25 bài tập vận dụng Ước chung và bội chung

Làm bài

Câu hỏi 1 :

 Các số tự nhiên \(x\) sao cho: a. \(x\in \)Ư\(\left( 32 \right)\) và \(x>4\)

b. \(x\in B\left( 8 \right)\) và \(8<x\le 88\)

c. \(x~\in B\left( 12 \right)\) và \(12\le x\le 120\)

  • A  \(a,\ x \in \left\{ {8;16} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {16;24;32;40;48;56;64;72;80;88} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48}};60;72;84;96;108;120} \right\}\)

  • B  \(a,\ x \in \left\{ {8;16;32} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {16;24;32;40;48;56;64;72;80;88} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48}};60;72;84;96;108;120} \right\}\)

  • C  \(a,\ x \in \left\{ {8;16;32} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {16;24;48;56;64;72;80;88} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48}};60;72;84;96;108;120} \right\}\)

  • D  \(a,\ x \in \left\{ {8;132} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {16;24;32;40;48;56;64;72;80;88} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48}};60;72;84;96;120} \right\}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

 +) \(B\left( a \right)=\left\{ m.a|m\in N \right\}=\left\{ 0;a;2a;... \right\}\)

+) Ư\(\left( a \right)=\left\{ x\in N|a\vdots x \right\}\)

 +)  Kết hợp các điều kiện của đề bài để tìm số thích hợp

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in U\left( {32} \right)\\x > 4\end{array} \right. \Rightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 1; 2; 4; 8; 16; 32\} }}\\x > 4\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in B\left( 8 \right)\\8 < x \le 88\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 0;8;16;24; 32;}}...{\rm{\} }}\\8 < x \le 88\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x \in \left\{ {16;24;32;40;48;56;64;72;80;88} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in B\left( {12} \right)\\12 \le x \le 120\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 0;}}\,{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48;}}...{\rm{\} }}\\12 \le x \le 120\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x \in \left\{ {{\rm{12;}}\,{\rm{24;}}\,{\rm{36; 48}};60;72;84;96;108;120} \right\}\end{array}\)

Chon B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Chứng minh rằng \(\left\{ {11;\,91} \right\} \in U\left( {\overline {abcabc} } \right)\). 

Phương pháp giải:

Cần chứng minh:

\(\overline {abcabc}  \vdots 11,\,\overline {abcabc}  \vdots 91\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết

\(\begin{array}{l}\overline {abcabc} = \overline {abc} \,.1000 + \,\overline {abc} \,.1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overline {abc} \,.\,(1000 + 1)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overline {abc} \,.1001 = \overline {abc} \,.11.91\\ \Rightarrow \overline {abcabc} \vdots 11;\,\,\overline {abcabc} \vdots 91\\ \Rightarrow 11;\,91 \in U\left( {\overline {abcabc} } \right)\end{array}\)

Câu hỏi 3 :

Các số tự nhiên \(x\) sao cho:

\(a,\ 8~\vdots \left( x-1 \right)\)

\(b,\ 70~\vdots \left( 2x-3 \right)\)                                   

\(c,\ x+2~\in \)Ư\(\left( 16 \right)\)          

\(d,\ 2x+1~\in \)Ư\(\left( 21 \right)\)

  • A \(a,\ x \in \left\{ {2;3;5;9} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {4;5;19} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {0;2;6;14} \right\}\)

    \(d,\ x \in \left\{ {1;3;10} \right\}\)

  • B \(a,\ x \in \left\{ {2;3;5} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {2;4;5;19} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {0;2;6} \right\}\)

    \(d,\ x \in \left\{ {0;1;3;10} \right\}\)

  • C \(a,\ x \in \left\{ {2;3;5;9} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {2;4;5;19} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {0;2;6;14} \right\}\)

    \(d,\ x \in \left\{ {0;1;3;10} \right\}\)

  • D \(a,\ x \in \left\{ {2;3;5;9} \right\}\)

    \(b,\ x \in \left\{ {2;4;19} \right\}\)

    \(c,\ x \in \left\{ {0;2;6;14} \right\}\)

    \(d,\ x \in \left\{ {0;1;3} \right\}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ư\(\left( a \right)=\left\{ x\in N|a\vdots x \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết  

\(\begin{array}{l}a)8 \vdots \left( {x - 1} \right) \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 8 \right)\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in \left\{ {1;2;4;8} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;5;9} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)70 \vdots \left( {2x - 3} \right)\\70 \vdots \left( {2x - 3} \right) \Rightarrow \left( {2x - 3} \right) \in U\left( {70} \right)\\ \Rightarrow 2x - 3 \in \left\{ {1;2;5;7;10;14;35;70} \right\}\\ \Rightarrow 2x \in \left\{ {4;5;8;10;13;17;38;73} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {2;4;5;19} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)x + 2 \in U\left( {16} \right)\\ \Rightarrow x + 2 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {0;2;6;14} \right\}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)2x + 1 \in U\left( {21} \right)\\ \Rightarrow 2x + 1 \in \left\{ {1;3;7;21} \right\}\\ \Rightarrow 2x \in \left\{ {0;2;6;20} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;3;10} \right\}\end{array}\)

Chon C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Số bội của 4 và từ 8 đến 200 là:

  • A 49
  • B 50
  • C 51
  • D 52

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về bội của 1 số.

- Áp dụng kiến thức và đếm số số hạng của 1 dãy số từ 8 đến 200.

Số số hạng = (số cuối - số đầu) : khoảng cách + 1 (dãy tăng dần).

Lời giải chi tiết:

Tập hợp bội chung của 4 từ 8 đến 200 là: \(A = {\rm{\{ 8;}}\,\,{\rm{16;}}\,\,{\rm{20;}}\,\,{\rm{24;}}......{\rm{;}}\,\,{\rm{200\} }}\)

\(200 \vdots 4\) vì \((00 \vdots 4)\), số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

Tập hợp A là tập hợp gồm các số từ 8 đến 200 và cách nhau 4 đơn vị.

Vậy  số số hạng của tập hợp A là: \(SSH = {{200 - 8} \over 4} + 1 = 48 + 1 = 49\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Viết tập hợp X là ước số 35 và lớn hơn 5.Viết tập Y là bội của 8 và nhỏ hơn 50.Gọi M là giao của tập hợp X và Y, liệt kê các phần tử của tập hợp M .

  • A \(M = X \cap Y = 1;2;3 \)
  • B \(M = X \cap Y = \emptyset \)
  • C \(M = X \cap Y = 1;2 \)
  • D \(M = X \cap Y = 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức ước (bội) của 1 số, liệt kê tập hợp các ước số đó.

- So sánh với yêu cầu của đề bài, các ước (bội) lớn hơn (hay nhỏ hơn), để tìm ra tập hợp cuối cùng

- Dựa vào kiến thức tập hợp để tìm ra tập hợp giao của 2 tập hợp vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& U(35) = \{ 1,5,7,35\}   \cr & U(35) > 5 \Rightarrow X = \{ 7,35\}   \cr  & B(8) = \{ 0,8,16,32,40,48,56,...\}   \cr & B(8) < 50 \Rightarrow Y = \{ 0,8,16,32,40,48\}  \cr} \)

Vì 

\(\eqalign{& X = \{ 7,35\}   \cr & Y = \{ 0,8,16,32,40,48\}   \cr &  \Rightarrow M = X \cap Y = \emptyset  \cr} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho  2 số a,b biết rằng:\({a \over b} = {2 \over 3};BC(a,b) = 12\). Tìm 2  số a,b. 

  • A \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {3} \right),\left( {6} \right)} \right\}\) 
  • B \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {-3;3} \right),\left( {- 6;6} \right)} \right\}\) 
  • C \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\) 
  • D \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right),\left( {6} \right)} \right\}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về rút gọn phân số:\({{a.n} \over {b.n}} = {a \over b}(b,n > 0)\)

- Áp dụng kiến thức bội của 1 số và bội chung của 2 số.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\({a \over b} = {2 \over 3} = {{2.n} \over {3.n}}(n > 0)\)

Suy ra

\(a = 2.n;\,\,b = 3.n\) hay \(a \in B(2);b \in B(3)\)

Ta có:

\(B(2) = {\rm{\{ 0,2,4,6,8,10,12,}}...{\rm{\} }}\) và \(B(3) = {\rm{\{ 0,3,6,9,12,}}...{\rm{\} }}\)

\(BC(2,3) = {\rm{\{ 0,6,12,}}...{\rm{\} }}\)

Xét dữ liệu đề bài cho\(BC(a,b) = 12\), nên\(12 \vdots a\) và\(12 \vdots b\) hay\(12 \vdots 2n\) và \(12 \vdots 3n\)

Mà\(U(12) = {\rm{\{ 1,2,3,4,6,12\} }}\), nên \(n \in \left\{ {{\rm{1,2}}} \right\}\)

Nếu n = 1 thì a = 2; b = 3 .

Nếu n = 2 thì a = 4; b = 6.

Vậy \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\) là thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Hai lớp 6A và 6B nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi học sinh lớp 6A phải trồng 6 cây, mỗi học sinh lớp 6B phải trồng 8 cây. Tính số cây mỗi lớp phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 170 đến 200.

  • A 152
  • B 192
  • C 200
  • D 215

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phân tích kỹ đầu bài

+) Tìm bội chung của 6, 8 và từ dữ kiện đề bài để kết luận số cây.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cây mỗi lớp phải trồng là (cây) (170 < x < 200).

Mỗi học sinh lớp 6A phải trồng 6 cây, mỗi học sinh lớp 6B phải trồng 8 cây

\( \Rightarrow x \in BC\left( {6;8} \right) = \left\{ {24;48;72;...;168;192;216;...} \right\}\)

Mà số số cây đó trong khoảng từ 170 đến 200 \( \Rightarrow x = 192\) (cây)

Vậy số cây mỗi lớp phải trồng là 192 cây.

Chọn đáp án B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Học sinh khối 6 và khối 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy khi xếp thành 18 hàng, 20 hàng hoặc 36 hàng để dự buổi chào cờ đầu tuần đều đủ hàng. Tìm số học sinh biết rằng có khoảng 500 đến 600 học sinh.

  • A 650
  • B 540
  • C 550
  • D 720

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phân tích kỹ đầu bài. Tìm bội chung của 18, 20, 36 và từ dữ kiện đề bài để kết luận số học sinh.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh khối 6, 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy là x (học sinh) (500 < x < 600).

Học sinh khối 6 và khối 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy khi xếp thành 18 hàng, 20 hàng hoặc 36 hàng để dự buổi chào cờ đầu tuần đều đủ hàng  \( \Rightarrow x \in BC\left( {18;20;36} \right) = \left\{ {180;360;540;720;...} \right\}\)

Mà số học sinh trong khoảng 500 đến 600 học sinh.\( \Rightarrow x = 540\) (học sinh)

Vậy số học sinh khối 6, 7 của Trường THCS Vĩnh Tuy là 540 học sinh.

Chọn đáp án B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tìm số tự nhiên \(x\) biết \(480 \vdots x\); \(600 \vdots x\)và \(x < 10\).

  • A \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;8} \right\}\)
  • B \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)
  • C \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
  • D \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;8;10;12} \right\}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Xác định ước chung của các số cho trước thông qua tìm ước chung lớn nhất.

+) Tìm được tập hợp ước chung, sau đó đối chiếu với điều kiện của đề bài.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left. \begin{array}{l}480 \vdots x\\600 \vdots x\end{array} \right\} \Rightarrow x \in UC\left( {480;600} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}480 = {2^5}.3.5\\600 = {2^3}{.3.5^2}\\ \Rightarrow UCLN\left( {480;600} \right) = {2^3}.3.5 = 120\\ \Rightarrow x \in UC\left( {480;600} \right) = U\left( {120} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,8;\,\,10;\,\,12;.....;120} \right\}.\end{array}\)

Mà \(x < 10\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;8} \right\}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tìm số tự nhiên \(x\) biết rằng \(125\) chia \(x\) dư 5, \(85\) chia \(x\) dư \(1\).

  • A \(x \in \left\{ {3;4;6;12;18} \right\}\)
  • B \(x \in \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\)
  • C \(x \in \left\{ {6;12} \right\}\)
  • D \(x \in \left\{ {6;12;18} \right\}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Đây là dạng toán tìm \(x\) thông qua tìm ước chung.

+) Áp dung kiến thức về phép chia có dư.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài:

+) \(125 \vdots x\) dư \(5\) nên \(125 - 5\,\, \vdots \,\,\,x \Rightarrow 120\,\, \vdots \,\,x\,\,\,\left( {x > 5} \right)\)

+) \(85 \vdots x\) dư \(1\) nên \(85 - 1\,\, \vdots \,\,x \Rightarrow 84\,\, \vdots \,\,x\,\,\left( {x > 1} \right)\)

\( \Rightarrow x \in UC\left( {84;120} \right)\) và \(x > 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}84 = {2^2}.3.7\\120 = {2^3}.3.5\\ \Rightarrow UCLN\left( {84;120} \right) = {2^2}.3 = 12\\ \Rightarrow x \in UC\left( {84;120} \right) = U\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\end{array}\)

Mà \(x > 5\)nên \(x \in \left\{ {6;12} \right\}\).

Vậy \(x \in \left\{ {6;12} \right\}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất sao cho \(13,\,\,15\), \(61\) chia \(x\) đều dư \(1.\)

  • A \(x = 2.\)
  • B \(x = 4.\)
  • C \(x = 6.\)
  • D \(x = 7.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dạng toán tìm \(x\) thông qua tìm ước chung lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \in \mathbb{N}.\)

Theo bài ra ta có:

+) \(13\) chia \(x\) dư \(1\)\( \Rightarrow 13 - 1 \vdots x \Rightarrow 12 \vdots x\)

+) \(15\) chia \(x\) dư \(1\)\( \Rightarrow 15 - 1 \vdots x \Rightarrow 14 \vdots x\)

+) \(61\) chia \(x\) dư \(1\)\( \Rightarrow 61 - 1 \vdots x \Rightarrow 60 \vdots x\)

\( \Rightarrow x \in UC\left( {12;14;60} \right)\)

Mà \(x\) lớn nhất \( \Rightarrow x = UCLN\left( {12;14;60} \right)\)

Ta có:

\(12 = {2^2}.3\)

\(14 = 2.7\)

\(60 = {2^2}.3.5\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {12;14;60} \right) = 2\)

\( \Rightarrow x = 2\)

Vậy \(x = 2.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Một độ y tế có \(24\) bác sĩ, \(108\) y tá. Có bao nhiêu cách chia tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ.

  • A \(3\)
  • B \(4\)
  • C \(5\)
  • D \(6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Đây là dạng bài toán thực tế tìm số cách chia để phần tử mỗi tổ, mỗi nhóm đều nhau.

+) Để tìm số cách chia, tìm thông qua ước chung.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tổ trong đội y tế cần chia là \(x\) \(\left( {1 < x < 24,\,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}24 \vdots x\\108 \vdots x\end{array} \right. \Rightarrow x \in UC\left( {24;108} \right)\)

Ta có:

\(24 = {2^3}.3\)

\(108 = {2^2}{.3^3}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {24;108} \right) = {2^2}.3 = 12\)

\( \Rightarrow UC\left( {24;108} \right) = U\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\)

Mà \(x > 1\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4;6;12} \right\}\).

Vậy có \(5\) cách chia tổ.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Đội văn nghệ của trường có \(48\) nam và \(54\) nữ muốn phục vụ tại nhiều địa điểm, đội dự định sẽ chia các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ sẽ có bao nhiêu nam? Bao nhiêu nữ?

  • A \(6\) nam, \(7\) nữ
  • B \(6\) nam, \(8\) nữ
  • C \(8\) nam, \(9\) nữ
  • D \(8\) nam, \(10\) nữ

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Xác định số cách chia nhiều nhất \( \Rightarrow \) Tìm ước chung lớn nhất.

+) Để tìm số phần tử của mỗi nhóm \( \Rightarrow \) Lấy số phần tử của cả nhóm chia cho số cách chia.

Lưu ý: Phải có điều kiện xác định

Lời giải chi tiết:

Gọi số tổ cần tìm là \(a\) \(\left( {1 < a < 48{,^{}}a \in \mathbb{N}} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left. \begin{array}{l}48 \vdots a\\54 \vdots a\end{array} \right\} \Rightarrow a \in UC\left( {48;54} \right)\)

Mà \(a\) lớn nhất \( \Rightarrow a = UCLN\left( {48;54} \right)\)

Ta có: \(48 = {2^4}.3\); \(54 = {2.3^3}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {48;54} \right) = 2.3 = 6\)

\( \Rightarrow a = 6\)

Vậy số tổ nhiều nhất có thể chia là \(6\) tổ.

Khi đó, số nam ở mỗi tổ là: \(48:6 = 8\)  (nam).

Số nữ ở mỗi tổ là: \(54:6 = 9\) (nữ).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tìm các số tự nhiên \(x\) biết \(x \in BC\left( {12;15;20} \right)\) và \(x \le 500\).

  • A \(x \in \left\{ {0;30;60;...;480} \right\}\)
  • B \(x \in \left\{ {0;60;120;...;480} \right\}\)
  • C \(x \in \left\{ {0;120;240;360;480} \right\}\)
  • D \(x \in \left\{ {0;90;180;...;450} \right\}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phân tích các số \(12,\,\,15,\,\,20\) thành các thừa số nguyên tố, tìm \(BCNN\left( {12;\,\,15;\,\,20} \right).\) Từ đó suy ra \(BC\left( {12;\,\,15;\,\,20} \right)\) và dựa vào điều kiện \(x \le 500\) để kết luận các giá trị \(x.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(12 = {2^2}.3\)

\(15 = 3.5\)

\(20 = {2^2}.5\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {12;15;20} \right) = {2^2}.3.5 = 60\)

\( \Rightarrow x \in BC\left( {12;15;20} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;420;480;540;...} \right\}\)

Mà \(x \le 500 \Rightarrow x \in \left\{ {0;60;120;...;480} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tìm số tự nhiên \(x\) biết \(x + 2 \in BC\left( {8;16;24} \right)\) và \(x \le 250\).

  • A \(x \in \left\{ {46;94;142;190;238} \right\}\)
  • B \(x \in \left\{ {48;96;144;192;240} \right\}\)
  • C \(x \in \left\{ {42;84;126;168;210} \right\}\)
  • D \(x \in \left\{ {52;104;156;208} \right\}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích các số \(8;\,\,16;\,\,24\) thành các thừa số nguyên tố, tìm \(BCNN\left( {8;\,\,16;\,\,24} \right)\) Từ đó suy ra \(BC\left( {12;\,\,15;\,\,20} \right) \Rightarrow x + 2\) và dựa vào điều kiện \(x \le 250\) để kết luận các giá trị \(x.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(8 = {2^3}\)

\(16 = {2^4}\)

\(24 = {2^3}.3\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {8;16;24} \right) = {2^4}.3 = 48\)

\( \Rightarrow x + 2 \in BC\left( {8;16;24} \right) = B\left( {48} \right) = \left\{ {0;48;96;144;192;240;288;...} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {46;94;142;190;238;286;...} \right\}\)

Mà \(x \le 250 \Rightarrow x \in \left\{ {46;94;142;190;238} \right\}\).

Vậy \(x \in \left\{ {46;94;142;190;238} \right\}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tìm \(x \in \mathbb{N}\), biết \(x\) thỏa mãn \(x \vdots 39\); \(x \vdots 65\); \(x \vdots 91\) và \(400 < x < 2600\).

  • A \(x = 1275\)
  • B \(x = 1325\)
  • C \(x = 1365\)
  • D \(x = 1625\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Xác định bội chung của các số cho trước thông qua tìm bội chung nhỏ nhất.

+) Tìm được tập hợp bội chung, sau đó đối chiếu với điều kiện của đề bài rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(\left. \begin{array}{l}x \vdots 39\\x \vdots 65\\x \vdots 91\end{array} \right\} \Rightarrow x \in BC\left( {39;65;91} \right)\)

Ta có:

\(39 = 3.13\)

\(65 = 5.13\)

\(91 = 7.13\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {39;65;91} \right) = 3.5.7.13 = 1365\)

\( \Rightarrow x \in BC\left( {39;65;91} \right) = B\left( {1365} \right) = \left\{ {0;1365;2730;...} \right\}\)

Mà \(400 < x < 2600\)\( \Rightarrow x = 1365\).

Vậy \(x = 1365\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm số tự nhiên \(x\) nhỏ nhất khi chia cho \(5\) dư \(1\), chia \(7\)dư \(5\).

  • A \(x = 24\)
  • B \(x = 26\)
  • C \(x = 29\)
  • D \(x = 31\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đây là dạng toán tìm \(x\) thông qua tìm \(BC\).

Xác định biểu thức chứa \(x\) là \(BCNN\left( {5;7} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(x\) chia \(5\) dư \(1\) nên \(x - 1\,\, \vdots \,\,5\)

\(x\) chia \(7\) dư \(5\) nên \(x - 5\,\, \vdots \,\,7\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\, \vdots \,\,5\\x - 5\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 + 10\,\, \vdots \,\,5\\x - 5 + 14\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 9\,\, \vdots \,\,5\\x + 9\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {x + 9} \right) \in BC\left( {5;7} \right)\) và \(x > 5\).

Mà \(x\) nhỏ nhất \( \Rightarrow x + 9 = BCNN\left( {5;7} \right) = 35\)

\( \Rightarrow x = 26\)

Vậy \(x = 26\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Số học sinh khối \(6\) của một trường có từ \(300\) đến \(400\) em. Mỗi lần xếp hàng \(12\), hàng \(15\), hàng \(18\) đều vừa đủ và không thừa ai. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh?

  • A \(320\)
  • B \(360\)
  • C \(375\)
  • D \(392\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi số học sinh của trường là \(x\) (học sinh). \(\left( {x \in \mathbb{N}{,^{}}300 < x < 400} \right)\).

Theo đề bài ta suy ra được \(x \in BC\left( {12;\,\,15;\,\,18} \right).\)

Tìm \(BC\left( {12;\,\,15;\,\,18} \right)\) sau đó dựa vào điều kiện \(300 < x < 400\) để suy ra số học sinh của trường.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh của trường là \(x\) (học sinh). \(\left( {x \in \mathbb{N}{,^{}}300 < x < 400} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left. \begin{array}{l}x \vdots 12\\x \vdots 15\\x \vdots 18\end{array} \right\} \Rightarrow x \in BC\left( {12;15;18} \right)\)

Ta lại có:  \(12 = {2^2}.3\); \(15 = 3.5\); \(18 = {2.3^2}\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {12;15;18} \right) = {2^2}{.3^2}.5 = 180\)

\( \Rightarrow x \in BC\left( {12;15;18} \right) = B\left( {180} \right) = \left\{ {0;180;360;540;720;...} \right\}\)

Mà \(300 < x < 400\) và \(x \in \mathbb{N}\) suy ra \(x = 360\).

Vậy số học sinh cần tìm là \(360\) học sinh.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Học sinh khối \(6\) của \(1\) trường có từ \(200\) đến \(300\) học sinh. Nếu xếp thành hàng \(4\), hàng \(5\), hàng \(7\) đều dư \(1\) em. Tìm số học sinh của trường đó.

  • A \(239\)
  • B \(249\)
  • C \(279\)
  • D \(289\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) (học sinh); \(\left( {a \in \mathbb{N},\,\,\,200 < x < 300} \right).\)

Từ đề bài ta suy ra được \(a\) chia cho \(4,\,\,5,\,\,7\) đều dư \(1 \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {4;\,\,5;\,\,7} \right).\)

Và dựa vào điều kiện \(200 < a < 300\) để tìm số học sinh của trường.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) (học sinh); \(\left( {a \in \mathbb{N},\,\,\,200 < x < 300} \right).\)

Vì số học sinh của trường xếp thành hàng \(4\), hàng \(5\), hàng \(7\) đều dư \(1\) em nên ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a - 1 \vdots 4\\a - 1 \vdots 5\\a - 1 \vdots 7\end{array} \right\} \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {4;5;7} \right)\)

Ta có: \(4 = {2^2};{}^{}5 = 1.5{;^{}}7 = 1.7\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {4;5;7} \right) = {2^2}.5.7 = 140\)

\( \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {4;5;7} \right) = B\left( {140} \right) = \left\{ {0;140;280;420;...} \right\}\)

\( \Rightarrow a \in \left\{ {139;279;419;...} \right\}\)

Mà \(200 < a < 300\)\( \Rightarrow a = 279\).

Vậy số học sinh khối \(6\) của trường là \(279\) học sinh.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Có bao nhiêu số tự nhiên \(a\) thỏa mãn \(398\) chia \(a\) thì dư \(38\), còn \(450\) chia \(a\) thì dư \(18\).

  • A \(10\)
  • B \(11\)
  • C \(12\)
  • D \(13\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Áp dụng phép chia có dư.

- Tìm số ước của một số tự nhiên \(a = a_1^{{k_1}}.a_2^{{k_2}}\) (Phân tích ra thừa số nguyên tố; Số ước tính theo công thức \(\left( {{k_1} + 1} \right)\left( {{k_2} + 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(398\) chia \(a\) dư \(38\) nên \(\left( {398 - 38} \right)\,\, \vdots \,\,a \Rightarrow 360\,\, \vdots \,\,a\).

Vì \(450\) chia \(a\) dư \(18\) nên \(\left( {450 - 18} \right)\,\, \vdots \,\,a \Rightarrow 432\,\, \vdots \,\,a\)

\( \Rightarrow a \in UC\left( {360;432} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}360 = {2^3}{.3^2}.5\\432 = {2^4}{.3^3}\end{array} \right\} \Rightarrow UCLN\left( {360;432} \right) = {2^3}{.3^2} = 72\)

\( \Rightarrow a \in UC\left( {360;438} \right) = U\left( {72} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,9;\,\,12;\,\,18;\,\,24;\,\,36;\,\,72} \right\}\)

Tập hợp trên có \(\left( {3 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right) = 12\) phần tử.

Vậy có \(12\) giá trị của \(a\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tìm số tự nhiên nhỏ hơn \(500\), sao cho chia nó cho \(15\), cho \(35\) được các số dư theo thứ tự là \(8\) và \(13\).

  • A \(n \in \left\{ {105;210;315;420} \right\}\)
  • B \(n \in \left\{ {83;188;293;398} \right\}\)
  • C \(n \in \left\{ {72;166;260;354;448} \right\}\)
  • D \(n \in \left\{ {94;210;326;442} \right\}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia có dư  và áp dụng tìm giá trị của số chưa biết thông qua BCNN.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(n\,\,\left( {n < 500} \right)\).

Vì \(n\) chia \(15\), chia \(35\) được các số dư theo thứ tự là \(8\) và \(13\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}n - 8\,\, \vdots \,\,15\\n - 13\,\, \vdots \,\,35\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 8 + 30\,\, \vdots \,\,15\\n - 13 + 35\,\, \vdots \,\,35\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n + 22\,\, \vdots \,\,15\\n + 22\,\, \vdots \,\,35\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow n + 22 \in BC\left( {15;35} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}15 = 3.5\\35 = 5.7\end{array} \right\} \Rightarrow BCNN\left( {15;35} \right) = 3.5.7 = 105\)

\( \Rightarrow n + 22 \in BC\left( {15;35} \right) = B\left( {105} \right) = \left\{ {0;\,\,105;\,\,210;\,\,315;\,\,420;\,\,525;\,\,630;...} \right\}\)

\( \Rightarrow n \in \left\{ {83;\,\,188;\,\,293;\,\,398;\,\,503;\,\,608;...} \right\}\)

Mà \(n < 500\) suy ra \(n \in \left\{ {83;188;293;398} \right\}\).

Vậy \(n \in \left\{ {83;188;293;398} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Với \(n\) là số tự nhiên, tìm ước chung của \(2n + 1\)và \(9n - 4\).

  • A \(1;11\)
  • B \(1;13\)
  • C \(1;15\)
  • D \(1;17\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(b\).

Áp dụng \(d = UCLN\left( {a,b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\,\, \vdots \,\,d\\b\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ma\,\, \vdots \,\,d\\nb\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow ma \pm nb\,\, \vdots \,\,d;\,\,\,\,UCLN\,\left( {m,n} \right) = 1.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d = UC\left( {2n + 1,\,\,9n - 4} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 \vdots d\\9n - 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9.\left( {2n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {9n - 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}18n + 9 \vdots d\\18n - 8 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {18n + 9} \right) - \left( {18n - 8} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 18n + 9 - 18n + 8\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 17\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in U\left( {17} \right) = \left\{ {1;\,\,17} \right\}.\end{array}\)

Vậy ước chung của \(2n + 1\) và \(9n - 4\) là \(1;\,\,17\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Tìm \(\overline{abcd},a,b,c,d\) là \(4\) số tự nhiên liên tiếp tăng dần và:

\(a,\ \overline{abcd}\in B\left( 5 \right)\)

\(b,\ \overline{abcd}\in B\left( 9 \right)\)

 

  • A \(a,\ \overline{abcd}=3456.\)

    \(b,\ \overline{abcd}=3456.\)

  • B \(a,\ \overline{abcd}=2345.\)

    \(b,\ \overline{abcd}=4567.\)

  • C \(a,\ \overline{abcd}=3456.\)

    \(b,\ \overline{abcd}=1234.\)

  • D \(a,\ \overline{abcd}=2345.\)

    \(b,\ \overline{abcd}=3456.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

+) Dùng tính chất của bội.

+) Sử dụng dấu hiệu chia hết của các số 5 và 9.

Lời giải chi tiết:

 

Hướng dẫn giải chi tiết

a) \(\overline{abcd}\in B\left( 5 \right)\)

Ta có:

 \(\begin{align}& \overline{abcd}\in B\left( 5 \right)\Rightarrow \overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow d\in \left\{ 0;5 \right\} \\& d=5\Rightarrow \overline{abcd}=2345 \\\end{align}\)

 \(\text{d}=0\Rightarrow \) Loại, vì \(a,b,c,d\) là \(4\) số tự nhiên liên tiếp tăng dần.

Vậy \(\overline{abcd}=2345.\)

b) \(\overline{abcd}\in B\left( 9 \right)\)

\(\begin{array}{l}\overline {abcd} \in B\left( 9 \right) \Rightarrow \overline {abcd} \vdots 9\\ \Rightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow \left( {a + a + 1 + a + 2 + a + 3} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow \left( {4a + 6} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow 4a + 6 \in \left\{ {0;9;18;27;36;...} \right\}\\ \Rightarrow 4a \in \left\{ {3;12;21;32...} \right\}\\ \Rightarrow a = 3\end{array}\)

(vì \(1\le a\le 6\))

\(a=3\Rightarrow \overline{abcd}=3456\)

Vậy \(\overline{abcd}=3456.\)

Chọn D

 

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Tìm ước chung của \(2n + 3\) và \(4n + 8\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

  • A \(d = 1\)
  • B \(d = 2\)
  • C \(d = 3\)
  • D \(d = 4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung của hai hay nhiều số cho trước.

+) Áp dụng kiến thức \(\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \vdots d\\b \vdots d\end{array} \right.\)

+) Thực hiện phép nhân sao cho hai số cho trước có hệ số của \(n\) bằng nhau.

+) Áp dụng \(\left. \begin{array}{l}a \vdots d\\b \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow a - b \vdots d\) \( \Rightarrow \) Làm mất \(n\)

+) \(d\) là ước của hiệu vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của \(2n + 3\) và \(4n + 8\) \(\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right).\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3\,\, \vdots \,\,d\\4n + 8\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\1.\left( {4n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4n + 6\,\, \vdots \,\,d\\4n + 8\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 4n + 8 - 4n - 6 \vdots d\\ \Rightarrow 2 \vdots d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

Vì \(2n + 3\) là số lẻ nên \(2n + 3\) không chia hết cho \(2 \Rightarrow d = 2\)  (loại)

Vậy \(d = 1\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Một khối học sinh khi xếp vào hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(5\), hàng \(6\) đều thừa \(1\) em, nhưng khi xếp vào hàng \(7\) thì vừa đủ. Tính số học sinh đó biết rằng số học sinh chưa đến \(400\) em.

  • A \(301\)
  • B \(321\)
  • C \(351\)
  • D \(381\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi số học cần tìm là \(a\) (em), \(\left( {a \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,a < 400} \right)\).

Dựa vào đề bài ta có \(a - 1 \in BC\left( {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right) \Rightarrow a.\)

Dựa vào điều kiện \(a < 400,\,\,a \in {\mathbb{N}^*}\) và số học sinh chia hết cho \(7\) để kết luận số học sinh cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học cần tìm là \(a\) (em), \(\left( {a \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,a < 400} \right)\).

Do số học sinh khi xếp vào hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(5\), hàng \(6\) đều thừa \(1\) em nên ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a - 1 \vdots 2\\a - 1 \vdots 3\\a - 1 \vdots 4\\a - 1 \vdots 5\\a - 1 \vdots 6\end{array} \right\} \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {2;3;4;5;6} \right)\)

Ta có: \(2 = 1.2\); \(3 = 1.3\); \(4 = {2^2}\); \(5 = 1.5\); \(6 = 2.3\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {2;3;4;5;6} \right) = {2^2}3.5 = 60\)

\( \Rightarrow a - 1 \in BC\left( {2;3;4;5;6} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;...} \right\}\)

\( \Rightarrow a \in \left\{ {1;61;121;181;241;301;361;...} \right\}\)

Mà \(a < 400 \Rightarrow a \in \left\{ {1;61;121;181;241;301;361} \right\}\)

Mặt khác, số học sinh khi xếp vào hàng \(7\) thì vừa đủ nên \(a \vdots 7\).

\( \Rightarrow a = 301\)

Vậy khối 6 có \(301\) học sinh.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

close