Phương pháp giải:

Phương  pháp:

 +) \(B\left( a \right)=\left\{ m.a|m\in N \right\}=\left\{ 0;a;2a;... \right\}\)

+) Ư\(\left( a \right)=\left\{ x\in N|a\vdots x \right\}\)

 +)  Kết hợp các điều kiện của đề bài để tìm số thích hợp

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in U\left( {32} \right)\\x > 4\end{array} \right. \Rightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 1; 2; 4; 8; 16; 32\} }}\\x > 4\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in B\left( 8 \right)\\8 < x \le 88\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 0;8;16;24; 32;}}...{\rm{\} }}\\8 < x \le 88\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x \in \left\{ {16;24;32;40;48;56;64;72;80;88} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in B\left( {12} \right)\\12 \le x \le 120\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 0;}}\,{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48;}}...{\rm{\} }}\\12 \le x \le 120\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x \in \left\{ {{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48}};60;72;84;96;108;120} \right\}\end{array}\)

Chon B

Phương pháp giải:

Cần chứng minh:

\(\overline {abcabc}  \vdots 11,\,\overline {abcabc}  \vdots 91\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết

\(\begin{array}{l}\overline {abcabc} = \overline {abc} \,.1000 + \,\overline {abc} \,.1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overline {abc} \,.\,(1000 + 1)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overline {abc} \,.1001 = \overline {abc} \,.11.91\\ \Rightarrow \overline {abcabc} \vdots 11;\,\,\overline {abcabc} \vdots 91\\ \Rightarrow 11;\,91 \in U\left( {\overline {abcabc} } \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ư\(\left( a \right)=\left\{ x\in N|a\vdots x \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết  

\(\begin{array}{l}a)8 \vdots \left( {x - 1} \right) \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 8 \right)\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in \left\{ {1;2;4;8} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;5;9} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)70 \vdots \left( {2x - 3} \right)\\70 \vdots \left( {2x - 3} \right) \Rightarrow \left( {2x - 3} \right) \in U\left( {70} \right)\\ \Rightarrow 2x - 3 \in \left\{ {1;2;5;7;10;14;35;70} \right\}\\ \Rightarrow 2x \in \left\{ {4;5;8;10;13;17;38;73} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {2;4;5;19} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)x + 2 \in U\left( {16} \right)\\ \Rightarrow x + 2 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {0;2;6;14} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)2x + 1 \in U\left( {21} \right)\\ \Rightarrow 2x + 1 \in \left\{ {1;3;7;21} \right\}\\ \Rightarrow 2x \in \left\{ {0;2;6;20} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;3;10} \right\}\end{array}\)

Chon C

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về bội của 1 số.

- Áp dụng kiến thức và đếm số số hạng của 1 dãy số từ 8 đến 200.

Số số hạng = (số cuối - số đầu) : khoảng cách + 1 (dãy tăng dần).

Lời giải chi tiết:

Tập hợp bội chung của 4 từ 8 đến 200 là: \(A = {\rm{\{ 8;}}\,\,{\rm{16;}}\,\,{\rm{20;}}\,\,{\rm{24;}}......{\rm{;}}\,\,{\rm{200\} }}\)

\(200 \vdots 4\) vì \((00 \vdots 4)\), số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

Tập hợp A là tập hợp gồm các số từ 8 đến 200 và cách nhau 4 đơn vị.

Vậy  số số hạng của tập hợp A là: \(SSH = {{200 - 8} \over 4} + 1 = 48 + 1 = 49\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức ước (bội) của 1 số, liệt kê tập hợp các ước số đó.

- So sánh với yêu cầu của đề bài, các ước (bội) lớn hơn (hay nhỏ hơn), để tìm ra tập hợp cuối cùng

- Dựa vào kiến thức tập hợp để tìm ra tập hợp giao của 2 tập hợp vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& U(35) = \{ 1,5,7,35\}   \cr & U(35) > 5 \Rightarrow X = \{ 7,35\}   \cr  & B(8) = \{ 0,8,16,32,40,48,56,...\}   \cr & B(8) < 50 \Rightarrow Y = \{ 0,8,16,32,40,48\}  \cr} \)

Vì 

\(\eqalign{& X = \{ 7,35\}   \cr & Y = \{ 0,8,16,32,40,48\}   \cr &  \Rightarrow M = X \cap Y = \emptyset  \cr} \)

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về rút gọn phân số:\({{a.n} \over {b.n}} = {a \over b}(b,n > 0)\)

- Áp dụng kiến thức bội của 1 số và bội chung của 2 số.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\({a \over b} = {2 \over 3} = {{2.n} \over {3.n}}(n > 0)\)

Suy ra

\(a = 2.n;\,\,b = 3.n\) hay \(a \in B(2);b \in B(3)\)

Ta có:

\(B(2) = {\rm{\{ 0,2,4,6,8,10,12,}}...{\rm{\} }}\) và \(B(3) = {\rm{\{ 0,3,6,9,12,}}...{\rm{\} }}\)

\(BC(2,3) = {\rm{\{ 0,6,12,}}...{\rm{\} }}\)

Xét dữ liệu đề bài cho\(BC(a,b) = 12\), nên\(12 \vdots a\) và\(12 \vdots b\) hay\(12 \vdots 2n\) và \(12 \vdots 3n\)

Mà\(U(12) = {\rm{\{ 1,2,3,4,6,12\} }}\), nên \(n \in \left\{ {{\rm{1,2}}} \right\}\)

Nếu n = 1 thì a = 2; b = 3 .

Nếu n = 2 thì a = 4; b = 6.

Vậy \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\) là thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Phương pháp giải:

+) Phân tích kỹ đầu bài

+) Tìm bội chung của 6, 8 và từ dữ kiện đề bài để kết luận số cây.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cây mỗi lớp phải trồng là x (cây) (170 < x < 200).

Mỗi học sinh lớp 6A phải trồng 6 cây, mỗi học sinh lớp 6B phải trồng 8 cây

\( \Rightarrow x \in BC\left( {6;8} \right) = \left\{ {24;48;72;...;168;192;216;...} \right\}\)

Mà số số cây đó trong khoảng từ 170 đến 200 \( \Rightarrow x = 192\) (cây)

Vậy số cây mỗi lớp phải trồng là 192 cây.

Chọn đáp án B

Phương pháp giải:

Phân tích kỹ đầu bài. Tìm bội chung của 18, 20, 36 và từ dữ kiện đề bài để kết luận số học sinh.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh khối 6, 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy là x (học sinh) (500 < x < 600).

Học sinh khối 6 và khối 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy khi xếp thành 18 hàng, 20 hàng hoặc 36 hàng để dự buổi chào cờ đầu tuần đều đủ hàng  \( \Rightarrow x \in BC\left( {18;20;36} \right) = \left\{ {180;360;540;720;...} \right\}\)

Mà số học sinh trong khoảng 500 đến 600 học sinh.\( \Rightarrow x = 540\) (học sinh)

Vậy số học sinh khối 6, 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy là 540 học sinh.

Chọn đáp án B

Phương pháp giải:

+) Xác định ước chung của các số cho trước thông qua tìm ước chung lớn nhất.

+) Tìm được tập hợp ước chung, sau đó đối chiếu với điều kiện của đề bài.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left. \begin{array}{l}480 \vdots x\\600 \vdots x\end{array} \right\} \Rightarrow x \in UC\left( {480;600} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}480 = {2^5}.3.5\\600 = {2^3}{.3.5^2}\\ \Rightarrow UCLN\left( {480;600} \right) = {2^3}.3.5 = 120\\ \Rightarrow x \in UC\left( {480;600} \right) = U\left( {120} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,8;\,\,10;\,\,12;.....;120} \right\}.\end{array}\)

Mà \(x < 10\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;8} \right\}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Đây là dạng toán tìm \(x\) thông qua tìm ước chung.

+) Áp dung kiến thức về phép chia có dư.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài:

+) \(125 \vdots x\) dư \(5\) nên \(125 - 5\,\, \vdots \,\,\,x \Rightarrow 120\,\, \vdots \,\,x\,\,\,\left( {x > 5} \right)\)

+) \(85 \vdots x\) dư \(1\) nên \(85 - 1\,\, \vdots \,\,x \Rightarrow 84\,\, \vdots \,\,x\,\,\left( {x > 1} \right)\)

\( \Rightarrow x \in UC\left( {84;120} \right)\) và \(x > 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}84 = {2^2}.3.7\\120 = {2^3}.3.5\\ \Rightarrow UCLN\left( {84;120} \right) = {2^2}.3 = 12\\ \Rightarrow x \in UC\left( {84;120} \right) = U\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\end{array}\)

Mà \(x > 5\)nên \(x \in \left\{ {6;12} \right\}\).

Vậy \(x \in \left\{ {6;12} \right\}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dạng toán tìm \(x\) thông qua tìm ước chung lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \in \mathbb{N}.\)

Theo bài ra ta có:

+) \(13\) chia \(x\) dư \(1\)\( \Rightarrow 13 - 1 \vdots x \Rightarrow 12 \vdots x\)

+) \(15\) chia \(x\) dư \(1\)\( \Rightarrow 15 - 1 \vdots x \Rightarrow 14 \vdots x\)

+) \(61\) chia \(x\) dư \(1\)\( \Rightarrow 61 - 1 \vdots x \Rightarrow 60 \vdots x\)

\( \Rightarrow x \in UC\left( {12;14;60} \right)\)

Mà \(x\) lớn nhất \( \Rightarrow x = UCLN\left( {12;14;60} \right)\)

Ta có:

\(12 = {2^2}.3\)

\(14 = 2.7\)

\(60 = {2^2}.3.5\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {12;14;60} \right) = 2\)

\( \Rightarrow x = 2\)

Vậy \(x = 2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Đây là dạng bài toán thực tế tìm số cách chia để phần tử mỗi tổ, mỗi nhóm đều nhau.

+) Để tìm số cách chia, tìm thông qua ước chung.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tổ trong đội y tế cần chia là \(x\) \(\left( {1 < x < 24,\,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}24 \vdots x\\108 \vdots x\end{array} \right. \Rightarrow x \in UC\left( {24;108} \right)\)

Ta có:

\(24 = {2^3}.3\)

\(108 = {2^2}{.3^3}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {24;108} \right) = {2^2}.3 = 12\)

\( \Rightarrow UC\left( {24;108} \right) = U\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\)

Mà \(x > 1\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4;6;12} \right\}\).

Vậy có \(5\) cách chia tổ.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Xác định số cách chia nhiều nhất \( \Rightarrow \) Tìm ước chung lớn nhất.

+) Để tìm số phần tử của mỗi nhóm \( \Rightarrow \) Lấy số phần tử của cả nhóm chia cho số cách chia.

Lưu ý: Phải có điều kiện xác định

Lời giải chi tiết:

Gọi số tổ cần tìm là \(a\) \(\left( {1 < a < 48{,^{}}a \in \mathbb{N}} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left. \begin{array}{l}48 \vdots a\\54 \vdots a\end{array} \right\} \Rightarrow a \in UC\left( {48;54} \right)\)

Mà \(a\) lớn nhất \( \Rightarrow a = UCLN\left( {48;54} \right)\)

Ta có: \(48 = {2^4}.3\); \(54 = {2.3^3}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {48;54} \right) = 2.3 = 6\)

\( \Rightarrow a = 6\)

Vậy số tổ nhiều nhất có thể chia là \(6\) tổ.

Khi đó, số nam ở mỗi tổ là: \(48:6 = 8\)  (nam).

Số nữ ở mỗi tổ là: \(54:6 = 9\) (nữ).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phân tích các số \(12,\,\,15,\,\,20\) thành các thừa số nguyên tố, tìm \(BCNN\left( {12;\,\,15;\,\,20} \right).\) Từ đó suy ra \(BC\left( {12;\,\,15;\,\,20} \right)\) và dựa vào điều kiện \(x \le 500\) để kết luận các giá trị \(x.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(12 = {2^2}.3\)

\(15 = 3.5\)

\(20 = {2^2}.5\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {12;15;20} \right) = {2^2}.3.5 = 60\)

\( \Rightarrow x \in BC\left( {12;15;20} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;420;480;540;...} \right\}\)

Mà \(x \le 500 \Rightarrow x \in \left\{ {0;60;120;...;480} \right\}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phân tích các số \(8;\,\,16;\,\,24\) thành các thừa số nguyên tố, tìm \(BCNN\left( {8;\,\,16;\,\,24} \right)\) Từ đó suy ra \(BC\left( {12;\,\,15;\,\,20} \right) \Rightarrow x + 2\) và dựa vào điều kiện \(x \le 250\) để kết luận các giá trị \(x.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(8 = {2^3}\)

\(16 = {2^4}\)

\(24 = {2^3}.3\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {8;16;24} \right) = {2^4}.3 = 48\)

\( \Rightarrow x + 2 \in BC\left( {8;16;24} \right) = B\left( {48} \right) = \left\{ {0;48;96;144;192;240;288;...} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {46;94;142;190;238;286;...} \right\}\)

Mà \(x \le 250 \Rightarrow x \in \left\{ {46;94;142;190;238} \right\}\).

Vậy \(x \in \left\{ {46;94;142;190;238} \right\}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Xác định bội chung của các số cho trước thông qua tìm bội chung nhỏ nhất.

+) Tìm được tập hợp bội chung, sau đó đối chiếu với điều kiện của đề bài rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(\left. \begin{array}{l}x \vdots 39\\x \vdots 65\\x \vdots 91\end{array} \right\} \Rightarrow x \in BC\left( {39;65;91} \right)\)

Ta có:

\(39 = 3.13\)

\(65 = 5.13\)

\(91 = 7.13\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {39;65;91} \right) = 3.5.7.13 = 1365\)

\( \Rightarrow x \in BC\left( {39;65;91} \right) = B\left( {1365} \right) = \left\{ {0;1365;2730;...} \right\}\)

Mà \(400 < x < 2600\)\( \Rightarrow x = 1365\).

Vậy \(x = 1365\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đây là dạng toán tìm \(x\) thông qua tìm \(BC\).

Xác định biểu thức chứa \(x\) là \(BCNN\left( {5;7} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(x\) chia \(5\) dư \(1\) nên \(x - 1\,\, \vdots \,\,5\)

\(x\) chia \(7\) dư \(5\) nên \(x - 5\,\, \vdots \,\,7\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\, \vdots \,\,5\\x - 5\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 + 10\,\, \vdots \,\,5\\x - 5 + 14\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 9\,\, \vdots \,\,5\\x + 9\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {x + 9} \right) \in BC\left( {5;7} \right)\) và \(x > 5\).

Mà \(x\) nhỏ nhất \( \Rightarrow x + 9 = BCNN\left( {5;7} \right) = 35\)

\( \Rightarrow x = 26\)

Vậy \(x = 26\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi số học sinh của trường là \(x\) (học sinh). \(\left( {x \in \mathbb{N}{,^{}}300 < x < 400} \right)\).

Theo đề bài ta suy ra được \(x \in BC\left( {12;\,\,15;\,\,18} \right).\)

Tìm \(BC\left( {12;\,\,15;\,\,18} \right)\) sau đó dựa vào điều kiện \(300 < x < 400\) để suy ra số học sinh của trường.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh của trường là \(x\) (học sinh). \(\left( {x \in \mathbb{N}{,^{}}300 < x < 400} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left. \begin{array}{l}x \vdots 12\\x \vdots 15\\x \vdots 18\end{array} \right\} \Rightarrow x \in BC\left( {12;15;18} \right)\)

Ta lại có:  \(12 = {2^2}.3\); \(15 = 3.5\); \(18 = {2.3^2}\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {12;15;18} \right) = {2^2}{.3^2}.5 = 180\)

\( \Rightarrow x \in BC\left( {12;15;18} \right) = B\left( {180} \right) = \left\{ {0;180;360;540;720;...} \right\}\)

Mà \(300 < x < 400\) và \(x \in \mathbb{N}\) suy ra \(x = 360\).

Vậy số học sinh cần tìm là \(360\) học sinh.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) (học sinh); \(\left( {a \in \mathbb{N},\,\,\,200 < x < 300} \right).\)

Từ đề bài ta suy ra được \(a\) chia cho \(4,\,\,5,\,\,7\) đều dư \(1 \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {4;\,\,5;\,\,7} \right).\)

Và dựa vào điều kiện \(200 < a < 300\) để tìm số học sinh của trường.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) (học sinh); \(\left( {a \in \mathbb{N},\,\,\,200 < x < 300} \right).\)

Vì số học sinh của trường xếp thành hàng \(4\), hàng \(5\), hàng \(7\) đều dư \(1\) em nên ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a - 1 \vdots 4\\a - 1 \vdots 5\\a - 1 \vdots 7\end{array} \right\} \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {4;5;7} \right)\)

Ta có: \(4 = {2^2};{}^{}5 = 1.5{;^{}}7 = 1.7\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {4;5;7} \right) = {2^2}.5.7 = 140\)

\( \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {4;5;7} \right) = B\left( {140} \right) = \left\{ {0;140;280;420;...} \right\}\)

\( \Rightarrow a \in \left\{ {139;279;419;...} \right\}\)

Mà \(200 < a < 300\)\( \Rightarrow a = 279\).

Vậy số học sinh khối \(6\) của trường là \(279\) học sinh.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Áp dụng phép chia có dư.

- Tìm số ước của một số tự nhiên \(a = a_1^{{k_1}}.a_2^{{k_2}}\) (Phân tích ra thừa số nguyên tố; Số ước tính theo công thức \(\left( {{k_1} + 1} \right)\left( {{k_2} + 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(398\) chia \(a\) dư \(38\) nên \(\left( {398 - 38} \right)\,\, \vdots \,\,a \Rightarrow 360\,\, \vdots \,\,a\).

Vì \(450\) chia \(a\) dư \(18\) nên \(\left( {450 - 18} \right)\,\, \vdots \,\,a \Rightarrow 432\,\, \vdots \,\,a\)

\( \Rightarrow a \in UC\left( {360;432} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}360 = {2^3}{.3^2}.5\\432 = {2^4}{.3^3}\end{array} \right\} \Rightarrow UCLN\left( {360;432} \right) = {2^3}{.3^2} = 72\)

\( \Rightarrow a \in UC\left( {360;438} \right) = U\left( {72} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,9;\,\,12;\,\,18;\,\,24;\,\,36;\,\,72} \right\}\)

Tập hợp trên có \(\left( {3 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right) = 12\) phần tử.

Vậy có \(12\) giá trị của \(a\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia có dư  và áp dụng tìm giá trị của số chưa biết thông qua BCNN.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(n\,\,\left( {n < 500} \right)\).

Vì \(n\) chia \(15\), chia \(35\) được các số dư theo thứ tự là \(8\) và \(13\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}n - 8\,\, \vdots \,\,15\\n - 13\,\, \vdots \,\,35\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 8 + 30\,\, \vdots \,\,15\\n - 13 + 35\,\, \vdots \,\,35\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n + 22\,\, \vdots \,\,15\\n + 22\,\, \vdots \,\,35\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow n + 22 \in BC\left( {15;35} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}15 = 3.5\\35 = 5.7\end{array} \right\} \Rightarrow BCNN\left( {15;35} \right) = 3.5.7 = 105\)

\( \Rightarrow n + 22 \in BC\left( {15;35} \right) = B\left( {105} \right) = \left\{ {0;\,\,105;\,\,210;\,\,315;\,\,420;\,\,525;\,\,630;...} \right\}\)

\( \Rightarrow n \in \left\{ {83;\,\,188;\,\,293;\,\,398;\,\,503;\,\,608;...} \right\}\)

Mà \(n < 500\) suy ra \(n \in \left\{ {83;188;293;398} \right\}\).

Vậy \(n \in \left\{ {83;188;293;398} \right\}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(b\).

Áp dụng \(d = UCLN\left( {a,b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\,\, \vdots \,\,d\\b\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ma\,\, \vdots \,\,d\\nb\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow ma \pm nb\,\, \vdots \,\,d;\,\,\,\,UCLN\,\left( {m,n} \right) = 1.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d = UC\left( {2n + 1,\,\,9n - 4} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 \vdots d\\9n - 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9.\left( {2n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {9n - 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}18n + 9 \vdots d\\18n - 8 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {18n + 9} \right) - \left( {18n - 8} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 18n + 9 - 18n + 8\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 17\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in U\left( {17} \right) = \left\{ {1;\,\,17} \right\}.\end{array}\)

Vậy ước chung của \(2n + 1\) và \(9n - 4\) là \(1;\,\,17\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

+) Dùng tính chất của bội.

+) Sử dụng dấu hiệu chia hết của các số 5 và 9.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

a) \(\overline{abcd}\in B\left( 5 \right)\)

Ta có:

 \(\begin{align}& \overline{abcd}\in B\left( 5 \right)\Rightarrow \overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow d\in \left\{ 0;5 \right\} \\& d=5\Rightarrow \overline{abcd}=2345 \\\end{align}\)

 \(\text{d}=0\Rightarrow \) Loại, vì \(a,b,c,d\) là \(4\) số tự nhiên liên tiếp tăng dần.

Vậy \(\overline{abcd}=2345.\)

b) \(\overline{abcd}\in B\left( 9 \right)\)

\(\begin{array}{l}\overline {abcd} \in B\left( 9 \right) \Rightarrow \overline {abcd} \vdots 9\\ \Rightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow \left( {a + a + 1 + a + 2 + a + 3} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow \left( {4a + 6} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow 4a + 6 \in \left\{ {0;9;18;27;36;...} \right\}\\ \Rightarrow 4a \in \left\{ {3;12;21;32...} \right\}\\ \Rightarrow a = 3\end{array}\)

(vì \(1\le a\le 6\))

\(a=3\Rightarrow \overline{abcd}=3456\)

Vậy \(\overline{abcd}=3456.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung của hai hay nhiều số cho trước.

+) Áp dụng kiến thức \(\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \vdots d\\b \vdots d\end{array} \right.\)

+) Thực hiện phép nhân sao cho hai số cho trước có hệ số của \(n\) bằng nhau.

+) Áp dụng \(\left. \begin{array}{l}a \vdots d\\b \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow a - b \vdots d\) \( \Rightarrow \) Làm mất \(n\)

+) \(d\) là ước của hiệu vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của \(2n + 3\) và \(4n + 8\) \(\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right).\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3\,\, \vdots \,\,d\\4n + 8\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\1.\left( {4n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4n + 6\,\, \vdots \,\,d\\4n + 8\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 4n + 8 - 4n - 6 \vdots d\\ \Rightarrow 2 \vdots d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

Vì \(2n + 3\) là số lẻ nên \(2n + 3\) không chia hết cho \(2 \Rightarrow d = 2\)  (loại)

Vậy \(d = 1\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Gọi số học cần tìm là \(a\) (em), \(\left( {a \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,a < 400} \right)\).

Dựa vào đề bài ta có \(a - 1 \in BC\left( {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right) \Rightarrow a.\)

Dựa vào điều kiện \(a < 400,\,\,a \in {\mathbb{N}^*}\) và số học sinh chia hết cho \(7\) để kết luận số học sinh cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học cần tìm là \(a\) (em), \(\left( {a \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,a < 400} \right)\).

Do số học sinh khi xếp vào hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(5\), hàng \(6\) đều thừa \(1\) em nên ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a - 1 \vdots 2\\a - 1 \vdots 3\\a - 1 \vdots 4\\a - 1 \vdots 5\\a - 1 \vdots 6\end{array} \right\} \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {2;3;4;5;6} \right)\)

Ta có: \(2 = 1.2\); \(3 = 1.3\); \(4 = {2^2}\); \(5 = 1.5\); \(6 = 2.3\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {2;3;4;5;6} \right) = {2^2}3.5 = 60\)

\( \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {2;3;4;5;6} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;...} \right\}\)

\( \Rightarrow a \in \left\{ {1;61;121;181;241;301;361;...} \right\}\)

Mà \(a < 400 \Rightarrow a \in \left\{ {1;61;121;181;241;301;361} \right\}\)

Mặt khác, số học sinh khi xếp vào hàng \(7\) thì vừa đủ nên \(a \vdots 7\).

\( \Rightarrow a = 301\)

Vậy khối 6 có \(301\) học sinh.

Chọn A.