Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, từ đó tìm ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{5^x} + {5^{x + 2}} = 650\\{5^x} + {5^x}{.5^2} = 650\\{5^x} + {5^x}.25 = 650\\{5^x}.\left( {1 + 25} \right) = 650\\{5^x}.26 = 650\\{5^x} = 650:26\\{5^x} = 25\\{5^x} = {5^2}\\x = 2\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa về lũy thừa cơ số \(10\) với số mũ là số chũ số \(0\).

Lời giải chi tiết:

\(\underbrace {100...0}_{2010} = {10^{2010}}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi để đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{5^{x - 3}} = 25\\{5^{x - 3}} = {5^2}\\x - 3 = 2\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + 3\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 5.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Ta biến đổi để đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

+ Sau đó chỉ ra rằng \({3^3}\) là lũy thừa nhỏ nhất của \(3\)  lớn hơn 25 và \({3^5}\) là lũy thừa lớn nhất của \(3\)  nhỏ hơn 250 để tìm ra số mũ \(n\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{3^2} = 9 < 25 < 27 = {3^3} \Rightarrow {3^3} \le {3^n}(1)\\{3^5} = 243 < 250 < 729 = {3^6} \Rightarrow {3^n} \le {3^5}(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\begin{array}{l}{3^3} \le {3^n} \le {3^5}\\3 \le n \le 5\end{array}\)

Vậy \(n \in \left\{ {3;\,4;\,5} \right\}.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}.\,\,{a^n} = {a^{m + n}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \({5^4}.\,{5^3} = {5^{4 + 3}} = {5^7}\)

Vậy khi nhân  \({5^4}\) với \({5^3}\) ta được kết quả là \({5^7}\).

Chọn B

Phương pháp giải:

Tính giá trị các lũy thừa từ đó so sánh các lũy thừa với nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì \({5^3} = 125;\,\,{3^5} = 243\) nên \({5^3} < {3^5}\) nên A đúng.

\({3^4} = 81;\,\,{2^5} = 32\) nên \({3^4} > {2^5}\) nên B đúng.

\({4^3} = 64;\,\,{2^6} = 64 \Rightarrow {4^3} = {2^6}\) nên C đúng.

\({4^3} = 64;\,\,{8^2} = 64 \Rightarrow {4^3} = {8^2}\) nên D sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đưa hai vế về dạng cùng cơ số, sau đó so sánh số mũ của hai số với nhau.

\({a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \({3^4} = 81\) nên \({3^n} = 81 \Leftrightarrow {3^n} = {3^4} \Rightarrow n = 4\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) để tính vế phải.

Sau đó so sánh số mũ của hai lũy thừa để tìm ra \(n.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({4^n} = {4^3}{.4^5} \Leftrightarrow {4^n} = {4^{3 + 5}} \Leftrightarrow {4^n} = {4^8} \Leftrightarrow n = 8\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Ta có: \({a^m} < {a^k} < {a^n}\) với \(m < n\) thì \(m < k < n.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \({20^{2018}} < {20^m} < {20^{2020}}\)\( \Rightarrow 2018 < m < 2020\)

Mà \(m\)  là số tự nhiên nên \(m = 2019\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế của A với 3, thực hiện nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

Biến đổi vế phải sao cho xuất hiện biểu thức A. Từ đó tìm được A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}\\ \Rightarrow 3A = 3.\left( {1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)\\ \Rightarrow 3A = 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}} + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3A = \left( {1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}} \right) - 1 + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3A = A - 1 + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3A - A = {3^{101}} - 1\\ \Rightarrow 2A = {3^{101}} - 1\\ \Rightarrow A = \left( {{3^{101}} - 1} \right):2\end{array}\)

Vậy \(A = \left( {{3^{101}} - 1} \right):2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Để tìm \(x\) nằm trong một lũy thừa thỏa mãn một đẳng thức, ta sử dụng đinh nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên, công thức nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số để biến đổi đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\rm{a)}}{\rm{ }}{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = 32.25 + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = 800 + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = 1000\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^3}\\7x - 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10\\7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10 + 11\\7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21:7\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\rm{b)}}{\rm{ }}{5^{x - 2}} - {3^2} = {2^4} - \left( {{6^8}:{6^6} - {6^2}} \right)\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 - \left( {{6^{8 - 6}} - {6^2}} \right)\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 - \left( {{6^2} - {6^2}} \right)\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 - 0\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16\\{5^{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 + 9\\{5^{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 25\\{5^{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {5^2}\\x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + 2\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n\,\,\,}}(a \ne 0;\,\,m \ge n)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({7^6}:{7^2} = {7^{6 - 2}} = {7^4}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n\,\,\,}}(a \ne 0;\,\,m \ge n)\).

Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,x + 6 = {4^5}:{4^3}\,\\\,\,\,\,\,\,\,x + 6 = {4^2}\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,x + 6 = 16\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,x\;\;\;\;\;\; = 16 - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,x\;\;\;\;\;\; = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,{3^2}.(15 - 2x) - {5^2} = {5.2^2}\\\;\;\;9.(15 - 2x) - 25 = 5.4\\\;\;\;9.(15 - 2x) - 25 = 20\\\;\;\;9.(15 - 2x) = 20 + 25\\\;\;\;9.(15 - 2x) = 45\\\;\;\;\;\;\;\;15 - 2x = 45:9\\\;\;\;\;\;\;\;15 - 2x = 5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,2x = 15 - 5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,2x = 10\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 10:2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 5\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc để biến đổi hai lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ và sử dụng quy tắc:

+) Nếu \(n < m\) thì \({a^n} < {a^m}\left( {a > 1;m,n \in \mathbb{N}} \right)\)

+) Nếu \(a < b\) thì  \({a^n} < {b^n}\left( {a,b \in \mathbb{N},n\in\mathbb{N}^{*}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{202^{303}} = {202^{3.101}} = {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\\{303^{202}} = {303^{2.101}} = {\left( {{{303}^2}} \right)^{101}}\end{array}\)

Ta so sánh \({202^3}\) và \({303^2}\)

\(\begin{array}{l}{202^3} = {\left( {2.101} \right)^3} = {2^3}{.101^3} = {2^3}{.101^{1 + 2}} = {2^3}{.101.101^2} = {8.101.101^2} = {808.101^2}\\{303^2} = {\left( {3.101} \right)^2} = {3^2}{.101^2} = {9.101^2}\end{array}\)

Vì \(9 < 808\) nên \({9.101^2} < {808.101^2}\) hay \({303^2} < {202^3}\)

Do đó \({\left( {{{303}^2}} \right)^{101}} < {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\)

Vậy \({303^{202}} < {202^{303}}.\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc để biến đổi hai lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ và sử dụng quy tắc:

+ Nếu \(n < m\) thì \({a^n} < {a^m}\left( {a > 1;m,n \in N} \right)\)

+ Nếu \(a < b\) thì \({a^n} < {b^n}\left( {a,b \in N;n \in {N^*}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{300}} = {2^{3.100}} = {\left( {{2^3}} \right)^{100}} = {8^{100}}\\{3^{200}} = {3^{2.100}} = {\left( {{3^2}} \right)^{100}} = {9^{100}}\end{array}\)

Vì \({8^{100}} < {9^{100}}\)  nên \({2^{300}} < {3^{200}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{202^{303}} = {202^{3.101}} = {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\\{303^{202}} = {303^{2.101}} = {\left( {{{303}^2}} \right)^{101}}\end{array}\)

Ta so sánh \({202^3}\) và \({303^2}\)

\(\begin{array}{l}{202^3} = {\left( {2.101} \right)^3} = {2^3}{.101^3} = {2^3}{.101^{1 + 2}} = {2^3}{.101.101^2} = {8.101.101^2} = {808.101^2}\\{303^2} = {\left( {3.101} \right)^2} = {3^2}{.101^2} = {9.101^2}\end{array}\)

Vì \(9 < 808\) nên \({9.101^2} < {808.101^2}\) hay \({303^2} < {202^3}\)

Do đó \({\left( {{{303}^2}} \right)^{101}} < {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\)

Vậy \({303^{202}} < {202^{303}}\) .

Phương pháp giải:

Biến đổi, tính các hiệu sau đó so sánh các hiệu với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{72^{45}} - {72^{44}} = {72^{44}}\left( {72 - 1} \right) = {72^{44}}.71\\{72^{44}} - {72^{43}} = {72^{43}}\left( {72 - 1} \right) = {72^{43}}.71\end{array} \right..\)

Vì \(44 > 43\) nên \({72^{44}}.71 > {72^{43}}.71.\)

Vậy \({72^{45}} - {72^{44}} > {72^{44}} - {72^{43}}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính tổng \(S\) sau đó so sánh tổng \(S\) với \({5.2^8}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^8} + {2^9}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2S = 2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^8} + {2^9} + {2^{10}}.\\ \Rightarrow 2S - S = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^8} + {2^9} + {2^{10}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + .... + {2^8} + {2^9}} \right)\\ \Rightarrow S\,\, = {2^{10}} - 1.\end{array}\)

Ta có: \({2^{10}} = {2^{2 + 8}} = {2^4}{.2^8} = {4.2^8} < {5.2^8}\)

\( \Rightarrow {2^{10}} - 1 < {5.2^8}.\)

Vậy \(S < {5.2^8}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau \(1\) đơn vị.

- Tính giá trị biểu thức \(A\) bằng cách nhân thêm \(2\) vào biểu thức \(A\), sau đó tính \(2A - A\) để tìm \(A\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(A = {2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.A = 2.\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}} \right)\\ \Rightarrow \,\,2.A = {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2019}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {{2^1} + {2^2} + ... + {2^{2019}}} \right) - \left( {{2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2019}} - {2^0} - {2^1} - {2^2} - ... - {2^{2018}}\\ \Rightarrow A = {2^{2019}} - {2^0}\\ \Rightarrow A = {2^{2019}} - 1\end{array}\)

Mà:  \({2^{2019}} - 1\) và \({2^{2019}}\) là hai số tự nhiên liên tiếp.

Vậy \(A\) và \(B\) là hai số tự nhiên liên tiếp.

Phương pháp giải:

Biến đổi:

 \(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Tính giá trị biểu thức \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\), sau đó dựa vào kết quả để tìm \(n\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Đặt \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.A = 2.\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right) = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}}\\ \Rightarrow A = {2^{101}} - 1\end{array}\)

Suy ra \({2^n} - 1 = {2^{101}} - 1\) . Do đó \(n = 101\) .

Vậy \(n = 101.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế của A với 2. Tính toán và tìm A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}\\ \Rightarrow 2A = 2.\left( {1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}} \right)\\ \Rightarrow 2A = {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}} + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2A = \left( {1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}} \right) - 1 + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2A = A - 1 + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2A - A = {2^{2008}} - 1\\ \Rightarrow A = {2^{2008}} - 1.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tính tổng trên sau đó chỉ ra tổng đó viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên khác 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\\ = 1 + 2.2.2 + 3.3.3 + 4.4.4\\ = 1 + 8 + 27 + 64\\ = 100 = {10^2}\end{array}\)

Do tổng \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\) viết được dưới dạng bình phương của 10 nên \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\) là số chính phương.

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp với số trung gian.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{199}^{20}}<{{200}^{20}}\,\,\,;\,\,\,\,{{2000}^{15}}<\,\,{{2017}^{15}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

So sánh \({{200}^{20}}\) và \({{2000}^{15}}\) ta có :

\(\begin{align}  & {{200}^{20}}\,={{200}^{15}}\,.\,\,{{200}^{5}}\,\,; \\  & {{2000}^{15}}={{(200.10)}^{15}}={{200}^{15}}{{.10}^{15}}={{200}^{15}}{{.10}^{3.5}}={{200}^{15}}.{{\left( {{10}^{3}} \right)}^{5}}={{200}^{15}}{{.1000}^{5}} \\ \end{align}\)

Mà \({{200}^{5}}<{{1000}^{5}}\) nên \({{200}^{15}}\,.\,\,{{200}^{5}}\,\,<\,\,\,{{200}^{15}}\,.\,\,{{1000}^{5}}\,\,\)

Do đó \({{200}^{20}}\,<\,\,{{2000}^{15}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Chọn B                                    

Phương pháp giải:

Xác định số \(x\) sau đó so sánh \(x\) với \({10.9^8}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có \(x\) là số có \(9\)  chữ số và trong số đó không có chữ số \(0.\)

Gọi số có \(9\) chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}.....{a_9}} \,\,\left( {{a_i} \ne 0,\,\,\,i = 1;\,\,2;....;\,9} \right).\)

Ta có: \({a_1}\) có \(9\) cách chọn.

 \({a_2}\) có \(9\) cách chọn.

…….

\({a_9}\) có \(9\) cách chọn.

Như vậy \(x = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 = {9^9}.\)

Ta có: \({9^9} = {9.9^8} < {10.9^8}.\)

Vậy \(x < {10.9^8}.\)

Chọn B.