30 bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số mức độ thông hiểuLàm bàiCâu hỏi 1 : Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số sau \(y = 10{x^4} + 5{x^2} + 19\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = 40{x^3} + 10x = 10x\left( {4{x^2} + 1} \right)\), \(y'' = 120{x^2} + 10 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số không có điểm cực đại. Chọn D. Câu hỏi 2 : Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right),\,\forall x \in \mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Đáp án: C Phương pháp giải: Lập bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) và xác định các điểm cực trị là các điểm mà qua đó \(f'\left( x \right)\) đổi dấu. Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right),\,\forall x \in \mathbb{R},\,\,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\): Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\). Chọn C. Câu hỏi 3 : Điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 2\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Điểm \(x = {x_0}\)là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi và chỉ khi\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3,\,\,y'' = 6x\). Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 3 = 0\\6x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\). Vậy điểm cực tiểu của hàm số đã cho là \(x = 1\). Chọn C. Câu hỏi 4 : Hàm số \(y = 3{x^4} - 4{x^2} + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Đáp án: D Phương pháp giải: Số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\) Lời giải chi tiết: Xét hàm số \(y = 3{x^4} - 4{x^2} + 1\) ta có: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) Ta có:\(y' = 12{x^3} - 8x\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 12{x^3} - 8x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {3{x^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\3{x^2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\\x = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \( \Rightarrow \) Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Chọn D. Câu hỏi 5 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Khi đó hàm số đã cho có:
Đáp án: A Phương pháp giải: - Điểm \(x = {x_0}\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) và qua đó \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương. - Điểm \(x = {x_0}\) được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) và qua đó \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm. Lời giải chi tiết: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {x_0}\) và đạt cực đại tại \(x = {x_1}\) (hàm số không đạt cực tiểu tại \(x = {x_2}\) do không xác định tại \({x_2}\)). Chọn A. Câu hỏi 6 : Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} - m{x^2} + \dfrac{3}{2}\) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Đáp án: B Phương pháp giải: Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne b} \right)\) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi \(a > 0,\,\,b \ge 0\). Lời giải chi tiết: TH1: \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\), khi đó hàm số trở thành \(y = {x^2} + \dfrac{3}{2}\) là một parabol có bề lõm hướng lên nên có 1 cực tiểu mà không có cực đại, do đó \(m = - 1\) thỏa mãn. TH2: \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\). Để hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} - m{x^2} + \dfrac{3}{2}\) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi \(a > 0,\,\,b \ge 0\). \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\ - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 0\). Vậy \( - 1 \le m \le 0\). Chọn B. Câu hỏi 7 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên: Hỏi hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Đáp án: B Phương pháp giải: - Từ BBT của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) vẽ BBT của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\): + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục \(Oy\). + Xóa đi phần đồ thị bên trái trục \(Oy\). + Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục \(Oy\) qua trục \(Oy\). - Dựa vào BBT xác định các điểm cực trị: điểm mà qua đó hàm số chuyển hướng. Lời giải chi tiết: Dựa vào BBT đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) suy ra BBT đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau: Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 3 điểm cực trị. Chọn B. Câu hỏi 8 : Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.{\left( {x - 2} \right)^3}\), số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} \right)^2}.{\left( {x - 2} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\), trong đó \(x = 0\) là nghiệm bội 1, \(x = 1\) là nghiệm bội 2, \(x = 2\) là nghiệm bội 3. Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị \(x = 0,\,\,x = 1\). Chọn C. Câu hỏi 9 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Đáp án: A Phương pháp giải: Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại. Lời giải chi tiết: Dựa vào bảng xét dấu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua \(x = - 1,\,\,x = 0,\,\,x = 2\) và \(x = 4\) \( \Rightarrow 4\) điểm này là \(4\) điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right).\) Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(4\) điểm cực trị. Chọn A. Câu hỏi 10 : Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right).\) Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\) Điểm\(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm. Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 1 = 0\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} = 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\) Ta thấy \(x = 1\) là nghiệm bội 4 của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Rightarrow x = 1\) không là điểm cực trị của hàm số. Ta có bảng xét dấu: Ta thấy qua điểm \(x = 2\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương nên \(x = 2\) là điểm cực tiểu của hàm số. \( \Rightarrow \) Hàm số không có điểm cực đại. Chọn A. Câu hỏi 11 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;\,\,3} \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 3;\,\,3} \right)?\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại. Lời giải chi tiết: Dựa vào bảng xét dấu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3;\,\,3} \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua các điểm \(x = - 1,\,\,x = 1\) và \(x = 2.\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị. Chọn B. Câu hỏi 12 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\). Số điểm cực đại của hàm số là:
Đáp án: A Phương pháp giải: - Xét dấu đạo hàm. - Điểm cực đại của hàm số là điểm mà qua đó \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm. Lời giải chi tiết: Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = - 2\end{array} \right.\). Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\): Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\). Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại. Chọn A. Câu hỏi 13 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại. Hay số điểm cực trị của hàm số là số lần đổi dấu của \(f'\left( x \right).\) Lời giải chi tiết: Dựa vào bảng xét dấu ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua \(x = - 1,\,\,\,x = 0\) và \(x = 2\) nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D. Câu hỏi 14 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\). Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?
Đáp án: A Phương pháp giải: Xác định số điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\\x = 1\\x = 2\,\\x = 3\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\\x = 1\,\\x = 3\,\end{array} \right.\end{array}\) Trong đó \(x = - 2,\,\,x = 1,\,\,x = 3\) là các nghiệm đơn, \(x = 0,\,\,x = 2\) là nghiệm bội 2. Ta có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) như sau: Vậy hàm số đạt cực đại tại 1 điểm là \(x = 1\). Chọn A. Câu hỏi 15 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\) Hoặc số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số lần đổi dấu của \(f'\left( x \right).\) Lời giải chi tiết: Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị. Chọn D. Câu hỏi 16 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau: Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Số điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số lần đổi dấu từ âm sang dương của \(f'\left( x \right).\) Lời giải chi tiết: Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương qua các điểm \(x = - 1\) và \(x = 1\) \( \Rightarrow \) Hai điểm này là hai điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right).\) Chọn B. Câu hỏi 17 : Cho đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\)đồ thị đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới. Gọi \(m,\,\,n\) lần lượt là số điểm cực tiểu, cực đại của hàm số đã cho. Giá trị của biểu thức \(2m - n\) bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương. Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm. Lời giải chi tiết: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Qua điểm \({x_1},\,\,{x_3}\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow {x_1},\,\,{x_3}\) là hai điểm cực tiểu của hàm số. \( \Rightarrow m = 2\) Qua điểm \({x_2}\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm \( \Rightarrow {x_2}\) là điểm cực tiểu của hàm số. \(\begin{array}{l} \Rightarrow n = 1\\ \Rightarrow 2m - n = 2.2 - 1 = 3.\end{array}\) Chọn A. Câu hỏi 18 : Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 5\) có hai điểm cực trị là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + m\). Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt. \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\) \( \Leftrightarrow {3^2} - 3m > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0\) \( \Leftrightarrow m < 3\). Chọn B. Câu hỏi 19 : Tập hợp các giá trị của m để hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {m - 4} \right)x - 7\) đạt cực đại tại \(x = 1\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \({x_0}\) khi liên tục tại \({x_0}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = {x^2} + x + m - 4\) ; \(y'' = 2x + 1\). Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {m - 4} \right)x - 7\) đạt cực đại tại \(x = 1\) khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} + 1 + m - 4 = 0\\2.1 + 1 < 0\,\,\left( {Vo\,\,ly} \right)\end{array} \right.\). Vậy không có \(m\) để hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\). Chọn D. Câu hỏi 20 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^4} + 4{x^2} + 3\). Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Đáp án: C Phương pháp giải: - Giải hệ phương trình .. để tìm điểm cực tiểu của hàm số. - Tính giá trị cực tiểu của hàm số. Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(f'\left( x \right) = - 4{x^3} + 8x\), \(f''\left( x \right) = - 12{x^2} + 8\). Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f''\left( x \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 8x = 0\\ - 12{x^2} + 8 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\ - 12{x^2} + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\). Vậy điểm cực tiểu của hàm số là \({x_{CT}} = 0\), giá trị cực tiểu của hàm số là \({y_{CT}} = y\left( 0 \right) = 3\). Chọn C. Câu hỏi 21 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 3} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị cực đại của hàm số \(f'\left( x \right)\) bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: - Xác định điểm cực đại của hàm số bằng cách giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' < 0\end{array} \right.\). - Tính giá trị cực đại \({y_{CD}}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = 2.2x\left( {{x^2} - 3} \right) = 4{x^3} - 12x\) \( \Rightarrow f''\left( x \right) = 12{x^2} - 12,\,\,f'''\left( x \right) = 24x\) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f''\left( x \right) = 0\\f'''\left( x \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x^2} - 12 = 0\\24x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\) Do đó điểm cực đại của hàm số là \(x = - 1\). Vậy giá trị cực đại của hàm số là \(y{'_{CD}} = y'\left( { - 1} \right) = 8\). Chọn B. Câu hỏi 22 : Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m\,{x^2} + 3x - 3\) có hai điểm cực trị là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Hàm số bậc ba có 2 cực trị khi và chỉ khi \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). \(y = {x^3} - m\,{x^2} + 3x - 3 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 2mx + 3\) Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\). Chọn B. Câu hỏi 23 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số: \(y = \dfrac{{ - 1}}{3}{x^3} - 2m{x^2} + mx + 1\) có 2 điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) nằm về 2 phía trục \(Oy\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Hai điểm cực trị x1, x2 của đồ thị hàm số bậc ba nằm về 2 phía trục Oy\( \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} < 0\). Lời giải chi tiết: \(y = \dfrac{{ - 1}}{3}{x^3} - 2m{x^2} + mx + 1 \Rightarrow y' = - {x^2} - 4mx + m\) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 nằm về 2 phía trục Oy \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1}.{x_2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + m > 0\\ - m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\) Chọn B. Câu hỏi 24 : Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {x^{2017}}.{\left( {x - 1} \right)^{2018}}.{\left( {x + 1} \right)^{2019}},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị.
Đáp án: C Phương pháp giải: Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {x^{2017}}.{\left( {x - 1} \right)^{2018}}.{\left( {x + 1} \right)^{2019}},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\) Trong đó: + \(x = 0\) là nghiệm bội \(2017\) (là cực trị). + \(x = 1\) là nghiệm bội \(2018\) (không là cực trị). + \(x = - 1\) là nghiệm bội \(2019\) (là cực trị). Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. Chọn C. Câu hỏi 25 : Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Khảo sát hàm số đã cho, tìm các điểm cực trị của hàm số. Giả sử ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;\,\,{y_0}} \right),\,\,B\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,C\left( {{x_2};\,\,{y_1}} \right).\) Khi đó ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và tính diện tích \(\Delta ABC\) bằng công thức: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{y_0}} \right|.BC.\) Lời giải chi tiết: Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\) ta có: \(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;\,\,1} \right)\\x = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1;\,\,0} \right)\\x = 1 \Rightarrow C\left( {1;\,\,0} \right)\end{array} \right..\end{array}\) \( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: \(A\left( {0;\,1} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,0} \right),\,\,C\left( {1;\,\,\,0} \right)\) tạo thành \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;\,\,0} \right) \Rightarrow BC = 2.\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A;\,BC} \right) = BC\) \( = \frac{1}{2}\left| {{y_A}} \right|.BC = \frac{1}{2}.1.2 = 1.\) Chọn D. Câu hỏi 26 : Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là \(S = a + b\) với \(a\) là số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(b\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục \(Ox.\) Lời giải chi tiết: Xét hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) ta có: \(y' = 2x - 3 \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) có 1 cực trị. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) với trục hoành ta có: \({x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. \( \Rightarrow \) Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\) là: \(S = 1 + 2 = 3\) cực trị. Chọn B. Câu hỏi 27 : Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ
Hàm số \(y = f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Đáp án: D Phương pháp giải: Hàm số nhận điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực trị khi \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi qua \({x_0}\). Lời giải chi tiết: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua điểm \(x = 2\). Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị. Chọn D. Câu hỏi 28 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {boi\,\,2} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {boi\,\,1} \right)\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một điểm cực trị là: \(x = 2.\) Chọn A. Câu hỏi 29 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;\,\,b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;\,\,b} \right).\) Tìm mệnh đề đúng.
Đáp án: B Phương pháp giải: Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0.\) Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right..\) Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: +) Đáp án A: sai vì hàm số có điểm cực trị tại \(x = {x_0}\) nhưng \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) Ví dụ hàm số: \(y = {x^4} \Rightarrow y' = 4{x^3} \Rightarrow y'' = 4{x^2}\) Hàm số có điểm cực tiểu \(x = 0\) và \(y''\left( 0 \right) = 0.\) +) Đáp án B đúng. Chọn B. Câu hỏi 30 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3m{x^2} + 2x + {m^2} - 6\\ \Rightarrow y'' = 6mx + 2\end{array}\) Hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 2 + {m^2} - 6 = 0\\6m + 2 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 4 = 0\\m > - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.\\m > - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\) Chọn D.
|