Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\cos 14x + \cos 8x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 26x + \cos 8x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 14x + \cos 8x = \cos 26x + \cos 8x\\ \Leftrightarrow \cos 14x = \cos 26x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}26x = 14x + k2\pi \\26x =  - 14x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = k2\pi \\40x = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{6}\\x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}$.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $$\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$ .

- Cho nghiệm tìm được thuộc khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)$, tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\tan x = \tan \dfrac{{3\pi }}{{11}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{{11}} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{3\pi }}{{11}} + k\pi  < 2\pi \\ \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{{44}} < k\pi  < \dfrac{{19\pi }}{{11}}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{44}} < k < \dfrac{{19}}{{11}}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $$\tan x = \tan {\alpha ^0} \Leftrightarrow x = {\alpha ^0} + k{180^0}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$ .

- Cho nghiệm tìm được thỏa mãn $- {90^0} < x < {90^0}$, tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1 = \tan {45^0}\\ \Leftrightarrow 2x - {15^0} = {45^0} + k{180^0}\\ \Leftrightarrow 2x = {60^0} + k{180^0}\\ \Leftrightarrow x = {30^0} + k{90^0}\end{array}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l} - {90^0} < x < {90^0}\\ \Leftrightarrow  - {90^0} < {30^0} + k{90^0} < {90^0}\\ \Leftrightarrow  - {120^0} < k{90^0} < {60^0}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{3} < k < \dfrac{2}{3}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0; - 1} \right\}$.

Với $k = 0$ ta có nghiệm $x = {30^0}$.

Với $k =  - 1$ ta có nghiệm $x = {30^0} - {90^0} =  - {60^0}$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn là $x =  - {60^0},\,\,x = {30^0}$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

- Cho nghiệm tìm được thuộc $\left[ { - 50\pi ;0} \right]$, tìm số các giá trị nguyên k thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\cot 20x = 1 \Leftrightarrow 20x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{80}} + \dfrac{{k\pi }}{{20}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}x \in \left[ { - 50\pi ;0} \right]\\ \Leftrightarrow  - 50\pi  \le \dfrac{\pi }{{80}} + \dfrac{{k\pi }}{{20}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - 50 \le \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{k}{{20}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{4001}}{4} \le k \le  - \dfrac{1}{4}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1000; - 999;....; - 2; - 1} \right\}$ , suy ra có 1000 giá trị nguyên của k thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1000 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng cơ bản : $\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\f\left( x \right) =  - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Ta có : $\sin x = \cos 2x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$ nên $x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}} \right\}$

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

- Tìm $k \in \mathbb{Z}$ để $- \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$

Lời giải chi tiết:

$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét họ nghiệm $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Cho $- \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ ta có:

$- \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{6} + 2k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{1}{6}$. Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0$.

$\Rightarrow$ Họ nghiệm này có nghiệm $x = \dfrac{\pi }{6}$ thỏa mãn.

Xét họ nghiệm $x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Cho $- \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ ta có:

$- \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi  < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{6} + 2k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k <  - \dfrac{1}{6}$ Không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \dfrac{\pi }{6}$ thỏa mãn.

Chọn B

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

- Đối chiếu nghiệm và loại nghiệm.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\sin x - \dfrac{1}{2} \ne 0 \Rightarrow \sin x \ne \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x \ne \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\dfrac{{\cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin x - \dfrac{1}{2}}} = 0 \Leftrightarrow \cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x =-  \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay $x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}$ sau đó giải phương trình tìm $m$.

Lời giải chi tiết:

Thay $x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}$ vào phương trình ta có:

$\begin{array}{l}\sin \left( {2.\dfrac{{11\pi }}{{60}} - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{6} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow 6{m^2} + m = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Chọn D

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

- Tìm $k \in \mathbb{Z}$ để $0 < x < \pi$.

Lời giải chi tiết:

$\sin x =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét họ nghiệm $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Cho $0 < x < \pi$ ta có:

$0 <  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 <  - \dfrac{1}{6} + 2k < 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow$ Không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

Xét họ nghiệm $x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Cho $0 < x < \pi$ ta có:

$0 < \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < \dfrac{7}{6} + 2k < 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{7}{{12}} < k <  - \dfrac{1}{{12}} \Rightarrow$ Không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn $0 < x < \pi$.

Chọn D

Phương pháp giải:

$\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Lời giải chi tiết:

$\sin \left( {\pi \cos x} \right) = 1 \Leftrightarrow \pi \cos x = \frac{\pi }{2} + 2l\pi ,\,\,\,l \in Z \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} + 2l,\,\,\,l \in Z$ (1)

PT (1) có nghiệm khi $- 1 \le \frac{1}{2} + 2l \le 1 \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le l \le \frac{1}{4}\,\,\, \Rightarrow l = 0$

$\Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z$

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {x = \left. {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right|k \in Z} \right\}$.

Chọn: B

Phương pháp giải:

- Giải phương trình

- Tìm các nghiệm thõa mãn điều kiện

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:  $\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {3x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{2} \ne m\pi \\x \ne n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{m\pi }}{3}\\x \ne n\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,(m,\;n \in \mathbb{Z}).$

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cot \left( {3x - \frac{\pi }{2}} \right) = \cot x\\ \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{2} = x + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\,\;\;\left( {tm} \right)\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}$

Phương trình có nghiệm thuộc $\left[ {0;\;20} \right]$  

$\Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le 20 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le k \le \frac{{20 - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{\pi }{2}}} \approx 12.23 \Rightarrow k \in \{ 0;\;1;\;2;...;\;11;\;12\}$.

Tổng các nghiệm là:$\sum\limits_{k = 0}^{12} {\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right)}  = 13 \cdot \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}(0 + 1 + 2 + ... + 12) = \frac{{169\pi }}{4}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)$để đưa phương trình ban đầu về phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $\,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,(k \in \mathbb{Z}).$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\tan ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\tan \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) - \sqrt 3 } \right].\left[ {\tan \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) + \sqrt 3 } \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) + \sqrt 3  = 0\\\tan \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) - \sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \frac{{ - \pi }}{3}\\\tan \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{2} = \frac{{ - \pi }}{3} + m\pi \\2x - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{m\pi }}{2}\\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{n\pi }}{2}\end{array} \right.\;\;\;\;(m,\;n \in \mathbb{Z})\end{array}$

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta có: $x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}$cho 4 điểm, $x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}$cho 4 điểm.

Vậy biểu diễn nghiệm của phương trình trên gồm 8 điểm.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình tìm ra công thức nghiệm

- Từ điều kiện của nghiệm xác định tham số k nguyên trong công thức nghiệm

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\sin (6x + 1) \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 1 \ne m\pi \\x \ne n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - \frac{1}{6} + \frac{{m\pi }}{6}\\x \ne n\pi \end{array} \right.(m,\;n \in \mathbb{Z}).$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cot (6x + 1) - \cot x = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {6x + 1} \right) = \cot x\\ \Leftrightarrow 6x + 1 = x + k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{5} + \frac{{k\pi }}{5}\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}$

Phương trình có nghiệm thuộc  $\left[ {0;\;100} \right] \Leftrightarrow 0 \le  - \frac{1}{5} + \frac{{k\pi }}{5} \le 100$

$\Leftrightarrow \frac{1}{5} \le \frac{{k\pi }}{5} \le \frac{{501}}{5} \Leftrightarrow 0,31 \le k \le 159,47 \Leftrightarrow k \in \{ 1;\;\;2;...;\;\;159{\rm{\} }}$

Vậy phương trình có 159 nghiệm thõa mãn.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình.

- Tìm nghiệm thõa mãn điều kiện

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 6x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{6}\;\,(k \in \mathbb{Z}).$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\cot \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \cot \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) = \cot \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow 6x - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k\pi }}{6}\,\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}$

Nghiệm trên thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm thuộc $\left[ {18;\;20} \right] \Leftrightarrow 18 \le \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k\pi }}{6} \le 20$

$\Leftrightarrow 18 - \frac{{5\pi }}{{36}} \le \frac{{k\pi }}{6} \le 20 - \frac{{5\pi }}{{36}} \Leftrightarrow 33,54 \le k \le 37,36$

Vậy phương trình có nghiệm lớn nhất trong $\left[ {18;\;20} \right] \Leftrightarrow k = 37 \Rightarrow {x_{\max }} = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{37\pi }}{6} = \frac{{227\pi }}{{36}}.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xác định tập giá trị của hàm số $y = \tan \dfrac{x}{2}$ sau đó tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

ĐK: $\dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \dfrac{x}{2} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Do hàm số $y = \tan X$ đồng biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên ta có:

$\dfrac{\pi }{4} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow \tan \dfrac{\pi }{4} < \tan \dfrac{x}{2} < \tan \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 1 < \tan \dfrac{x}{2} <  + \infty$.

Suy ra phương trình $\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{m}{{1 - 2m}}\,\,\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi

$\dfrac{m}{{1 - 2m}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{m}{{1 - 2m}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1 + 2m}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3m - 1}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < m < \dfrac{1}{2}$

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sin x$.

Lời giải chi tiết:

Với $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow 3x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$.

Hàm số $y = \cos X$ nghịch biến trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên ta có:

$0 < 3x \le {\pi  \over 2} \Leftrightarrow \cos {\pi  \over 2} \le \cos 3x \le \cos 0 \Leftrightarrow 0 \le \cos 3x < 1$

Do đó phương trình $\cos 3x = 2{m^2} - 3m + 1$ có nghiệm khi và chỉ khi:

$0 \le 2{m^2} - 3m + 1 < 1 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{m^2} - 3m + 1 \ge 0 \hfill \cr 2{m^2} - 3m + 1 < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ m \ge 1 \hfill \cr m \le {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr 0 < m < {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {0;{1 \over 2}} \right] \cup \left[ {1;{3 \over 2}} \right)$

Chọn C

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Chia cả hai vế cho $\tan x$, sử dụng công thức $\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}$.

- Sử dụng công thức: $\cot x = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right),\,\,\tan \left( { - x} \right) =  - \tan x$.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\begin{array}{l}\tan 4x.\tan x =  - 1\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \dfrac{1}{{\tan x}}\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \cot x\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4x = x - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow 3x =  - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x =  - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

- Tìm $k \in \mathbb{Z}$ để $0 < x < \pi$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$.

Xét họ nghiệm $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Cho $0 < x < \pi$ ta có:

$0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{2} + k < 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2}$. Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0$.

$\Rightarrow$ Họ nghiệm này có nghiệm $x = \dfrac{\pi }{2}$ thỏa mãn.

Xét họ nghiệm $x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Cho $0 < x < \pi$ ta có:

$0 < k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < 2k < 1 \Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{1}{2} \Rightarrow$ Không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm $x = \dfrac{\pi }{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác sau đó tìm số giá trị $k \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn khoảng nghiệm của bài toán rồi chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

$\sin \left( {\cos 2x} \right) = 0\,\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \cos 2x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$

Do $- 1 \le \cos 2x \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le k\pi  \le 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{\pi } \le k \le \dfrac{1}{\pi }\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + m\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{m\pi }}{2}\,\,\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\\Do\,\,x \in \left[ {0;\,2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{m\pi }}{2} \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{7}{2} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3} \right\}.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + m\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{{36}} + \frac{{m\pi }}{6}\\x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right.\,(m,\;n \in \mathbb{Z}).$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\tan \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) - \tan x = 0 \Leftrightarrow 6x + \frac{\pi }{3} = x + k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}$

Phương trình có các nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác tức là các nghiệm thuộc $\left[ {0;\;2\pi } \right].$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \le  - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} \le 2\pi  \Leftrightarrow \frac{\pi }{{15}} \le \frac{{k\pi }}{5} \le \frac{{31\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{{31}}{3} \Leftrightarrow 0,33 \le k \le 10,33\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;\;2;\;3;.....;\;10} \right\}.\end{array}$

Vậy nghiệm $x =  - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$ có 10 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với $k \in \{ 1;\;2;\;3...;10\} .$

Chọn A.