25 bài tập ứng dụng tích phân trong hình học mức độ thông hiểu

Làm bài

Câu hỏi 1 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và hàm số y=g(x)=x.f(x2) có đồ thị trên đoạn [0;2] như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tô màu là S=58, tính tích phân I=41f(x)dx.

  • A I=54.
  • B I=52.
  • C I=5.
  • D I=10.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ suy ra diện tích hình phẳng tô đậm theo g(x).

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân I.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng S=21|g(x)|dxg(x)0,x[1;2]S=21g(x)dx=58

Khi đó S=21x.f(x2)dx. Đặt t=x2dt=2xdxxdx=dt2 và đổi cận {x=1t=1x=2t=4.

Vậy S=584112.f(t)dt=5812.41f(t)dt=5841f(x)dx=54I=54.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=1+lnxx;x=1;x=e và trục hoành là S được biểu diễn dưới dạng S=a+42b, với a,bQ Tính tổng T=a+2b.

  • A T=1.
  • B T=0.
  • C T=4.
  • D T=2.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Đồng nhất hệ số, tìm a, b và tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Do 1+lnxx0;x[1;e]|1+lnxx|=1+lnxx, suy ra diện tích cần xác định là

S=e1|1+lnxx|dx=e11+lnxxdx.

Đặt t=1+lnxt2=1+lnx2tdt=dxx.

Khi {x=et=2x=1t=1. Vậy S=21t.2tdt=212t2dt=23t3|21=4223=a+42b{a=2b=3.

Vậy tổng T=a+2b=2+2.3=4.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x(x+1)(x2);x=2;x=2 và trục hoành là S=ab, với a,b>0ab là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P=a5b.

  • A P=5.
  • B P=0
  • C P=1
  • D P=7

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, tím các nghiệm thuộc [-2; 2].

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Chia nhỏ tích phân cần tính thành các đoạn mà trên các đoạn đó dấu của f(x) là xác định.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với Oxx(x+1)(x2)=0[x=1x=0x=2.

Vậy diện tích cần tính là

S=22|x(x+1)(x2)|dx=12|x(x+1)(x2)|dx+01|x(x+1)(x2)|dx+20|x(x+1)(x2)|dx=|12(x3x22x)dx|+|01(x3x22x)dx|+|20(x3x22x)dx|=|(x44x33x2)|12|+|(x44x33x2)|01|+|(x44x33x2)|20|=|51283|+|0+512|+|83|=376=ab{a=37b=6P=7.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnxx, trục hoành, đường thẳng x=1 và đường thẳng x=e bằng ae+b. Khi đó a2 gần với giá trị nào nhất ?

  • A 2.        
  • B 3        
  • C 22        
  • D 23    

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Lời giải chi tiết:

Ta có S=e1|lnxx|dx=e1lnxxdx. (Vì với x[1;e]ln1<lnx<lnelnx>0)

Đặt

{u=lnxdv=dxx{du=dxxv=2xe1lnxxdx=lnx.2x|e12e1dxx=(lnx.2x4x)|e1=2e+4=2ee+4e1lnxxdx=ae+b{a=2eb=4a2=4e1,47152.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và parabol (P):y=x2ax(a>0) bằng V=2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?

  • A a(12;1).                     
  • B  a(1;32).                          
  • C a(32;2).                    
  • D  a(2;52).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox, tìm ra các cận x = a và x = b.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)Oxx2ax=0[x=0x=a.

Khi đó, thể tích cần xác định cho bởi V=πa0(x2ax)2dx=πa0(x42ax3+a2x2)dx

=π(x55ax42+a2x33)|a0=πa530. Mặt khác V=2πa530=2a=560π(32;2).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x, y=xx=4. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành là V=aπb, với a,b>0ab là phân số tối giản. Tính tổng T=a+b.

  • A T=44.                                                                 
  • B T=36.                                                                      
  • C T=50.                                                                   
  • D T=24.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Đưa tích phân cần tính về dạng V=aπb, và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng a + b.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của y=x,y=xx=xx=0.

Khi đó, thể tích cần tính là V=π40|(x)2(x)2|dx=π40|xx2|dx

=π41|xx2|dx+π10|xx2|dx=π41(x2x)dx+π10(xx2)dx

=π(x33x22)|41+π(x22x33)|10=41π3=aπb{a=41b=3.

Vậy T=44.

Chọn A.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x2+2xy=0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là:

  • A  V=73π.           
  • B  V=83π.            
  • C V=103π.                      
  • D   V=163π.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Rút hàm số theo biến y, x=f(y);x=g(y).

Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận y = a và y = b.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số x=f(y),x=g(y),y=a,y=bV=ba|f2(y)g2(y)|dy.

Lời giải chi tiết:

Ta có y=x2+2x(x1)2=1y[ x=11y x=1+1y.

Xét phương trình tung độ giao điểm 11y=1+1y1y=0y=1.

Khi đó, thể tích cần tính là V=π10|(1+1y)2(11y)2|dy=|π1041ydy|

Đặt 1y=t1y=t2dy=2tdt

Đổi cận: {y=0t=1y=1t=0

Khi đó V=|π014t.2tdt|=|8π10t2dt|=|8πt33|10|=8π3

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

 Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C):y=lnx, trục Ox và đường thẳng x=e có dạng π(ea). Khi đó a bằng:

  • A 2
  • B 1
  • C 0
  • D -1

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)Oxlnx=0x=1.

Khi đó, thể tích cần tính là V=πe1ln2xdx=π(xln2x)|e1πe1xd(ln2x).

Đặt 

{u=ln2xdv=dx{du=2lnxxdxv=xV=π[xln2x|e12e1lnxdx]=π[e2e1lnxdx]

Đặt 

{u=lnxdv=dx{du=dxxv=xe1lnxdx=xlnx|e1e1dx=xlnx|e1x|e1=ee+1=1

Vậy I=π(e2)a=2

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau: Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m/s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là:

  • A v=9,8t+15            
  • B v=9,8t+13                   
  • C v=9,8t+15                  
  • D  v = -9,8t – 13

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tia lửa điện của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a =  - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)

+) Sử dụng công thức v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}

+) Sử dụng giả thiết v(0) = 15 để tìm hằng số C.

Lời giải chi tiết:

Tia lửa điện của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a =  - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)

Ta có biểu thức vận tốc theo thời gian t là v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int { - 9,8dt}  =  - 9,8t + C

v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v =  - 9,8t + 15

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau: Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều cao là bao nhiêu?

  • A 6,235m                                 
  • B    5,635m                              
  • C 4,235m                             
  • D   6,875m

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Tia lửa điện có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a =  - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)

+) Sử dụng công thức v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}

+) Sử dụng giả thiết v(0) = 15 để tìm hằng số C.

+) Sử dụng công thức S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt}

Lời giải chi tiết:

Tia lửa điện có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a =  - 9,8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)

Ta có biểu thức vận tốc theo thời gian t là v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int { - 9,8dt}  =  - 9,8t + C

v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v =  - 9,8t + 15

Vậy sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều cao là S = \int\limits_0^{2,5} {\left( { - 9,8t + 15} \right)dt}  = 6,875\,\,\left( m \right)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Một vật chuyển động với gia tốc a\left( t \right) =  - 20{\left( {1 + 2t} \right)^{ - 2}}\,\,\left( {m/{s^2}} \right). Khi t = 0 thì vận tốc của vật là 30 m/s. Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

  • A S = 46m                                 
  • B  \( S = 47m\)                              
  • C  \(S = 48m\)                         
  • D S = 49m

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức  v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}

+) Sử dụng giả thiết v(0) = 30 để tìm hằng số C.

+) Áp dụng công thức S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt}

Lời giải chi tiết:

Ta có v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\frac{{ - 20}}{{{{\left( {1 + 2t} \right)}^2}}}dt}  =  - \frac{{20}}{2}\frac{{ - 1}}{{1 + 2t}} + C = \frac{{10}}{{1 + 2t}} + C

Theo đề bài ta có v\left( 0 \right) = 30 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{1 + 2.0}} + C = 30 \Leftrightarrow C = 20 \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{10}}{{1 + 2t}} + 20

Vậy quãng đường vật đi được sau 2 giây là :

S = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{{10}}{{1 + 2t}} + 20} \right)dt}  = \left. {\left( {5\ln \left( {1 + 2t} \right) + 20t} \right)} \right|_0^2 = 5\ln 5 + 40 = 48\,\,\left( m \right)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Một vật chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t^2(m/s2). Tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc (Tính chính xác đến hàng phần trăm).

  • A 483,33 (m)                           
  • B 1333,33 (m)                       
  • C  1433,33 (m)                      
  • D 196,11 (m)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức  v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}

+) Sử dụng giả thiết v(0) = 10 để tìm hằng số C.

+) Áp dụng công thức S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt}

Lời giải chi tiết:

Vận tốc của vật khi bắt đầu tăng tốc là v\left( t \right) = \int {\left( {3t + {t^2}} \right)dt}  = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + C

v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10

Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ thời điểm bắt đầu tăng tốc là S\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10} \right)dt}  = 1433,33\,\,\left( m \right)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Một đám vi trùng tại thời điểm t có số lượng là N(t). Biết rằng N'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{1 + 0,5t}}  và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?

  • A 264334                            
  • B 257167                     
  • C 253583             
  • D 255545

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tính N\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {N'\left( t \right)dt}

+) Sử dụng giả thiết N(0) = 25000 đề tìm hằng số C.

+) Tính N(10).

Lời giải chi tiết:

Số lượng vi trùng tại thời điểm t là N\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {N'\left( t \right)dt}  = \int\limits_{}^{} {\frac{{4000}}{{1 + 0,5t}}dt}  = 8000\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + C

N\left( 0 \right) = C = 250000 \Rightarrow N\left( t \right) = 8000\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + 250000

Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng là: N\left( {10} \right) = 8000\ln \left( {1 + 5} \right) + 250000 = 264334

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong Vật lí, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển . Ví dụ như đi xe đạp. Một lực F(x) biến thiên , thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này dịch chuyển từ x =a đến x = b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức {\rm{W}} = \int\limits_a^b {F(x)} dx. Với thông tin trên, hãy tính công W sinh ra khi một lực F(x) = \sqrt {3x - 2}   tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = 1 đến x = 6.

  • A W= 20                         
  • B \(W= 12\)                               
  • C  \(W= 18\)                           
  • D    W = 14

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng đúng công thức trong đề bài.

Lời giải chi tiết:

Công W sinh ra khi một lực F(x) = \sqrt {3x - 2}  tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = 1 đến x = 6 là {\rm{W}} = \int\limits_1^6 {\sqrt {3x - 2} } dx = 14

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}, trục hoành và đường thẳng x=1

  • A

     \pi .3\ln 3.                          

  • B

     \pi .\left( 3\ln 3-2 \right).   

  • C

     3\ln 3-1.                            

  • D  \pi .\left( 3\ln 3-1 \right).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay và các phương pháp tính tích phân

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \left( C \right)Ox\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}.

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là V=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}

Xét tích phân I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \frac{3}{x+1}-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}

=\left. \left( 3\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1} \right) \right|_{-\frac{1}{3}}^{1}=3.\ln 2+1-3.\ln \frac{2}{3}-3=3.\ln 3-2.

Vậy V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=-\,{{x}^{2}}+2x+1y=2{{x}^{2}}-4x+1

  • A 4
  • B 5
  • C 8
  • D 10

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tính diện tích hình phẳng của hai đồ thị hàm số y=f\left( x \right)y=g\left( x \right).


Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \left( {{P}_{1}} \right)\left( {{P}_{2}} \right)-\,{{x}^{2}}+2x+1=2{{x}^{2}}-4x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\  x=2 \\ \end{align} \right..

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -\,{{x}^{2}}+2x+1-2{{x}^{2}}+4x-1 \right|\,\text{d}x}=3\,\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-2x \right|\,\text{d}x}

                                                            =3\,\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\,\text{d}x} \right|=3\,\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{2} \right|=3\left| \frac{{{2}^{3}}}{3}-{{2}^{2}} \right|=3.\frac{4}{3}=4.

Vậy diện tích S=4.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tính thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x} quanh trục Ox.

  • A  V=\frac{7\pi }{10}.                                 
  • B V=\frac{9\pi }{10}.                                  
  • C  V=\frac{3\pi }{10}.                                 
  • D  V=\frac{\pi }{10}

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số y\text{ }=\text{ }f\left( x \right)y\text{ }=\text{ }g\left( x \right)liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số y\text{ }=\text{ }f\left( x \right), y\text{ }=\text{ }g\left( x \right)và hai đường thẳng x\text{ }=\text{ }a;\text{ }y\text{ }=\text{ }bkhi quay quanh trục Ox là:

                                   V=~\pi \int_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx} 

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x} là:  {{x}^{2}}=\sqrt{x},\,\,\left( x\ge 0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0 \\  x=1 \\ \end{align} \right.

Thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x} quanh trục Ox là:

V=~\pi \int_{0}^{1}{\left| {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}} \right|dx=}\pi \int_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-x \right|dx=}-\pi \int_{0}^{1}{({{x}^{4}}-x)dx=}=-\pi \left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\,\, \right|_{o}^{1}=\frac{3\pi }{10}

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = {x^2} và đường thẳng y = 2x là:

  • A S = {{20} \over 3}
  • B S = {{496} \over {15}}
  • C S = {4 \over 3}
  • D S = {5 \over 3}

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm f\left( x \right) = g\left( x \right), suy ra các nghiệm x = a;x = b

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right)y = g\left( x \right) là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   x = 2 \hfill \cr}  \right.

\Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = {4 \over 3}

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2{x^2} - 4x - 6, trục hoành độ và hai đường thẳng x =  - 2,x =  - 4.

  • A S = 8
  • B S = {{220} \over 3}
  • C S = {{76} \over 3}
  • D S = {{148} \over 3}

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f\left( x \right);y = g\left( x \right);x = a;x = b:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm f\left( x \right) = g\left( x \right), tìm các nghiệm thuộc {x_i} \in \left[ {a;b} \right]\,\,\left( {i = 1;2;3;...;n} \right)

Bước 2:

\eqalign{  & S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  + ... + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}   \cr   &  = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right| + ... + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right| \cr}

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2{x^2} - 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x =  - 1 \notin \left[ { - 4; - 2} \right] \hfill \cr   x = 3 \notin \left[ { - 4; - 2} \right] \hfill \cr}  \right.

\Rightarrow S = \int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left| {2{x^2} - 4x - 6} \right|dx}  = \left| {\int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left( {2{x^2} - 4x - 6} \right)dx} } \right| = {{148} \over 3}

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \dfrac{1}{2}{x^2} - x, trục hoành và các đường thẳng x = 1;\,\,x = 4. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng:

  • A \dfrac{{42\pi }}{5}.
  • B 3\pi .
  • C \dfrac{{128\pi }}{{25}}.
  • D \dfrac{{4\pi }}{{15}}.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, xác định các nghiệm thuộc \left[ {0;4} \right].

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b khi quanh quay trục hoành là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \dfrac{1}{2}{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;4} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;4} \right]\end{array} \right..

Hình phẳng  D giới hạn bởi đường cong y = \dfrac{1}{2}{x^2} - x, trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 4 có thể tích là:

V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {{{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x} \right)}^2}} \right|dx}  = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x} \right)}^2}dx}  = \dfrac{{42\pi }}{5}

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = {x^2} - 2x, x = 1, x = 4 và trục hoành.

  • A S = 6.
  • B S = \dfrac{{22}}{3}.
  • C S = \dfrac{{16}}{3}.
  • D S = \dfrac{{20}}{3}.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm các nghiệm thuộc \left[ {1;4} \right].

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a,\,\,x = b là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;4} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;4} \right]\end{array} \right..

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = {x^2} - 2x, x = 1, x = 4 và trục hoành có diện tích bằng:

S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = \left| { - \dfrac{2}{3}} \right| + \left| {\dfrac{{20}}{3}} \right| = \dfrac{{22}}{3}.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng 

  • A \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx}
  • B \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)dx}
  • C \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)dx}
  • D \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx}

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Xác định hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số dựa vào đồ thị đề bài cho.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a,\,\,x = b là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .

- Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối và phá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right..

Do đó diện tích phần gạch chéo là: S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + 2 - {x^2} + 2x + 2} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|dx} .

Xét trên \left[ { - 1;2} \right] ta thấy đồ thị hàm số y =  - {x^2} + 2 nằm phía trên đồ thị hàm số y = {x^2} - 2x - 2 nên - 2{x^2} + 2x + 4 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right], do đó \left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right| =  - 2{x^2} + 2x + 4 \forall x \in \left[ { - 1;2} \right].

Vậy  S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt {2 + \sin x} , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = \pi . Khối tròn xoay D tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

  • A V = 2\left( {\pi  + 1} \right)
  • B V = 2\pi \left( {\pi  + 1} \right)
  • C V = 2{\pi ^2}
  • D V = 2\pi

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \sqrt {2 + \sin x}  = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - 2 (vô nghiệm).

Khi đó ta có khối tròn xoay D tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng:

\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left( {2 + \sin x} \right)dx}  = \left. {\pi \left( {2x - \cos x} \right)} \right|_0^\pi \\\,\,\,\, = \pi \left( {2\pi  + 1 + 1} \right) = 2\pi \left( {\pi  + 1} \right)\end{array}

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x{e^x},x = 0,x = 1 xung quanh trục Ox là:

  • A V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}dx.}
  • B V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx.}
  • C V = \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}dx.}
  • D V = \pi \int\limits_0^1 {x{e^x}dx.}

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b khi quanh quay trục hoành là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0.

Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x{e^x}, y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox là:

V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x{e^x}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}dx}

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = {x^2};x = {y^2} xung quanh trục Ox là:

  • A V = \dfrac{3}{{10}}
  • B V = \dfrac{{3\pi }}{{10}}
  • C V = \dfrac{{10\pi }}{3}
  • D V = \dfrac{{10}}{3}

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), y = g\left( x \right), đường thẳng x = a, x = b khi quanh quay trục hoành là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} =  \pm \sqrt x  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..

Thể tích khối tròn xoay là V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx}  = \dfrac{{3\pi }}{{10}}.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

close