Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

A

Phương pháp giải:

Khảo sát sự biến thiên của hàm số để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 2{m^2} + 3m - 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {2{m^2} - 3m + 2} \right) = 7{m^2} - 7m + 7 = 7\left( {{m^2} - m + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 7\left( {{{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right) > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

Khi đó phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số không đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

-          Tính \(y’\) và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\) \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Có \(f'\left( x \right)=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-{{x}^{2}}-x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \) Đáp án B đúng.

\(\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=-1 \\x=3 \\\end{align} \right.\)

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( 3;+\infty  \right)\) đáp án C đúng.

hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( -1;1 \right)\) và \(\left( 1;3 \right)\) \(\Rightarrow \) đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

-          Tính \(y'\) và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=-5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}\).

Hàm số nghịch biến thì \(y'\le 0\).

Nhập hàm y’ vào máy tính để thử với các giá trị tương ứng trong từng khoảng đáp án.

Thử với \(x=-1\) ta được \(y' =  - 2 < 0\) \( \Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

Thử với \(x=1\) ta được \(y'=-2<0\) \(\Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

\(\Rightarrow \) Loại đáp án B và D.

Thử với \(x=\frac{7}{10}\) ta được \(y'=\frac{539}{2000}>0\) \( \Rightarrow \) hàm số đồng biến

\(\Rightarrow \) loại đáp án C.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng chức năng MODE 7 để xử lý bài toán.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có \(y' = {x^2} - mx - 2\).

Hàm số đồng biến trên tập xác định \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\forall x\).

Ta sử dụng máy tính để thử đáp án.

+) Trước hết ta thử với \(m = 2\sqrt 2 \). Khi đó: \(y'={{x}^{2}}-2\sqrt{2}x-2\).

Nhập hàm số trên vào máy tính và thử với giá trị \(x=0\) ta được \(y'=-2<0\).

 Loại đáp án C.

+) Thử với giá trị \(m = 0\). Khi đó \(y'={{x}^{2}}-2\).

Với \(x=0\) ta được \(y' =  - 2 < 0\)

 Loại đáp án B.

+) Thử với \(m=-3\). Khi đó \(y'={{x}^{2}}+3x-2\).

Với \(x=0\) ta được \(y'=-2<0\).

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

Cách 2: TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = {x^2} - mx - 2\)

Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì 

\(\begin{array}{l}
y' > 0\,\,\forall x \in R\\
\Leftrightarrow {x^2} - mx - 2 > 0\,\,\forall x \in R\\
\Leftrightarrow \Delta = {m^2} + 8 < 0\,\,\left( {Vo\,\,ly} \right)
\end{array}\)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

-          Sử dụng định nghĩa đồng biến, nghịch biến.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên R.

Phân tích từng đáp án ta có:

+) Đáp án A: Với \({x_1} < {x_2} < {x_3} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} > 0\) loại A.

+) Đáp án B: Với \({x_1} > {x_2} > {x_3} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} > 0 \Rightarrow \) loại B.

+) Đáp án C: Với \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\) và vì hàm số nghịch biến nên dấu của biểu thức \(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) và \(\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right]\) ngược dấu \( \Rightarrow \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0 \Rightarrow \) C đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

-          Xét từng đáp án.

-          Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)\le 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x+3=3{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\,\forall x\).

 hàm số đồng biến trên R. \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Xét phương trình: \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}=0\Leftrightarrow x=-1\).

\(\Rightarrow \) (C) chỉ cắt trục \(Ox\) tại một điểm duy nhất. \( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x+3\,\Rightarrow y''=6x+6\).

Hoành độ của điểm uốn là nghiệm của phương trình \(y''=0\Leftrightarrow x=-1\).

\(\Rightarrow \) Điểm uốn \(I\left( { - 1;0} \right)\) \(\Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến của (C) tại I là: \(y=y'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)=0\).

\(\Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Vậy chọn B.

Phương pháp giải:

-          Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=-\sin x+a\)

\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến với mọi x  \( \Leftrightarrow y' \ge 0\) với mọi x

                                                      \(\Leftrightarrow -\sin x+a\ge 0\) với mọi x

                                                      \(\Leftrightarrow a\ge \sin x\) với mọi x

                                                      \(\Leftrightarrow a\ge 1\) (vì \(\sin x \le 1\))                     

Chọn C.                     

Phương pháp giải:

-          Chọn m.

-          Sử dụng MTCT tính \(y'\left( {{x}_{0}} \right)\) với \({{x}_{0}}\) là điểm bất kì thuộc các đáp án.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0\) trong \(\left( 2;+\infty  \right)\). Ta thử từng đáp án để chọn đáp án đúng.

+) Đáp án A: Với \(m = \dfrac{2}{3}\) ta có: \(y' = \dfrac{2}{3}{x^2} + \dfrac{2}{3}x - 4\)

Ta nhập hàm y’ vào máy tính và thử giá trị \(x = 2\) ta được \(y' = 0\) nên đáp án A có thể đúng.

Để chắc chắn, ta thử với giá trị \(x = 3\) ta được \(y' = 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.

Vậy đáp án A đúng.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT tính \(y'\left( {{x}_{0}} \right)\) với \({{x}_{0}}\) là điểm bất kì thuộc các đáp án.

Lời giải chi tiết:

Sử dụng máy tính CASIO dùng chức năng Shift \(\dfrac{d}{{dx}}{\left. {\left( {} \right)} \right|_{x = ?}}\) ta tính đạo hàm từng đáp án nếu đáp án nào ra kết quả 1 số \( \le 0\) thì đáp án đó đúng, còn đáp án nào ra kết quả > 0 thì đáp án đó sai.

Ta có:

+) Đáp án A. Tại \(x = 6\) ta có :

\(>0\Rightarrow A\) sai.

+) Đáp án B: Ta sẽ thử với x = 1. Vì ĐKXĐ: \(x>0\).

\(\Rightarrow \) đáp án B \( y’ = 1 > 0 \Rightarrow B\) sai.

+) Đáp án C: Ta có: \(\Rightarrow C\) sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT tính \(y'\left( {{x}_{0}} \right)\) với \({{x}_{0}}\) là điểm bất kì thuộc các đáp án.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}\).

Nhập hàm y’ vào máy tính Casio sau đó ta sử dụng chức năng CALC từng đáp án nếu kết quả đáp án nào ra y’  ≤ 0 thì là đúng. Ta sẽ chọn đáp án đó

+) Với đáp án A ta thử giá trị \(x=3\)

ta thấy \(y' = 0\) nên đáp án A có thể là đáp án đúng.

+) Ta loại được đáp án B và C

+) Thử đáp án D CALC giá trị 2,5 ta được kết quả y’ > 0 như sau:

Nên ta loại đáp án D.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ, xét hàm.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Khi m = 1 ta có: y = 1 là hàm hằng nên m = 1 không thỏa mãn.

Khi \(m\ne 1\). Đặt \(t=\cos x\). Vì \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)  nên \(t\in \left( 0;1 \right)\).

Xét hàm \(y = \frac{{t - 1}}{{t - m}}\,\,\,\,\left( {TXD:\,\,D = R\backslash \left\{ m \right\}} \right)\) có \(y'=\frac{t-m-t+1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}=\frac{1-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}\).

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) thì hàm số \(y=\frac{t-1}{t-m}\) nghịch biến trên \(\left( 0;1 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - m < 0}\\{m \notin \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\Leftrightarrow m > 1\)

Cách 2:

Khi m = 1 ta có: y = 1 là hàm hằng nên m = 1 không thỏa mãn.

Khi \(m \ne 1\). Ta có \(y' = \frac{{ - \sin x\left( {\cos x - m} \right) + \left( {\cos x - 1} \right)\sin x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}} = \frac{{m\sin x - \sin x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\m \ne \cos x\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x\left( {m - 1} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m > 1\)  

Chọn B.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải. Sử dụng  kết quả: hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên tập \(D\) nào đó khi và chỉ khi đạo hàm của hàm số trên tập \(D\)  không âm, tức là \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in D.\)

Áp dụng vào bài tập này ta đi tính đạo hàm \(y'.\) Sau đó cho \(y'\ge 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\) để tìm giá trị của \(m\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì điều kiện cần và đủ là \(y'\ge 0\Leftrightarrow \left( mx-\sin x \right)'\ge 0\Leftrightarrow m-\cos x\ge 0\Leftrightarrow m\ge \cos x\,,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Do \(-1\le \cos x\le 1,\forall x\in \mathbb{R},\) nên ta có \(m\ge \cos x,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge 1.\)

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

Phương pháp. Dùng tính chất hàm số \(y=f\left( x \right)\) tăng hay đồng biến trên tập \(D\) khi \(y'=f'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D.\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có \(y'=3{{x}^{2}}-6x+m.\)

Để hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty  \right)\) thì \(y'>0,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x\) trên \(\left( 1;+\infty  \right).\) Ta có \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3>-3,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right).\)

Do đó nếu \(-3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 3.\) thì ta có \(3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right).\) Hay hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để loại trừ đáp án sai dựa vào tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Vì \(f'(x)>0,\,\,\forall x\in \left( 0;\,+\infty  \right)\) nên hàm số \(y=f(x)\)đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\,+\infty  \right)\)

\(\Rightarrow \) Loại bỏ các đáp án:

+) Đáp án A (do \(f(2)>f(1)=2\)),

+) Đáp án B (do \(2017<2018\Rightarrow f(2017)<f(2018)\),

+) Đáp án D (do \(f(3)>f(2)>f(1)=2\Rightarrow f(2)+f(3)>2+2\Leftrightarrow f(2)+f(3)>4\)).

Như vậy, chỉ có khẳng định ở đáp án C là có thể xảy rA.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(R\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in R\). Và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y'={{x}^{2}}+2mx+2m+3\).

Để hàm số đồng biến trên \(R\) thì \(y'\ge 0,\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a>0 \\ & \Delta '\le 0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 1>0 \\ & {{m}^{2}}-\left( 2m+3 \right)\le 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 3\)

Vậy \(m\in \left[ -1;3 \right]\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điều kiện để hàm số nghịch biến trên \(\left( a;b \right)\) là \(y'<0,\forall x\in \left( a;b \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}\).

Để hàm số đã cho nghịch biến thì \(y'<0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Rightarrow -2<m<2\)

Đáp án B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( a;b \right)\) thì nó đồng biến trên \(\left( a;b \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f'(x)={{x}^{2}}+1>0,\forall x\in R\) \(\Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên R.

Đáp án B

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào các kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định.

Lời giải chi tiết:

*2 sai vì với \({{c}_{1}}<{{c}_{2}}\) bất kỳ nằm trong \(\left( a,b \right)\) ta chưa thể so sánh được \(f\left( {{c}_{1}} \right)\) và \(f\left( {{c}_{2}} \right)\).

*3 sai. Vì \(y'\) bằng 0 tại điểm đó thì chưa chắc đã đổi dấu qua điểm đó. VD hàm số \(y={{x}^{3}}.\)

*4 sai: Vì thiếu điều kiện \(f'\left( x \right)=0\) tại hữu hạn điểm.VD hàm số y = 1999 có \(y'=0\ge 0\) nhưng là hàm hằng.

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Tính \(y'\) và tìm điều kiện của \(m\) để \(y'>0,\forall x\in R\).

Điều kiện để tam thức bậc hai \(a{{x}^{2}}+bx+c>0,\forall x\in R\) là \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\) 

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-2\) trên \(R\)

Có \(y'\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+2\left( m-1 \right).\)

Hàm số đã cho tăng trên \(R\Leftrightarrow y'\left( x \right)>0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( m-1 \right)\le 0\)  vì \(a=1>0.\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3\le 0\)

\(\Leftrightarrow 1\le m\le 3.\)

Đáp án D.

Phương pháp giải:

Xét các hàm số ở từng đáp án, tìm khoảng nghịch biến của chúng và đối chiếu điều kiện đề bài.

Lời giải chi tiết:

*TH1: Đáp án A:

Hàm số: \(y=\frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}\) xác định trên \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\) nên loại A vì \(1\in \left( 0;\sqrt{2} \right)\)

*TH2: Đáp án B:

Xét hàm số: \(y=\frac{2x-5}{x+1}\) xác định trên \(R\backslash \left\{ -1 \right\}\)

Có \(y'\left( x \right)=\frac{7}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}},\forall x\in R\backslash \left\{ -1 \right\}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+1}\) đồng biến trên \(R\backslash \left\{ -1 \right\}\) (loại).

*TH3: Đáp án C:

Hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\). liên tục trên \(\left( 0;\sqrt{2} \right).\)

Có \(y'\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x<0,\forall x\in \left( 0;\sqrt{2} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hàm số: \(y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\) nghịch biến trên \(\left( 0;\sqrt{2} \right).\)

*TH4: Đáp án D:

Hàm số: \(y=\frac{3}{2}{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+6x+9\)  xác định trên \(R\)

Có \(y'\left( x \right)=\frac{9}{2}{{x}^{2}}-8x+6=\frac{9}{2}{{\left( x-\frac{8}{9} \right)}^{2}}+\frac{22}{9}>0,\forall x\in R\) (loại).

Vậy đáp án C thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án C.

Phương pháp giải:

+) Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

+) Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in D\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc D, với D là tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - \frac{4}{m}} \right\};\,\,\,m \ne 0.\)

Ta có: \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {mx + 4} \right)}^2}}}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên D \( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2.\)

+) Với \(m =  - 2\), hàm số có dạng: \(y = \frac{{x - 2}}{{ - 2x + 4}} =  - \frac{1}{2}\) là hàm hằng \( \Rightarrow m =  - 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(m = 2\), hàm số có dạng: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 4}} = \frac{1}{2}\) là hàm hằng \( \Rightarrow m = 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(m = 0,\) hàm số có dạng: \(y = x\) đồng biến trên R.

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là: \(m \in \left\{ { - 1;0;\,\,1} \right\}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm m để hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( \alpha ;\beta  \right)\)

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên \(\left( \alpha ;\beta  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y'=f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( \alpha ;\beta  \right) \\ & -\frac{d}{c}\notin \left( \alpha ;\beta  \right) \\\end{align} \right.\)

+ Hàm số nghịch biến trên \(\left( \alpha ;\beta  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y'=f'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( \alpha ;\beta  \right) \\ & -\frac{d}{c}\notin \left( \alpha ;\beta  \right) \\\end{align} \right.\)

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y=\frac{mx+6}{2x+m+1}\Rightarrow y'=\frac{m\left( m+1 \right)-6.2}{{{\left( 2x+m+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}+m-12}{{{\left( 2x+m+1 \right)}^{2}}}\)

Hàm số nghịch biến trên 

\(\left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' < 0\,\,\\
\frac{{ - m - 1}}{2} \notin \left( { - 1;1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + m - 12 < 0\,\,\\
\left[ \begin{array}{l}
\frac{{ - m - 1}}{2} \le - 1\\
\frac{{ - m - 1}}{2} \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4 < m < 3\,\,\\
\left[ \begin{array}{l}
- m + 1 \le 0\\
- m - 3 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4 < m < 3\,\,\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m \le - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 4 < m \le - 3\\
1 \le m < 3
\end{array} \right.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hàm số nghịch biến trên tập xác định \(\Leftrightarrow y'\le 0\) trên tập xác định và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3\)

\(\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên tập xác định \(\Leftrightarrow y'\le 0\,\,\forall x\in R\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2mx+2m-3\le 0\,\,\forall \,\,x\in R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\,\,\forall \,m\\{m^2} + 2m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1.\)

+) Xét với \(m=-3\) ta có: \(y'=-{{x}^{2}}+6x-9=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=-3\) thì hàm số nghịch biến trên R.

+) Xét với \(m=1\) ta có: \(y'=-{{x}^{2}}-2x-1=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=1\) thì hàm số nghịch biến trên R.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\,\left( a\ne 0 \right)\)đồng biến trên \(\left( p;q \right)\) khi và chỉ khi \({y}'\ge 0,\,\forall x\in \left( p;q \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-12x+m\). Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) thì \({y}'\ge 0\,,\forall x>0\)\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\ge 0,\,\forall x>0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+12x\le m,\forall x>0\). (*)

Xét \(y=g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x\) với \(x>0\).

Ta có \({g}'\left( x \right)=-6x+12=0\Leftrightarrow x=2\)(TM).

BBT \(y=g\left( x \right)\) với \(x>0\).

Từ BBT ta có \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=12\), từ (*) suy ra \(m\ge \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=12\Leftrightarrow m\ge 12\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số b1 trên b1 đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{mx+4}{x+m}\Rightarrow {y}'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}};\,\,\forall x\ne -\,m.\)

Yêu cầu bài toán 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\x =  - m \notin \left( { - \infty ;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\ - m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < m \le  - 1.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+) Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(R\Leftrightarrow y'\ge 0\) với mọi \(x\in R\).

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\( y’=-2f’(x) > 0 \Leftrightarrow  f’(x) < 0 \Leftrightarrow x^2-2x<0 \Leftrightarrow 0<x<2\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định.

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Tìm nghiệm của y’ (nếu có).

- Lập bảng xét dấu y’.

- Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(8+2x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le x\le 4\)

\(\begin{array}{l}y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  \Rightarrow y' = \frac{{(8 + 2x - {x^2})'}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}\\y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -2;1 \right).\)

Chọn: D.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên để xác định các khoảng đơn điệu của hàm số

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow  - 3 < x < 2\\f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\,3;\,2 \right),\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\,\infty ;\,-3 \right)\) và \(\left( 2;\,+\infty  \right).\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên R \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in R\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

Ta có:

\(\eqalign{  & y' = 1 + \sin x \ge 0\,\,\forall x \in R  \cr   & y' = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

\( \Rightarrow y' = 0\) tại hữu hạn điểm. Vậy hàm số đồng biến trên R.

Chọn A.