30 bài tập vận dụng về Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp conLàm bàiCâu hỏi 1 : Viết tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 10 bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp. Tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Đáp án: C Phương pháp giải: - Liệt kê các số tự nhiên nhỏ hơn 10. - Đếm số các số tự nhiên nhỏ hơn 10. Lời giải chi tiết: \(A=\left\{ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \right\}.\) Vậy tập hợp A có 10 phần tử. Chọn C Câu hỏi 2 : Cho dãy số: \(6;\,\,10;\,\,14;\,\,18;\,\,......\,\,\) Viết tập hợp \(A\) gồm 10 số hạng đầu tiên của dãy số và chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.
Đáp án: A Phương pháp giải: Dựa vào các số đã biết của dãy số, chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử đó rồi liệt kê các phần tử của tập hợp. Lời giải chi tiết: Ta có: \(6 = 4.1 + 2\) \(\begin{array}{l}10 = 4.2 + 2\\14 = 4.3 + 2\\18 = 4.4 + 2\end{array}\) Như vậy ta có tập hợp \(A = \left\{ {6;\,\,10;\,\,14;\,\,18;\,\,22;\,\,26;\,\,30;\,\,34;\,\,38;\,\,42} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\,\,x = 4k + 2,\,\,1 \le k \le 10} \right\}.\) Chọn A. Câu hỏi 3 : Cho dãy số \(7;\,\,12;\,\,17;\,\,22;\,\,27;\,\,\,.....\) Câu 1: Tìm số thứ \(1000\) và số thứ \(n\) của dãy số trên.
Đáp án: B Phương pháp giải: Dựa vào các số đã biết của dãy số, chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử đó rồi liệt kê các phần tử của tập hợp. Lời giải chi tiết: Ta có: \(7 = 5.1 + 2\) \(\begin{array}{l}12 = 5.2 + 2\\17 = 5.3 + 2\\22 = 5.4 + 2\\27 = 5.5 + 2\end{array}\) Như vậy ta thấy dãy số trên gồm các số hạng \(x = 5k + 2\) với \(k \in \mathbb{N}*.\) Hay ta có tập hợp \(A = \left\{ {x = 5k +2\,\,|\,x \in \mathbb{N},\,\,k \in \mathbb{N}*} \right\}.\) Khi đó ta có số hạng thứ \(1000\) của dãy số khi \(k = 1000.\) Vậy \({x_{1000}} = 5.1000 + 2 = 5002.\) Số hạng thứ \(n\) là: \({x_n} = 5n + 2 = 5n + 2.\) Chọn B. Câu 2: Các số \(38246\) và số \(795842\) có mặt trong dãy số trên không?
Đáp án: C Phương pháp giải: Từ tính chất đặc trưng của tập hợp ta tìm thay các số bài cho xem số đó có thuộc dãy số hay không. Lời giải chi tiết: Giả sử số \(38246\) thuộc dãy số trên ta có: \(38246 = 5k + 2\) \(\begin{array}{l}5k = 38246 - 2\\5k = 38244\\k = 38244:5\\k = 7648,8\end{array}\) Ta có \(k = 7648,8 \notin \mathbb{N}*\) nên số \(38246\) không thuộc dãy số trên. Giả sử số \(795842\) thuộc dãy số trên ta có: \(795842 = 5k + 2\) \(\begin{array}{l}5k = 795842 - 2\\5k = 795840\\k = 795835:5\\k = 159168\end{array}\) Ta có \(k = 159168 \in \mathbb{N}*\) nên số \(795842\) thuộc dãy số trên. Chọn C. Câu hỏi 4 : Cho các tập hợp: \(A = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9} \right\}.\) Câu 1: Viết tập hợp \(C\) gồm các phần tử thuộc \(A\) và không thuộc \(B.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Liệt kê các phần tử của các tập hợp \(A,\,\,B\) rồi viết tập hợp \(C\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(C = \left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}.\) Chọn A. Câu 2: Viết tập hợp \(D\) gồm các phần tử thuộc \(B\) và không thuộc \(A.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Liệt kê các phần tử của các tập hợp \(A,\,\,B\) rồi viết tập hợp \(D\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(D = \left\{ {7;\,\,9} \right\}.\) Chọn B. Câu 3: Viết tập hợp \(E\) gồm các phần tử thuộc \(A\) và thuộc \(B.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Liệt kê các phần tử của các tập hợp \(A,\,\,B\) rồi viết tập hợp \(E\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(E = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5} \right\}.\) Chọn B. Câu 4: Viết tập hợp \(F\) gồm các phần tử hoặc thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Liệt kê các phần tử của các tập hợp \(A,\,\,B\) rồi viết tập hợp \(F\) Lời giải chi tiết: Ta có:\(F = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,9} \right\}.\) Chọn C. Câu hỏi 5 : Cho các tập hơp: \(A = \left\{ {a;\,\,b;\,\,3;\,\,6} \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,7;\,\,x} \right\}.\) Hãy viết các tập hợp gồm ba phần tử sao cho có đúng một phần tử thuộc cả \(A\) và \(B,\) hai phần tử còn lại thuộc \(B\) mà không thuộc \(A.\) Phương pháp giải: Dựa vào các phần tử của hai tập hợp, liệt kê các tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải chi tiết: Cho các tập hơp: \(A = \left\{ {a;\,\,b;\,\,3;\,\,6} \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,7;\,\,x} \right\}.\) Ta có hai phần tử \(3;\,\,6\) thuộc cả hai tập hợp \(A\) và \(B.\) Như vậy tập hợp gồm 3 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán sẽ có một tử thuộc \(\left\{ {3;\,\,6} \right\}\) và hai phần tử còn lại chỉ thuộc \(\left\{ {2;\,\,4;\,\,7;\,\,x} \right\}.\) Vậy ta có 12 tập hợp thỏa mãn bài toán là: \(\begin{array}{l}{C_1} = \left\{ {3;\,\,2;\,\,4} \right\} & & {C_2} = \left\{ {3;\,\,2;\,\,7} \right\} & & {C_3} = \left\{ {3;\,\,2;\,\,x} \right\}\\{C_4} = \left\{ {3;\,\,4;\,\,7} \right\} & & {C_5} = \left\{ {3;\,\,4;\,\,x} \right\} & & {C_6} = \left\{ {3;\,\,7;\,\,x} \right\}\\{C_7} = \left\{ {6;\,\,2;\,\,4} \right\} & & {C_8} = \left\{ {6;\,\,2;\,\,7} \right\} & & {C_9} = \left\{ {6;\,\,2;\,\,x} \right\} & \\{C_{10}} = \left\{ {6;\,\,4;\,\,7} \right\} & & {C_{11}} = \left\{ {6;\,\,4;\,\,x} \right\} & & {C_{12}} = \left\{ {6;\,\,7;\,\,x} \right\} & \end{array}\) Câu hỏi 6 : Cho A là tập hợp các chữ số có 4 chữ số chia hết cho 5. Câu 1: Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Đáp án: B Phương pháp giải: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Các số chia hết cho 5 là các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Vậy tập hợp \(A\) gồm các số có 4 chữ số và chia hết cho \(5\) là: \(A = \left\{ {1000;\,\,1005;\,\,\,1010;\,\,.........;\,\,\,9990;\,\,9995} \right\}.\) Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {9995 - 1000} \right):5 + 1 = 1800\) (phần tử). Chọn B. Câu 2: Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp A.
Đáp án: A Phương pháp giải: Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right) \times n:2.\) Lời giải chi tiết: Tổng các phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {9995 + 1000} \right).1800:2 = 9895500.\) Chọn A. Câu hỏi 7 : Cho tập hợp \(A = \left\{ {7;\,\,11;\,\,15;\,\,19;\,\,........;\,\,4n + 7} \right\}.\) Câu 1: Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Đáp án: C Phương pháp giải: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Ta có: \(4 = 11 - 7 = 15 - 11 = 19 - 15\) nên các phần tử của tập hợp \(A\) cách nhau \(4\) đơn vị. Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {4n + 7 - 7} \right):4 + 1 = n + 1\) (phần tử). Chọn C. Câu 2: Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp A.
Đáp án: A Phương pháp giải: Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right) \times n:2.\) Lời giải chi tiết: Tập hợp \(A\) gồm \(n + 1\) (phần tử). Tổng tất cả các phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {4n + 7 + 7} \right) \times \left( {n + 1} \right):2 = \left( {4n + 14} \right) \times \left( {n + 1} \right):2 = \left( {2n + 7} \right) \times \left( {n + 1} \right).\) Chọn A. Câu hỏi 8 : Cho tập hợp: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\,|\,x = 4k - 1,\,\,k \in \mathbb{N}*,\,\,x \le 287} \right\}.\) Câu 1: Tính số phần tử của tập hợp \(A.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Ta có: +) Với \(k = 1 \Rightarrow x = 4.1 - 1 = 3\) +) Với \(k = 2 \Rightarrow x = 4.2 - 1 = 7\) +) Với \(k = 3 \Rightarrow x = 4.3 - 1 = 11\) ……….. Như vậy ta có tập hợp: \(A = \left\{ {3;\,\,7;\,\,11;\,.......;\,\,287} \right\}.\) Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {287 - 3} \right):4 + 1 = 72\) (phần tử). Chọn C. Câu 2: Tính tổng các phần tử của tập hợp \(A.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right) \times n:2.\) Lời giải chi tiết: Tổng các phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {287 + 3} \right).72:2 = 10440.\) Chọn D. Câu hỏi 9 : Cho tập hợp: \(B = \left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp \(B\) và cho biết tập hợp \(B\) có bao nhiêu tập hợp con.
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều thuộc tập hợp \(B\) thì tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B.\) Kí hiệu là: \(A \subset B.\) Lời giải chi tiết: Tập hợp con gồm \(0\) phần tử của \(B\) là: \(\emptyset .\) Tập hợp con gồm \(1\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ x \right\};\,\,\left\{ y \right\};\,\,\left\{ z \right\};\,\,\left\{ 1 \right\};\,\,\left\{ 5 \right\}.\) Tập hợp con gồm \(2\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,z} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,1} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {y;\,\,z} \right\};\,\,\left\{ {y;\,\,1} \right\};\,\,\,\left\{ {y;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {z;\,\,1} \right\};\,\,\left\{ {z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,5} \right\}.\) Tập hợp con gồm \(3\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y;\,\,z} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,1} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,z;\,\,1} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {y;\,\,z;\,\,1} \right\};\,\,\) \(\,\left\{ {y;\,\,z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {y;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Tập hợp con gồm \(4\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,1} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {y;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Tập hợp con gồm \(5\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Như vậy tập hợp \(B\) có tất cả: \(32\) tập hợp con. Chọn D. Câu hỏi 10 : Cho tập hợp: \(M = \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\}.\) Viết các tập hợp con của \(M\) sao cho các phần tử của nó phải có ít nhất một số lẻ và một số chẵn. Có tất cả bao nhiêu tập hợp con của \(M\) thỏa mãn điều kiện trên.
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều thuộc tập hợp \(B\) thì tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B.\) Kí hiệu là: \(A \subset B.\) Lời giải chi tiết: Các tập hợp con của \(M\) phải có ít nhất một số lẻ và một số chẵn nên tập hợp con cần tìm phải có ít nhất \(2\) phần tử. Vậy các tập hợp con cần tìm là: \(\begin{array}{l}\left\{ {2;\,\,3} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {2;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {3;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {5;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {8;\,\,9} \right\};\,\,\,\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,8;\,\,9} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,5;\,\,8} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,8;\,\,9} \right\}\,;\,\left\{ {5;\,\,8;\,\,9} \right\};\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,8} \right\};\,\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,8;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\};\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\}.\end{array}\) Có tất cả \(21\) tập hợp con thỏa mãn. Chọn B. Câu hỏi 11 : Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\,\,x \le 5} \right\}.\) Tìm \(a,\,\,b\) để \(A = \left\{ {1;\,\,a;\,\,2\,;\,\,b;\,\,4;\,\,3} \right\}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\) rồi xác định các giá trị \(a,\,\,b.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\,\,x \le 5} \right\} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.\) Để \(A = \left\{ {1;\,\,a;\,\,2\,;\,\,b;\,\,4;\,\,3} \right\}\) \( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5\) hoặc \(a = 5,\,\,b = 0.\) Chọn A. Câu hỏi 12 : Cho tập hợp \(M = \left\{ {10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,.......;\,\,5n} \right\}\) với \(n \in \mathbb{N}.\) Tìm số tự nhiên \(n\) biết rằng tập hợp \(M\) có \(2016\) phần tử.
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Tính số phần tử của tập hợp đã cho theo công thức tổng quát (tổng phụ thuộc vào số phần tử cần tìm). +) Cho số phần tử của tập hợp vừa tìm được bằng giá trị đề bài cho. Từ đó tìm giá trị phần tử cần tìm. Lời giải chi tiết: Số phần tử của tập hợp \(M\) là: \(\left( {5n - 10} \right):5 + 1 = n - 2 + 1 = n - 1\) (phần tử). Tập hợp \(M\) có \(2016\) phần tử nên ta có: \(n - 1 = 2016 \Rightarrow n = 2017.\) Vậy \(n = 2017.\) Chọn B. Câu hỏi 13 : Cho tập hợp \(A = \left\{ {2;\,\,3;\,\,\,m;\,\,n} \right\}.\) Câu 1: Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp \(A\) sao cho các phần tử của nó luôn có phần tử \(2\) và có \(1\) chữ cái. Hỏi có bao nhiêu tập con thỏa mãn.
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều thuộc tập hợp \(B\) thì tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B.\) Kí hiệu là: \(A \subset B.\) Lời giải chi tiết: Các tập hợp con của tập hợp \(A\) sao cho các phần tử của nó luôn có phần tử \(2\) và có \(1\) chữ cái là: \(\begin{array}{l} Vậy có \(6\) tập con thỏa mãn. Chọn D. Câu 2: Viết tất cả các tập hợp con của \(A.\) Hỏi \(A\) có tất cả bao nhiêu tập con.
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều thuộc tập hợp \(B\) thì tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B.\) Kí hiệu là: \(A \subset B.\) Lời giải chi tiết: Tất cả các tập hợp con của tập hợp \(A\) là: \(\begin{array}{l}\emptyset ;\,\,\left\{ 2 \right\};\,\,\left\{ 3 \right\};\,\,\left\{ m \right\};\,\,\left\{ n \right\};\\\left\{ {2;\,\,3} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,m} \right\};\,\,\,\left\{ {2;\,\,n} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,m} \right\};\,\,\left\{ {3;\,\,n} \right\};\,\,\,\,\left\{ {m;\,\,n} \right\};\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,m} \right\};\,\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,n} \right\};\,\,\,\,\left\{ {2;\,\,m;\,\,n} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,m;\,\,n} \right\}\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,m;\,\,n} \right\}.\end{array}\) Vậy tập hợp \(A\) có tất cả \(16\) phần tử. Chọn B. Câu hỏi 14 : Cho \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho \(5\). Câu 1: Tính số phần tử của tập hợp \(A\).
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Vì \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho \(5\) nên \(A = \left\{ {100;\,\,105;\,\,110;\,\,...;\,\,990;\,\,995} \right\}\). Tập hợp A gồm các phần tử từ 100 đến 995, mỗi phần tử cách nhau 5 đơn vị. \( \Rightarrow \) Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {995 - 100} \right):5 + 1 = 180\) (phần tử) Chọn B. Câu 2: Tính tổng các phần tử của tập hợp \(A\).
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right)\,\,.\,\,n + 2\). Lời giải chi tiết: Tổng các phần tử của tập hợp là: \(\left( {100 + 995} \right) \times 180:2 = 98550\) Chọn A. Câu hỏi 15 : Cho tập hợp: \(M = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x = 9q + 2;\,\,q \in \mathbb{N};\,\,x < 200} \right\}\) Câu 1: Tính số phần tử của tập hợp \(M\).
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Ta có: \(M = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x = 9q + 2;\,\,q \in \mathbb{N};\,\,x < 200} \right\}\) +) Với \(q = 0 \Rightarrow x = 9.0 + 2 = 2\) +) Với \(q = 1 \Rightarrow x = 9.1 + 2 = 11\) +) Với \(q = 2 \Rightarrow x = 9.2 + 2 = 20\) ……… Suy ra, ta có tập hợp \(M = \left\{ {2;\,\,11;\,\,20;\,\,...;\,\,191} \right\}.\) Số phần tử của tập hợp \(M\) là: \(\left( {191 - 2} \right):9 + 1 = 22\) (phần tử) Chọn C. Câu 2: Tính tổng các phần tử của tập hợp \(M\).
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right)\,\,.\,\,n + 2\). Lời giải chi tiết: Tổng các phần tử của tập hợp là: \(\left( {191 + 2} \right) \times 22:2 = 2123.\) Chọn A. Câu hỏi 16 : Cho tập hợp \(P = \left\{ {7;\,12;\,\,17;\,\,...;\,\,5n + 2;\,\,5n + 7} \right\}\). Tính số phần tử của tập hợp \(P\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Xét tập hợp \(P = \left\{ {7;\,12;\,\,17;\,\,...;\,\,5n + 2;\,\,5n + 7} \right\}\). Ta có: \(12 - 7 = 5\); \(17 - 12 = 5\);…; \(\left( {5n + 7} \right) - \left( {5n + 2} \right) = 5\) \( \Rightarrow \) Các phần tử liên tiếp của tập hợp \(P\) cách nhau \(5\) đơn vị. Số phần tử của tập hợp \(P\) là: \(\left( {5n + 7 - 7} \right):5 + 1 = n + 1\) (phần tử) Chọn D. Câu hỏi 17 : Tính số phần tử của các tập hợp sau: Câu 1: \(A\) là tập hợp các số tự nhiên lẻ không vượt quá \(124\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử. Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Các số tự nhiên lẻ không vượt quá \(124\) là: \(1;\,\,3;\,\,5;\,\, \ldots \,\,;\,\,123\) Suy ra, \(A = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\, \ldots \,\,;\,\,123} \right\}\). \( \Rightarrow \) Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {123 - 1} \right):2 + 1 = 62\) (phần tử) Chọn C. Câu 2: \(B\) là tập hợp các số tự nhiên chẵn không vượt quá \(124\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử. Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Các số tự nhiên chẵn không vượt quá \(124\) là: \(0;\,\,2;\,\,4;\,\,...;\,\,122;\,\,124\) Suy ra, \(B = \left\{ {0;\,\,2;\,\,4;\,\,...;\,\,124} \right\}\). \( \Rightarrow \) Số phần tử của tập hợp \(B\) là: \(\left( {124 - 0} \right):2 + 1 = 63\) (phần tử) Chọn D. Câu 3: \(C\) là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn \(124\) nhưng nhỏ hơn \(125\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử. Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Vì không tồn tại số tự nhiên lớn hơn \(124\) và nhỏ hơn \(125\) nên \(C = \left\{ \emptyset \right\}\). Vậy số phần tử của tập hợp \(C\) bằng \(0\). Chọn D. Câu hỏi 18 : Tính tổng các phần tử của tập hợp \(M\). Biết rằng, \(M\) là tập hợp các số tự nhiên chẵn có hai chữ số.
Đáp án: C Phương pháp giải: + Từ tính chất đặc trưng của tập hợp. Viết tập hợp \(M\) bằng cách liệt kê số phần tử. + Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. + Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right)\,\,.\,\,n + 2\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(M\) là tập hợp các số tự nhiên chẵn có hai chữ số. \( \Rightarrow M = \left\{ {10;\,\,12;\,\,14;\,\,...\,\,;\,\,96;\,\,98} \right\}\) Số phần tử của tập hợp \(M\) là: \(\left( {98 - 10} \right):2 + 1 = 45\) (phần tử) Tổng các phần tử của tập hợp \(M\) là: \(\left( {10 + 98} \right).45:2 = 2430\) Chọn C. Câu hỏi 19 : Cho tập hợp: \(A = \left\{ {50;\,\,55;\,\,60;\,\, \ldots \,\,;\,\,n} \right\}\). Tìm \(n\) biết tập hợp \(A\) có \(2020\) phần tử.
Đáp án: A Phương pháp giải: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b,\) hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left( {b - a} \right):d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {n - 50} \right):5 + 1\) (phần tử) Theo đề bài, số phần tử của tập hợp \(A\) là \(2020\) phần tử nên ta có: \(\left( {n - 50} \right):5 + 1 = 2020\) \(\left( {n - 50} \right):5 = 2019\) \(n - 50 = 2019.5\) \(n - 50 = 10095\) \(n = 10095 + 50\) \(n = 10145\) Vậy \(n = 10145\). Chọn A. Câu hỏi 20 : Cho tập hợp \(A = \left\{ {21;\,\,22;\,\,23;\,\, \ldots \,\,;\,\,n} \right\}\). Tìm \(n\) biết tổng các phần tử trong tập hợp \(A\) bằng \(4840\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b,\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {b + a} \right).n:2\) Lời giải chi tiết: Vì tổng các phần tử trong tập hợp \(A\) bằng \(4840\) nên ta có: \(21 + 22 + 23 + \ldots + n = 4840\) \( \Rightarrow \left( {1 + 2 + \ldots + 20} \right) + 21 + 22 + 23 + \ldots + n = 4840 + \left( {1 + 2 + \ldots + 20} \right)\) \( \Rightarrow 1 + 2 + \ldots + 20 + 21 + 22 + 23 + \ldots + n = 4840 + \left( {1 + 20} \right).20:2\) \( \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n:2 = 4840 + 210\) \( \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n:2 = 5050\) \( \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n = 10100\) Vì \(10100 = 101.100\) nên \(n = 100\). Vậy \(n = 100\). Chọn C. Câu hỏi 21 : Cho các tập hợp: \(A = \left\{ {11;\,\,13;\,\,15;\,\,17;\,\,19;\,\,21;\,\,23} \right\}\)và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{N}|11 \le x \le 19} \right\}\) Hãy viết tập hợp \(M\) các số lẻ có nhiều phần tử nhất sao cho \(M \subset A\) và \(M \subset B\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng phương pháp: - Liệt kê các phần tử của tập hợp. - Hoặc chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. Lời giải chi tiết: Ta có các tập hợp: \(A = \left\{ {11;\,\,13;\,\,15;\,\,17;\,\,19;\,\,21;\,\,23} \right\}\)và \(B = \left\{ {11;\,\,12;\,\,13;\,\,14;\,\,15;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19} \right\}\) Tập hợp \(M\) các số lẻ có nhiều phần tử nhất sao cho tập hợp vừa là tập hợp con của \(A\), vừa là tập hợp con của \(B\) nên các phần tử của \(M\) là các phần tử chung của \(A\) và \(B\). Suy ra, \(M = \left\{ {11;\,\,13;\,\,15;\,\,17;\,\,19} \right\}\). Chọn C. Câu hỏi 22 : Cho tập hợp \(P = \left\{ {x \in \mathbb{N}|1 < x \le 9} \right\}\). Tìm \(a,\,\,b\) để \(P = \left\{ {8;\,\,7;\,\,3;\,\,4;\,\,a;\,\,b;\,\,6;\,\,5} \right\}\).
Đáp án: D Phương pháp giải: - Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp. - Hai tập hợp được gọi là bằng nhau nếu các phần tử của chúng như nhau. Lời giải chi tiết: Ta có tập hợp: \(P = \left\{ {x \in \mathbb{N}|1 < x \le 9} \right\} = \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9} \right\}\) Để \(P = \left\{ {8;\,\,7;\,\,3;\,\,4;\,\,a;\,\,b;\,\,6;\,\,5} \right\}\) suy ra \(a = 2\) và \(b = 9\) hoặc \(a = 9\) và \(b = 2\). Chọn D. Câu hỏi 23 : Cho \(B\) là tập hợp các số lẻ liên tiếp từ số lẻ \(211\) đến số lẻ \(x.\) Tìm \(x\) biết tập hợp \(B\) có \(381\) phần tử.
Đáp án: A Phương pháp giải: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\), hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left( {b - a} \right):d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Ta có tập hợp: \(B = \left\{ {211;\,\,213;\,\,215;\,\, \ldots \,\,;\,\,x} \right\}\) Số phần tử của tập hợp \(B\) là: \(\left( {x - 211} \right):2 + 1\) (phần tử) Theo đề bài, ta có số phần tử của tập hợp \(B\) là \(381\) phần tử, nên ta có: \(\left( {x - 211} \right):2 + 1 = 381\) \( \Rightarrow \left( {x - 211} \right):2 = 381 - 1\) \( \Rightarrow \left( {x - 211} \right):2 = 380\) \( \Rightarrow x - 211 = 380.2\) \( \Rightarrow x - 211 = 760\) \( \Rightarrow x = 760 + 211\) \( \Rightarrow x = 971\) Vậy \(x = 971\). Chọn A. Câu hỏi 24 : Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,8;\,\,10} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9;\,\,11} \right\}\). Câu 1: Viết tập hợp \(C\) gồm các phần tử thuộc tập hợp \(A\) và không thuộc tập hợp \(B\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử. Lời giải chi tiết: Các phần tử thuộc tập hợp và không thuộc tập hợp \(B\) là: \(2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10\) Vậy tập hợp \(C = \left\{ {2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10} \right\}\). Chọn C. Câu 2: Viết tập hợp \(D\) gồm các phần tử thuộc tập hợp \(B\) và không thuộc tập hợp \(A\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử. Lời giải chi tiết: Các phần tử thuộc tập hợp \(B\) và không thuộc tập hợp \(A\) là: \(7;\,\,11\) Vây tập hợp \(D = \left\{ {7;\,\,11} \right\}\). Chọn D. Câu 3: Viết tập hợp \(E\) vừa là tập hợp con của tập hợp \(A\) và vừa là tập hợp con của tập hợp \(B\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử. Lời giải chi tiết: Theo đề bài tập hợp \(E\) vừa là tập hợp con của tập hợp \(A\) và vừa là tập hợp con của tập hợp \(B\). Các phần tử vừa thuộc tập hợp \(A\) vừa thuộc tập hợp \(B\) là \(1;\,\,3;\,\,5\). Vậy tập hợp \(E = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5} \right\}\). Chọn D. Câu hỏi 25 : Cho \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,4\). Câu 1: Tính số phần tử của tập hợp \(A\).
Đáp án: A Phương pháp giải: + Viết tập hợp \(A\) bằng cách liệu kê phần tử. + Tính tổng của các phần tử trong tập hợp \(A\). Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 1; 2; 3; 4 có dạng: \(\overline {abcd} .\) Khi đó \(a\) có 4 cách chọn \(b\) có 3 cách chọn \(c\) có 2 cách chọn \(d\) có 1 cách chọn \( \Rightarrow \) Có \(4.3.2.1 = 24\) cách chọn. \( \Rightarrow \) Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(24\) phần tử. Chọn A. Câu 2: Tính tổng các phần tử của tập hợp \(A\).
Đáp án: D Phương pháp giải: + Viết tập hợp \(A\) bằng cách liệu kê phần tử. + Tính tổng của các phần tử trong tập hợp \(A\). Lời giải chi tiết: Ta có các số của tập hợp \(A\) là: \(\overline {abcd} \) \(\overline {abcd} = 1000a + 100b + 10c + d\) \(\begin{array}{l}S = 6.1000\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) + 6.100\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) + 6.10\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) + 6.\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right)\\\,\,\,\,\, = 6000.10 + 600.10 + 60.10 + 6.10\\\,\,\,\,\, = 66660.\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 26 : Cho \(H\) là tập hợp các số tự nhiên lẻ lớn hơn \(5\) và không lớn hơn \(79\). Câu 1: Viết tập hợp \(H\) bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Đáp án: D Phương pháp giải: Từ các tính chất đặc trưng để viết tập hợp \(A\). Áp dụng kiến thức: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\), hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left( {b - a} \right):d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Số tự nhiên \(n\) lớn hơn \(5\) và không lớn hơn \(79\) là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: \(5 < n \le 79\) Mà \(H\) là tập hợp các số tự nhiên \(n\) lớn hơn \(5\) và không lớn hơn \(79\) nên tập hợp \(H\) là: \(H = {\rm{\{ }}n \in \mathbb{N}|n\) lẻ và \(5 < n \le 79\} .\) Chọn D. Câu 2: Giả sử các phần tử của \(A\) được viết theo giá trị tăng dần. Tìm phần tử thứ mười hai của \(A\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Từ các tính chất đặc trưng để viết tập hợp \(A\). Áp dụng kiến thức: Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\), hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left( {b - a} \right):d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Giả sử phần tử thứ mười hai của \(H\) là \(x\). Khi đó, ta có: \(\left( {x - 7} \right):2 + 1 = 12\) \( \Rightarrow \left( {x - 7} \right):2 = 11\) \( \Rightarrow x - 7 = 22\) \( \Rightarrow x = 29\) Vậy \(x = 29.\) Chọn A. Câu hỏi 27 : Ba mua cho Hà một cuốn sổ tay dày 280 trang. Để tiện theo dõi, Hà đã đánh số trang từ 1 đến 280. Hỏi Hà đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh số hết cuốn sổ tay?
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Tính số chữ số Hà cần viết khi các trang sách có 1 chữ số, 2 chữ số và 3 chữ số. +) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Từ trang \(1\) đến trang \(9\) Hà cần viết \(9\) chữ số. Từ trang \(10\) đến trang \(99\) có \(90\) trang, Hà cần viết: \(90.2 = 180\) chữ số. Từ trang \(100\) đến trang \(280\) có \(\left( {280 - 100} \right) + 1 = 181\) trang. Khi đó Hà cần viết: \(181.3 = 543\) chữ số. Vậy bạn Hà cần viết: \(9 + 180 + 543 = 732\) chữ số. Chọn C. Câu hỏi 28 : Tính số trang của một cuốn sách biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó (bắt đầu từ trang 1) cần dùng đúng 3897 chữ số.
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Tính số chữ số cần viết khi các trang sách có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số và 4 chữ số. +) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử. Lời giải chi tiết: Để đánh số trang từ trang \(1\) đến trang \(9\) cần viết \(9\) chữ số. Từ trang \(10\) đến trang \(99\) có \(90\) trang, cần viết: \(90.2 = 180\) chữ số. Từ trang \(100\) đến trang \(999\) có \(\left( {999 - 100} \right) + 1 = 900\) trang. Khi đó cần viết: \(900.3 = 2700\) chữ số. Như vậy để đánh số trang các trang có 1 chữ số, 2 chữ số và 3 chữ số cần viết: \(9 + 180 + 2700 = 2889\) chữ số. Theo đề bài ta có: Để đánh số hết các trang sách cần đánh \(3897\) chữ số nên số các chữ số để đánh các trang sách có 4 chữ số là: \(3897 - 2889 = 1008\) chữ số. Suy ra số trang sách có \(4\) chữ số là: \(1008:4 = 252\) trang. Trang sách cuối cùng của cuốn sách đó là: \(252 - 1 + 1000 = 1251.\) Vậy cuốn sách đó có \(1251\) trang. Chọn B. Câu hỏi 29 : Tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5 dư 1 từ số 500 đến số a có 106 phần tử. Hãy tìm số tự nhiên \(a.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Tính số phần tử của tập hợp đã cho theo công thức tổng quát (tổng phụ thuộc vào số phần tử cần tìm). +) Cho số phần tử của tập hợp vừa tìm được bằng giá trị đề bài cho. Từ đó tìm giá trị phần tử cần tìm. Lời giải chi tiết: Gọi \(A\) là tập hợp gồm các số tự nhiên chia hết cho 5 dư 1 từ 500 đến số a. Khi đó ta có: \(A = \left\{ {501;\,\,506;\,\,\,511;\,\,\,.........;\,\,a} \right\}\) với \(a \in \mathbb{N}.\) Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {a - 501} \right):5 + 1\) (phần tử). Theo đề bài ta có tập hợp \(A\) có \(106\) phần tử nên: \(\begin{array}{l}\left( {a - 501} \right):5 + 1 = 106\\\left( {a - 501} \right):5\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 105\\a - 501\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 525\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1026.\end{array}\) Vậy \(a = 1026.\) Chọn B. Câu hỏi 30 : Cho tập hợp \(A = \left\{ {x\,\,|\,\,x = 3k + 2,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,20 \le x \le 50} \right\}.\) Tìm \(a,\,\,b\, \, c\) để \(A = \left\{ {23;\,\,26;\,\,a;\,\,29;\,\,32;\,\,b;\,\,35;\,\,41;\,\,38;\,\,c;\,\,47} \right\}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\) rồi xác định các giá trị \(a,\,\,b,\,\,c.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(A = \left\{ {x\,\,|\,\,x = 3k + 2,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,20 \le x \le 50} \right\} = \left\{ {20;\,\,23;\,\,26;\,\,29;\,\,32;\,\,35;\,\,38;\,\,41;\,\,44;\,\,47;\,\,50} \right\}.\) Để \(A = \left\{ {23;\,\,26;\,\,a;\,\,29;\,\,32;\,\,b;\,\,35;\,\,41;\,\,38;\,\,c;\,\,47} \right\}.\) \( \Rightarrow a = 20,\,\,b = 44,\,\,\,c = 50\) hoặc \(a = 20,\,\,b = 50,\,\,c = 44\) hoặc \(a = 50,\,\,b = 20,\,\,c = 44\) hoặc \(a = 50,\,\,b = 44,\,\,c = 20\) hoặc \(a = 44,\,\,b = 50,\,\,c = 20\) hoặc \(a = 44,\,\,b = b = 20,\,\,c = 50.\) Chọn A.
|
