25 bài tập ứng dụng tích phân trong hình học mức độ thông hiểuLàm bàiCâu hỏi 1 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và hàm số y=g(x)=x.f(x2) có đồ thị trên đoạn [0;2] như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tô màu là S=58, tính tích phân I=4∫1f(x)dx.
Đáp án: A Phương pháp giải: Dựa vào hình vẽ suy ra diện tích hình phẳng tô đậm theo g(x). Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân I. Lời giải chi tiết: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng S=2∫1|g(x)|dx vì g(x)≥0,∀x∈[1;2]⇒S=2∫1g(x)dx=58 Khi đó S=2∫1x.f(x2)dx. Đặt t=x2⇔dt=2xdx⇔xdx=dt2 và đổi cận {x=1⇒t=1x=2⇒t=4. Vậy S=58⇔4∫112.f(t)dt=58⇔12.4∫1f(t)dt=58⇔4∫1f(x)dx=54⟶I=54. Chọn A. Câu hỏi 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=√1+lnxx;x=1;x=e và trục hoành là S được biểu diễn dưới dạng S=a+4√2b, với a,b∈Q Tính tổng T=a+2b.
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=b là S=b∫a|f(x)|dx Đồng nhất hệ số, tìm a, b và tính tổng. Lời giải chi tiết: Do √1+lnxx≥0;∀x∈[1;e]⇒|√1+lnxx|=√1+lnxx, suy ra diện tích cần xác định là S=e∫1|√1+lnxx|dx=e∫1√1+lnxxdx. Đặt t=√1+lnx⇒t2=1+lnx⇒2tdt=dxx. Khi {x=e⇒t=√2x=1⇒t=1. Vậy S=√2∫1t.2tdt=√2∫12t2dt=23t3|√21=4√2−23=a+4√2b⇒{a=−2b=3. Vậy tổng T=a+2b=−2+2.3=4. Chọn C. Câu hỏi 3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x(x+1)(x−2);x=−2;x=2 và trục hoành là S=ab, với a,b>0 và ab là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P=a−5b.
Đáp án: D Phương pháp giải: Giải phương trình hoành độ giao điểm, tím các nghiệm thuộc [-2; 2]. Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=b là S=b∫a|f(x)|dx Chia nhỏ tích phân cần tính thành các đoạn mà trên các đoạn đó dấu của f(x) là xác định. Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với Ox là x(x+1)(x−2)=0⇔[x=−1x=0x=2. Vậy diện tích cần tính là S=2∫−2|x(x+1)(x−2)|dx=−1∫−2|x(x+1)(x−2)|dx+0∫−1|x(x+1)(x−2)|dx+2∫0|x(x+1)(x−2)|dx=|−1∫−2(x3−x2−2x)dx|+|0∫−1(x3−x2−2x)dx|+|2∫0(x3−x2−2x)dx|=|(x44−x33−x2)|−1−2|+|(x44−x33−x2)|0−1|+|(x44−x33−x2)|20|=|−512−83|+|0+512|+|−83|=376=ab⇒{a=37b=6⇒P=7. Chọn D. Câu hỏi 4 : Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx√x, trục hoành, đường thẳng x=1 và đường thẳng x=e bằng ae+b. Khi đó a2 gần với giá trị nào nhất ?
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=b là S=b∫a|f(x)|dx Lời giải chi tiết: Ta có S=e∫1|lnx√x|dx=e∫1lnx√xdx. (Vì với x∈[1;e]⇒ln1<lnx<lne⇒lnx>0) Đặt {u=lnxdv=dx√x⇔{du=dxxv=2√x⇒e∫1lnx√xdx=lnx.2√x|e1−2e∫1dx√x=(lnx.2√x−4√x)|e1=−2√e+4=−2√ee+4e∫1lnx√xdx=ae+b⇒{a=−2√eb=4⇒a2=4e≈1,4715≈√2. Chọn A. Câu hỏi 5 : Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và parabol (P):y=x2−ax(a>0) bằng V=2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
Đáp án: C Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox, tìm ra các cận x = a và x = b. Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.b∫af2(x)dx. Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và Ox là x2−ax=0⇔[x=0x=a. Khi đó, thể tích cần xác định cho bởi V=πa∫0(x2−ax)2dx=πa∫0(x4−2ax3+a2x2)dx =π(x55−ax42+a2x33)|a0=πa530. Mặt khác V=2⇒πa530=2⇔a=5√60π∈(32;2). Chọn C. Câu hỏi 6 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=√x, y=−x và x=4. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành là V=aπb, với a,b>0 và ab là phân số tối giản. Tính tổng T=a+b.
Đáp án: A Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.b∫af2(x)dx. Đưa tích phân cần tính về dạng V=aπb, và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng a + b. Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của y=√x,y=−x là √x=−x⇔x=0. Khi đó, thể tích cần tính là V=π4∫0|(√x)2−(−x)2|dx=π4∫0|x−x2|dx =π4∫1|x−x2|dx+π1∫0|x−x2|dx=π4∫1(x2−x)dx+π1∫0(x−x2)dx =π(x33−x22)|41+π(x22−x33)|10=41π3=aπb⇒{a=41b=3. Vậy T=44. Chọn A.
Câu hỏi 7 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=−x2+2x và y=0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Rút hàm số theo biến y, x=f(y);x=g(y). Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận y = a và y = b. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số x=f(y),x=g(y),y=a,y=b là V=b∫a|f2(y)−g2(y)|dy. Lời giải chi tiết: Ta có y=−x2+2x⇒(x−1)2=1−y⇒[ x=1−√1−y x=1+√1−y. Xét phương trình tung độ giao điểm 1−√1−y=1+√1−y⇔√1−y=0⇔y=1. Khi đó, thể tích cần tính là V=π1∫0|(1+√1−y)2−(1−√1−y)2|dy=|π1∫04√1−ydy| Đặt √1−y=t⇔1−y=t2⇔dy=−2tdt Đổi cận: {y=0⇔t=1y=1⇔t=0 Khi đó V=|−π0∫14t.2tdt|=|8π1∫0t2dt|=|8πt33|10|=8π3 Chọn B.
Câu hỏi 8 : Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C):y=lnx, trục Ox và đường thẳng x=e có dạng π(e−a). Khi đó a bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận. Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.b∫af2(x)dx. Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là lnx=0⇔x=1. Khi đó, thể tích cần tính là V=πe∫1ln2xdx=π(xln2x)|e1−πe∫1xd(ln2x). Đặt {u=ln2xdv=dx⇔{du=2lnxxdxv=x⇒V=π[xln2x|e1−2e∫1lnxdx]=π[e−2e∫1lnxdx] Đặt {u=lnxdv=dx⇔{du=dxxv=x⇔e∫1lnxdx=xlnx|e1−e∫1dx=xlnx|e1−x|e1=e−e+1=1 Vậy I=π(e−2)⇒a=2 Chọn A. Câu hỏi 9 : Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau: Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m/s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là:
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tia lửa điện của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a = - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right) +) Sử dụng công thức v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} +) Sử dụng giả thiết v(0) = 15 để tìm hằng số C. Lời giải chi tiết: Tia lửa điện của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a = - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right) Ta có biểu thức vận tốc theo thời gian t là v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + C Mà v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v = - 9,8t + 15 Chọn A. Câu hỏi 10 : Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau: Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều cao là bao nhiêu?
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Tia lửa điện có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a = - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right) +) Sử dụng công thức v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} +) Sử dụng giả thiết v(0) = 15 để tìm hằng số C. +) Sử dụng công thức S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt} Lời giải chi tiết: Tia lửa điện có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a = - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right) Ta có biểu thức vận tốc theo thời gian t là v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + C Mà v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v = - 9,8t + 15 Vậy sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều cao là S = \int\limits_0^{2,5} {\left( { - 9,8t + 15} \right)dt} = 6,875\,\,\left( m \right) Chọn D. Câu hỏi 11 : Một vật chuyển động với gia tốc a\left( t \right) = - 20{\left( {1 + 2t} \right)^{ - 2}}\,\,\left( {m/{s^2}} \right). Khi t = 0 thì vận tốc của vật là 30 m/s. Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} +) Sử dụng giả thiết v(0) = 30 để tìm hằng số C. +) Áp dụng công thức S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt} Lời giải chi tiết: Ta có v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\frac{{ - 20}}{{{{\left( {1 + 2t} \right)}^2}}}dt} = - \frac{{20}}{2}\frac{{ - 1}}{{1 + 2t}} + C = \frac{{10}}{{1 + 2t}} + C Theo đề bài ta có v\left( 0 \right) = 30 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{1 + 2.0}} + C = 30 \Leftrightarrow C = 20 \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{10}}{{1 + 2t}} + 20 Vậy quãng đường vật đi được sau 2 giây là : S = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{{10}}{{1 + 2t}} + 20} \right)dt} = \left. {\left( {5\ln \left( {1 + 2t} \right) + 20t} \right)} \right|_0^2 = 5\ln 5 + 40 = 48\,\,\left( m \right) Chọn C. Câu hỏi 12 : Một vật chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t^2(m/s2). Tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc (Tính chính xác đến hàng phần trăm).
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} +) Sử dụng giả thiết v(0) = 10 để tìm hằng số C. +) Áp dụng công thức S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt} Lời giải chi tiết: Vận tốc của vật khi bắt đầu tăng tốc là v\left( t \right) = \int {\left( {3t + {t^2}} \right)dt} = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + C Mà v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10 Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ thời điểm bắt đầu tăng tốc là S\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10} \right)dt} = 1433,33\,\,\left( m \right) Chọn C. Câu hỏi 13 : Một đám vi trùng tại thời điểm t có số lượng là N(t). Biết rằng N'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{1 + 0,5t}} và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tính N\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {N'\left( t \right)dt} +) Sử dụng giả thiết N(0) = 25000 đề tìm hằng số C. +) Tính N(10). Lời giải chi tiết: Số lượng vi trùng tại thời điểm t là N\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {N'\left( t \right)dt} = \int\limits_{}^{} {\frac{{4000}}{{1 + 0,5t}}dt} = 8000\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + C Mà N\left( 0 \right) = C = 250000 \Rightarrow N\left( t \right) = 8000\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + 250000 Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng là: N\left( {10} \right) = 8000\ln \left( {1 + 5} \right) + 250000 = 264334 Chọn A. Câu hỏi 14 : Trong Vật lí, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển . Ví dụ như đi xe đạp. Một lực F(x) biến thiên , thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này dịch chuyển từ x =a đến x = b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức {\rm{W}} = \int\limits_a^b {F(x)} dx. Với thông tin trên, hãy tính công W sinh ra khi một lực F(x) = \sqrt {3x - 2} tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = 1 đến x = 6.
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng đúng công thức trong đề bài. Lời giải chi tiết: Công W sinh ra khi một lực F(x) = \sqrt {3x - 2} tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = 1 đến x = 6 là {\rm{W}} = \int\limits_1^6 {\sqrt {3x - 2} } dx = 14 Chọn D. Câu hỏi 15 : Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}, trục hoành và đường thẳng x=1 là
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay và các phương pháp tính tích phân Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của \left( C \right) và Ox là \frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}. Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là V=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x} Xét tích phân I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \frac{3}{x+1}-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x} =\left. \left( 3\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1} \right) \right|_{-\frac{1}{3}}^{1}=3.\ln 2+1-3.\ln \frac{2}{3}-3=3.\ln 3-2. Vậy V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right). Chọn B Câu hỏi 16 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=-\,{{x}^{2}}+2x+1 và y=2{{x}^{2}}-4x+1 là
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp tính diện tích hình phẳng của hai đồ thị hàm số y=f\left( x \right) và y=g\left( x \right). Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của \left( {{P}_{1}} \right) và \left( {{P}_{2}} \right) là -\,{{x}^{2}}+2x+1=2{{x}^{2}}-4x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ x=2 \\ \end{align} \right.. Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -\,{{x}^{2}}+2x+1-2{{x}^{2}}+4x-1 \right|\,\text{d}x}=3\,\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-2x \right|\,\text{d}x} =3\,\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\,\text{d}x} \right|=3\,\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{2} \right|=3\left| \frac{{{2}^{3}}}{3}-{{2}^{2}} \right|=3.\frac{4}{3}=4. Vậy diện tích S=4. Chọn A Câu hỏi 17 : Tính thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x} quanh trục Ox.
Đáp án: C Phương pháp giải: Cho hai hàm số y\text{ }=\text{ }f\left( x \right)và y\text{ }=\text{ }g\left( x \right)liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số y\text{ }=\text{ }f\left( x \right), y\text{ }=\text{ }g\left( x \right)và hai đường thẳng x\text{ }=\text{ }a;\text{ }y\text{ }=\text{ }bkhi quay quanh trục Ox là: V=~\pi \int_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx} Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x} là: {{x}^{2}}=\sqrt{x},\,\,\left( x\ge 0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ x=1 \\ \end{align} \right. Thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x} quanh trục Ox là: V=~\pi \int_{0}^{1}{\left| {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}} \right|dx=}\pi \int_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-x \right|dx=}-\pi \int_{0}^{1}{({{x}^{4}}-x)dx=}=-\pi \left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\,\, \right|_{o}^{1}=\frac{3\pi }{10} Chọn: C Câu hỏi 18 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = {x^2} và đường thẳng y = 2x là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm f\left( x \right) = g\left( x \right), suy ra các nghiệm x = a;x = b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right) và y = g\left( x \right) là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} . Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = {4 \over 3} Chọn C. Câu hỏi 19 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2{x^2} - 4x - 6, trục hoành độ và hai đường thẳng x = - 2,x = - 4.
Đáp án: D Phương pháp giải: Phương pháp tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f\left( x \right);y = g\left( x \right);x = a;x = b: Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm f\left( x \right) = g\left( x \right), tìm các nghiệm thuộc {x_i} \in \left[ {a;b} \right]\,\,\left( {i = 1;2;3;...;n} \right) Bước 2: \eqalign{ & S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} + ... + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \cr & = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right| + ... + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right| \cr} Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm 2{x^2} - 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \notin \left[ { - 4; - 2} \right] \hfill \cr x = 3 \notin \left[ { - 4; - 2} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow S = \int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left| {2{x^2} - 4x - 6} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left( {2{x^2} - 4x - 6} \right)dx} } \right| = {{148} \over 3} Chọn D. Câu hỏi 20 : Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \dfrac{1}{2}{x^2} - x, trục hoành và các đường thẳng x = 1;\,\,x = 4. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, xác định các nghiệm thuộc \left[ {0;4} \right]. - Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b khi quanh quay trục hoành là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} . Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \dfrac{1}{2}{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;4} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;4} \right]\end{array} \right.. Hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \dfrac{1}{2}{x^2} - x, trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 4 có thể tích là: V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {{{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x} \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x} \right)}^2}dx} = \dfrac{{42\pi }}{5} Chọn A. Câu hỏi 21 : Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = {x^2} - 2x, x = 1, x = 4 và trục hoành.
Đáp án: B Phương pháp giải: - Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm các nghiệm thuộc \left[ {1;4} \right]. - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a,\,\,x = b là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} . Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;4} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;4} \right]\end{array} \right.. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = {x^2} - 2x, x = 1, x = 4 và trục hoành có diện tích bằng: S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = \left| { - \dfrac{2}{3}} \right| + \left| {\dfrac{{20}}{3}} \right| = \dfrac{{22}}{3}. Chọn B. Câu hỏi 22 : Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
Đáp án: A Phương pháp giải: - Xác định hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số dựa vào đồ thị đề bài cho. - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a,\,\,x = b là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} . - Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối và phá trị tuyệt đối. Lời giải chi tiết: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.. Do đó diện tích phần gạch chéo là: S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + 2 - {x^2} + 2x + 2} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|dx} . Xét trên \left[ { - 1;2} \right] ta thấy đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2 nằm phía trên đồ thị hàm số y = {x^2} - 2x - 2 nên - 2{x^2} + 2x + 4 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right], do đó \left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right| = - 2{x^2} + 2x + 4 \forall x \in \left[ { - 1;2} \right]. Vậy S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} . Chọn A. Câu hỏi 23 : Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt {2 + \sin x} , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = \pi . Khối tròn xoay D tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Đáp án: B Phương pháp giải: Thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} . Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \sqrt {2 + \sin x} = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 2 (vô nghiệm). Khi đó ta có khối tròn xoay D tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng: \begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^\pi {\left( {2 + \sin x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {2x - \cos x} \right)} \right|_0^\pi \\\,\,\,\, = \pi \left( {2\pi + 1 + 1} \right) = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)\end{array} Chọn B. Câu hỏi 24 : Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x{e^x},x = 0,x = 1 xung quanh trục Ox là:
Đáp án: A Phương pháp giải: - Xét phương trình hoành độ giao điểm. - Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b khi quanh quay trục hoành là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} . Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm: x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x{e^x}, y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox là: V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x{e^x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}dx} Chọn A. Câu hỏi 25 : Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = {x^2};x = {y^2} xung quanh trục Ox là:
Đáp án: B Phương pháp giải: - Xét phương trình hoành độ giao điểm. - Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b khi quanh quay trục hoành là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} . Lời giải chi tiết: Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} = \pm \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.. Thể tích khối tròn xoay là V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \dfrac{{3\pi }}{{10}}. Chọn B.
|