<{{90}^{0}} \right) \\ {{\cos }^{2}}b=1-{{\sin }^{2}}b=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \cos b=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\left( Do\,\,{{0}^{0}}<b<{{90}^{0}} \right) \\\end{align}\)

\(\begin{array}{l}\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a + b} \right)\\\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\left( {\sin a\cos b + \cos a\sin b} \right)\left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right)\\\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\left( {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}} \right)\\\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\dfrac{{\sqrt 3  + 2\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{2\sqrt 6  - 1}}{6}\\\sin 2\left( {a + b} \right) = \dfrac{{7\sqrt 3  + 4\sqrt 2 }}{{18}}\end{array}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) và công thức hạ bậc \(2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x\).

Lời giải chi tiết:

\(A=\dfrac{2{{\cos }^{2}}\dfrac{\pi }{8}-1}{1+8si{{n}^{2}}\dfrac{\pi }{8}{{\cos }^{2}}\dfrac{\pi }{8}}=\dfrac{\cos \frac{\pi }{4}}{1+2{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+2.\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}a,\,\,\cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos a\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& P = {{{{\sin }^2}3a} \over {{{\sin }^2}a}} - {{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}3a} \over {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}a}} \cr
& = {\left( {{{3\sin a - 4{{\sin }^3}a} \over {\sin a}}} \right)^2} - {\left( {{{4{{\cos }^3}a - 3\cos a} \over {\cos a}}} \right)^2} \cr
& = {\left( {3 - 4{{\sin }^2}a} \right)^2} - {\left( {4{{\cos }^2}a - 3} \right)^2} \cr
& = \left( {3 - 4{{\sin }^2}a - 4{{\cos }^2}a + 3} \right)\left( {3 - 4{{\sin }^2}a + 4{{\cos }^2}a - 3} \right) \cr
& = 4\left( {6 - 4\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)} \right)\left( {{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a} \right) \cr
& = 4\left( {6 - 4} \right)\cos 2a = 8\cos 2a \cr} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Nhìn đường tròn lượng giác để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Nhìn đường tròn lượng giác ta thấy các góc cách nhau một số lẻ \(\pi \) sẽ có giá trị sin, cos đối nhau và tan, cot bằng nhau nên hệ thức \(\cos \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cos \alpha \) sai

\(\cos \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha \,\,\,khi\,\,\,k = 2n\\ - \cos \alpha \,\,\,\,khi\,\,\,k = 2n + 1\end{array} \right..\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos x \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\tan \alpha  = 2 \Rightarrow \cos x \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos x \ne 0\) ta được:

\(P = \frac{{2018\sin \alpha  + 2019\cos \alpha }}{{2020\sin \alpha  + 2021\cos \alpha }} = \frac{{2018\tan \alpha  + 2019}}{{2020\tan \alpha  + 2021}} = \frac{{2018.2 + 2019}}{{2020.2 + 2021}} = \frac{{6055}}{{6061}}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khai triển biểu thức và rút gọn. \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {\left( {\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha  + 3\sin \alpha } \right)^2}\\ = {\sin ^2}\alpha  - 6\sin \alpha \cos \alpha  + 9{\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 6\sin \alpha \cos \alpha  + 9{\sin ^2}\alpha \\ = 10{\sin ^2}\alpha  + 10{\cos ^2}\alpha  = 10\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 10.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thêm bớt tạo hằng đẳng thức. Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) và công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - \dfrac{3}{4}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x,\,\,1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 + \sin 4a - \cos 4a}}{{1 + \sin 4a + \cos 4a}} = \dfrac{{\sin 4a + \left( {1 - \cos 4a} \right)}}{{\sin 4a + \left( {1 + \cos 4a} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sin 2a\cos 2a + 2{{\sin }^2}2a}}{{2\sin 2a\cos 2a + 2{{\cos }^2}2a}}\\ = \dfrac{{2\sin 2a\left( {\cos 2a + \sin 2a} \right)}}{{2\cos 2a\left( {\sin 2a + \cos 2a} \right)}} = \tan 2a\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\).

Lời giải chi tiết:

Do \(0 < a,b < \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow 0 < a + b < \pi \).

Ta có: \(\tan \left( {a + b} \right) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \dfrac{{\dfrac{1}{7} + \dfrac{3}{4}}}{{1 - \dfrac{1}{7}.\dfrac{3}{4}}} = 1 \Leftrightarrow a + b = \dfrac{\pi }{4}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 4x\cos 5x - \cos 4x\sin 5x = \sin \left( {4x - 5x} \right) = \sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\). Bình phương dữ kiện đề bài để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{2}\)

      \( \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x =  - \frac{1}{2}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.\frac{1}{9} - 1 =  - \frac{7}{9}\)           

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 1\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức: 

\(\begin{array}{l}\cot \alpha .\tan \alpha = 1,\,\,\,\sin 2\alpha =\frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}},\,\,\,\cos 2\alpha =\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\,,\,\,\\\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\,\,(k \in Z),\,\,\,\,\sin \left({a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\,\,\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\cot \alpha  = {2 \over 3} \Rightarrow \tan \alpha  = {3 \over 2}\)

\(\sin 2\alpha  = {{2\tan \alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha  + 1}} = {{2.{3 \over 2}} \over {{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2} + 1}} = {3 \over {{{13} \over 4}}} = {{12} \over {13}},\,\,\,\cos 2\alpha  = {{1 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {{1 - {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over {1 + {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}}} = {{ - {5 \over 4}} \over {{{13} \over 4}}} =  - {5 \over {13}}\)

\(\sin \left( {2\alpha  + {{7\pi } \over 4}} \right) = \sin \left( {2\alpha  - {\pi  \over 4} + 2\pi } \right) = \sin \left( {2\alpha  - {\pi  \over 4}} \right) = \sin 2\alpha \cos {\pi  \over 4} - \cos 2\alpha \sin {\pi  \over 4} = {{12} \over {13}}.{{\sqrt 2 } \over 2} - \left( { - {5 \over {13}}} \right).{{\sqrt 2 } \over 2} = {{17\sqrt 2 } \over {26}}\)

Chọn: D.

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với \(\cos {15^0} - \sin {15^0}\), sử dụng công thức nhân đôi: \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x,\,\,2\sin x\cos x = \sin 2x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {{\cos {{15}^o} + \sin {{15}^o}} \over {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}}} = {{\left( {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}} \right)\left( {\cos {{15}^o} + \sin {{15}^o}} \right)} \over {{{\left( {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}} \right)}^2}}} = {{{{\cos }^2}{{15}^0} - {{\sin }^2}{{15}^0}} \over {{{\cos }^2}{{15}^0} - 2\cos {{15}^0}\sin {{15}^0} + {{\sin }^2}{{15}^0}}}  \cr   &  = {{\cos {{30}^0}} \over {1 - \sin {{30}^0}}} = {{{{\sqrt 3 } \over 2}} \over {1 - {1 \over 2}}} = {{\sqrt 3 } } \cr} \)

Chọn: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương: quy đồng, khai triển hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & E = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}\left[ {1 + {{{{(1 - \cos x)}^2}} \over {{{\sin }^2}x}}} \right] = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}\left[ {1 + {{1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x} \over {{{\sin }^2}x}}} \right] = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}.{{{{\sin }^2}x + 1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x} \over {{{\sin }^2}x}}  \cr   &  = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}.{{2 - 2\cos x} \over {{{\sin }^2}x}} = {{2(1 + \cos x)(1 - \cos x)} \over {{{\sin }^3}x}} = {{2(1 - {{\cos }^2}x)} \over {{{\sin }^3}x}} = {{2{{\sin }^2}x} \over {{{\sin }^3}x}} = {2 \over {\sin x}}. \cr} \)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: \(A + B + C = \pi \). Sử dụng các tính chất của các góc có quan hệ bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau \(\pi \), hơn kém nhau \({\pi  \over 2},...\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin \left( {B + C} \right) = \sin (\pi  - A) = \sin A\)

\(\sin {{A + B} \over 2} = \sin \left( {{\pi  \over 2} - {C \over 2}} \right) = \cos {C \over 2}\)

\(\cos (3A + B + C) = \cos (2A + \pi ) =  - \cos 2A\)

\(\sin {{B + C} \over 2} = \sin \left( {{\pi  \over 2} - {A \over 2}} \right) = \cos {A \over 2}\)

Chọn: C.