20 bài tập trắc nghiệm phương trình lượng giác cơ bản mức độ vận dụng, vận dụng caoLàm bàiCâu hỏi 1 : Giải phương trình cos11xcos3x=cos17xcos9x.
Đáp án: B Phương pháp giải: - Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb=12[cos(a+b)+cos(a−b)]. - Giải phương trình lượng giác cơ bản: cosx=cosα⇔x=±α+k2π(k∈Z). Lời giải chi tiết: cos11xcos3x=cos17xcos9x⇔12(cos14x+cos8x)=12(cos26x+cos8x)⇔cos14x+cos8x=cos26x+cos8x⇔cos14x=cos26x⇔[26x=14x+k2π26x=−14x+k2π⇔[12x=k2π40x=k2π⇔[x=kπ6x=kπ20(k∈Z) Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ6,x=kπ20. Câu hỏi 2 : Số nghiệm của phương trình tanx=tan3π11 trên khoảng (π4;2π) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: - Giải phương trình lượng giác cơ bản: tanx=tanα⇔x=α+kπ(k∈Z). - Cho nghiệm tìm được thuộc khoảng (π4;2π), tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải chi tiết: Ta có: tanx=tan3π11⇔x=3π11+kπ(k∈Z). Theo bài ra ta có: x∈(π4;2π)⇒π4<3π11+kπ<2π⇔−π44<kπ<19π11⇔−144<k<1911 Mà k∈Z ⇒k∈{0;1}. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu hỏi 3 : Nghiệm của phương trình tan(2x−150)=1, với −900<x<900 là:
Đáp án: D Phương pháp giải: - Giải phương trình lượng giác cơ bản: tanx=tanα0⇔x=α0+k1800(k∈Z). - Cho nghiệm tìm được thỏa mãn −900<x<900, tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải chi tiết: Ta có: tan(2x−150)=1=tan450⇔2x−150=450+k1800⇔2x=600+k1800⇔x=300+k900 Theo bài ra ta có: −900<x<900⇔−900<300+k900<900⇔−1200<k900<600⇔−43<k<23 Mà k∈Z⇒k∈{0;−1}. Với k=0 ta có nghiệm x=300. Với k=−1 ta có nghiệm x=300−900=−600. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn là x=−600,x=300. Chọn D. Câu hỏi 4 : Phương trình cot20x=1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [−50π;0]?
Đáp án: D Phương pháp giải: - Giải phương trình lượng giác cơ bản: cotx=cotα⇔x=α+kπ(k∈Z). - Cho nghiệm tìm được thuộc [−50π;0], tìm số các giá trị nguyên k thỏa mãn. Lời giải chi tiết: Ta có: cot20x=1⇔20x=π4+kπ ⇔x=π80+kπ20(k∈Z). Theo bài ra ta có: x∈[−50π;0]⇔−50π≤π80+kπ20≤0⇔−50≤180+k20≤0⇔−40014≤k≤−14 Mà k∈Z⇒k∈{−1000;−999;....;−2;−1} , suy ra có 1000 giá trị nguyên của k thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có 1000 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu hỏi 5 : Tìm số nghiệm trong khoảng (−π;π) của phương trình sinx=cos2x.
Đáp án: A Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng cơ bản : cosf(x)=cosg(x)⇔[f(x)=g(x)+k2πf(x)=−g(x)+k2π Lời giải chi tiết: Ta có : sinx=cos2x ⇔cos(π2−x)=cos2x⇔[2x=π2−x+k2π2x=x−π2+k2π⇔[x=π6+k2π3x=−π2+k2π Vì x∈(−π;π) nên x∈{π6;5π6;−π2} Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài. Chọn A. Câu hỏi 6 : Phương trình sinx=12 có nghiệm thỏa −π2≤x≤π2 là:
Đáp án: B Phương pháp giải: - Giải phương trình lượng giác cơ bản: sinx=sinα⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z). - Tìm k∈Z để −π2≤x≤π2 Lời giải chi tiết: sinx=12⇔[x=π6+k2πx=π−π6+k2π⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2π(k∈Z). Xét họ nghiệm x=π6+k2π(k∈Z). Cho −π2≤x≤π2 ta có: −π2<π6+k2π<π2⇔−12<16+2k<12⇔−13<k<16. Mà k∈Z⇒k=0. ⇒ Họ nghiệm này có nghiệm x=π6 thỏa mãn. Xét họ nghiệm x=5π6+k2π(k∈Z). Cho −π2≤x≤π2 ta có: −π2<5π6+k2π<π2⇔−12<56+2k<12⇔−12<k<−16 Không có số nguyên k nào thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π6 thỏa mãn. Chọn B Câu hỏi 7 : Phương trình lượng giác cosx−√32sinx−12=0 có nghiệm là:
Đáp án: C Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Giải phương trình lượng giác cơ bản: cosx=cosα⇔x=±α+k2π(k∈Z). - Đối chiếu nghiệm và loại nghiệm. Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: sinx−12≠0⇒sinx≠12⇔[x≠π6+k2πx≠5π6+k2π(k∈Z). cosx−√32sinx−12=0⇔cosx−√32=0⇔cosx=√32⇔[x=π6+k2πx=−π6+k2π(k∈Z). Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm x=−π6+k2π(k∈Z) thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là x=−π6+k2π(k∈Z). Chọn C. Câu hỏi 8 : Cho phương trình sin(2x−π5)=3m2+m2. Biết x=11π60 là một nghiệm của phương trình. Tính m.
Đáp án: D Phương pháp giải: Thay x=11π60 sau đó giải phương trình tìm m. Lời giải chi tiết: Thay x=11π60 vào phương trình ta có: sin(2.11π60−π5)=3m2+m2⇔sinπ6=3m2+m2⇔12=3m2+m2⇔6m2+m=1⇔[m=13m=−12 Chọn D Câu hỏi 9 : Phương trình sinx=−12 có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn 0<x<π.
Đáp án: D Phương pháp giải: - Giải phương trình lượng giác cơ bản: sinx=sinα⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z). - Tìm k∈Z để 0<x<π. Lời giải chi tiết: sinx=−12⇔[x=−π6+k2πx=π+π6+k2π⇔[x=−π6+k2πx=7π6+k2π(k∈Z). Xét họ nghiệm x=−π6+k2π(k∈Z). Cho 0<x<π ta có: 0<−π6+k2π<π⇔0<−16+2k<1⇔112<k<712⇒ Không có số nguyên k nào thỏa mãn. Xét họ nghiệm x=7π6+k2π(k∈Z). Cho 0<x<π ta có: 0<7π6+k2π<π⇔0<76+2k<1⇔−712<k<−112⇒ Không có số nguyên k nào thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn 0<x<π. Chọn D Câu hỏi 10 : Tập nghiệm của phương trình sin(πcosx)=1 là:
Đáp án: B Phương pháp giải: sinx=sinα⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z) Lời giải chi tiết:
sin(πcosx)=1⇔πcosx=π2+2lπ,l∈Z⇔cosx=12+2l,l∈Z (1) PT (1) có nghiệm khi −1≤12+2l≤1⇔−34≤l≤14⇒l=0 ⇒cosx=12⇔x=±π3+k2π,k∈Z Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm S={x=π3+k2π;x=−π3+k2π|k∈Z}. Chọn: B Câu hỏi 11 : Tính tổng các nghiệm của phương trình cot(3x−π2)=cotx trên [0;20]?
Đáp án: A Phương pháp giải: - Giải phương trình - Tìm các nghiệm thõa mãn điều kiện Lời giải chi tiết: Điều kiện: {sin(3x−π2)≠0sinx≠0⇔{3x−π2≠mπx≠nπ⇔{x≠π6+mπ3x≠nπ(m,n∈Z). cot(3x−π2)=cotx⇔3x−π2=x+kπ⇔x=π4+kπ2(tm)(k∈Z). Phương trình có nghiệm thuộc [0;20] ⇔0≤π4+kπ2≤20⇔−12≤k≤20−π4π2≈12.23⇒k∈{0;1;2;...;11;12}. Tổng các nghiệm là:12∑k=0(π4+kπ2)=13⋅π4+π2(0+1+2+...+12)=169π4 Chọn A. Câu hỏi 12 : Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác của phương trình tan2(2x−π2)−3=0 gồm mấy điểm?
Đáp án: C Phương pháp giải: Dùng hằng đẳng thức a2−b2=(a−b)(a+b)để đưa phương trình ban đầu về phương trình tích. Lời giải chi tiết: Điều kiện: cos(2x−π2)≠0⇔2x−π2≠π2+kπ⇔x≠kπ2(k∈Z). tan2(2x−π2)−3=0⇔[tan(2x−π2)−√3].[tan(2x−π2)+√3]=0⇔[tan(2x−π2)+√3=0tan(2x−π2)−√3=0⇔[tan(2x−π2)=tan−π3tan(2x−π2)=tanπ3⇔[2x−π2=−π3+mπ2x−π2=π3+nπ⇔[x=π12+mπ2x=5π12+nπ2(m,n∈Z) Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta có: x=π12+kπ2cho 4 điểm, x=5π12+kπ2cho 4 điểm. Vậy biểu diễn nghiệm của phương trình trên gồm 8 điểm. Chọn C. Câu hỏi 13 : Phương trình cot(6x+1)−cotx=0có bao nhiêu nghiệm trên [0;100]?
Đáp án: C Phương pháp giải: - Giải phương trình tìm ra công thức nghiệm - Từ điều kiện của nghiệm xác định tham số k nguyên trong công thức nghiệm Lời giải chi tiết: Điều kiện: {sin(6x+1)≠0sinx≠0⇔{6x+1≠mπx≠nπ⇔{x≠−16+mπ6x≠nπ(m,n∈Z). cot(6x+1)−cotx=0⇔cot(6x+1)=cotx⇔6x+1=x+kπ⇔x=−15+kπ5(k∈Z). Phương trình có nghiệm thuộc [0;100]⇔0≤−15+kπ5≤100 ⇔15≤kπ5≤5015⇔0,31≤k≤159,47⇔k∈{1;2;...;159} Vậy phương trình có 159 nghiệm thõa mãn. Chọn C. Câu hỏi 14 : Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình 3cot(6x−π2)−√3=0 thuộc [18;20]?
Đáp án: D Phương pháp giải: - Giải phương trình. - Tìm nghiệm thõa mãn điều kiện Lời giải chi tiết: Điều kiện: sin(6x−π2)≠0⇔6x−π2≠kπ⇔x≠π12+kπ6(k∈Z). 3cot(6x−π2)−√3=0⇔cot(6x−π2)=√33⇔cot(6x−π2)=cotπ3⇔6x−π2=π3+kπ⇔x=5π36+kπ6(k∈Z). Nghiệm trên thõa mãn điều kiện. Phương trình có nghiệm thuộc [18;20]⇔18≤5π36+kπ6≤20 ⇔18−5π36≤kπ6≤20−5π36⇔33,54≤k≤37,36 Vậy phương trình có nghiệm lớn nhất trong [18;20]⇔k=37⇒xmax Chọn D. Câu hỏi 15 : Xác định m để phương trình \tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{m}{{1 - 2m}}\,\,\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right) có nghiệm x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right).
Đáp án: A Phương pháp giải: Xác định tập giá trị của hàm số y = \tan \dfrac{x}{2} sau đó tìm m để phương trình có nghiệm. Lời giải chi tiết: ĐK: \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). Với x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \dfrac{x}{2} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right). Do hàm số y = \tan X đồng biến trên \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right) nên ta có: \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow \tan \dfrac{\pi }{4} < \tan \dfrac{x}{2} < \tan \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 1 < \tan \dfrac{x}{2} < + \infty . Suy ra phương trình \tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{m}{{1 - 2m}}\,\,\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right) có nghiệm khi và chỉ khi \dfrac{m}{{1 - 2m}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{m}{{1 - 2m}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1 + 2m}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3m - 1}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < m < \dfrac{1}{2} Chọn A Câu hỏi 16 : Phương trình \cos 3x = 2{m^2} - 3m + 1. Xác định m để phương trình có nghiệmx \in \left( {0;\dfrac{\pi }{6}} \right].
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = \sin x. Lời giải chi tiết: Với x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow 3x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]. Hàm số y = \cos X nghịch biến trên \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) nên ta có: 0 < 3x \le {\pi \over 2} \Leftrightarrow \cos {\pi \over 2} \le \cos 3x \le \cos 0 \Leftrightarrow 0 \le \cos 3x < 1 Do đó phương trình \cos 3x = 2{m^2} - 3m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi: 0 \le 2{m^2} - 3m + 1 < 1 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{m^2} - 3m + 1 \ge 0 \hfill \cr 2{m^2} - 3m + 1 < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ m \ge 1 \hfill \cr m \le {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr 0 < m < {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {0;{1 \over 2}} \right] \cup \left[ {1;{3 \over 2}} \right) Chọn C Câu hỏi 17 : Cho phương trình \tan 4x.\tan x = - 1. Nghiệm của phương trình là:
Đáp án: B Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ. - Chia cả hai vế cho \tan x, sử dụng công thức \cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}. - Sử dụng công thức: \cot x = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right),\,\,\tan \left( { - x} \right) = - \tan x. - Giải phương trình lượng giác cơ bản: \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). \begin{array}{l}\tan 4x.\tan x = - 1\\ \Leftrightarrow \tan 4x = - \dfrac{1}{{\tan x}}\\ \Leftrightarrow \tan 4x = - \cot x\\ \Leftrightarrow \tan 4x = - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4x = x - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow 3x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} Vậy nghiệm của phương trình là x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). Chọn B. Câu hỏi 18 : Nghiệm của phương trình {\cos ^2}x - \cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < \pi là:
Đáp án: A Phương pháp giải: - Đưa phương trình đã cho về dạng tích. - Giải phương trình lượng giác cơ bản: \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). - Tìm k \in \mathbb{Z} để 0 < x < \pi . Lời giải chi tiết: \begin{array}{l}{\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}. Xét họ nghiệm x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). Cho 0 < x < \pi ta có: 0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{2} + k < 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2}. Mà k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0. \Rightarrow Họ nghiệm này có nghiệm x = \dfrac{\pi }{2} thỏa mãn. Xét họ nghiệm x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right). Cho 0 < x < \pi ta có: 0 < k2\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < 2k < 1 \Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{1}{2} \Rightarrow Không có số nguyên k nào thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = \dfrac{\pi }{2} thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A Câu hỏi 19 : Tìm số nghiệm của phương trình \sin \left( {cos2x} \right) = 0 trên \left[ {0;2\pi } \right].
Đáp án: A Phương pháp giải: Giải phương trình lượng giác sau đó tìm số giá trị k \in \mathbb{Z} thỏa mãn khoảng nghiệm của bài toán rồi chọn đáp án đúng. Lời giải chi tiết: \sin \left( {\cos 2x} \right) = 0\,\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \cos 2x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\,\left( 1 \right) Do - 1 \le \cos 2x \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le k\pi \le 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{\pi } \le k \le \dfrac{1}{\pi }\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + m\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{m\pi }}{2}\,\,\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\\Do\,\,x \in \left[ {0;\,2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{m\pi }}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{7}{2} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3} \right\}.\end{array} Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn A. Câu hỏi 20 : Tập nghiệm của phương trình \tan \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) - \tan x = 0biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi bao nhiêu điểm ?
Đáp án: A Phương pháp giải: Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên đường tròn lượng giác. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + m\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{{36}} + \frac{{m\pi }}{6}\\x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right.\,(m,\;n \in \mathbb{Z}). \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\tan \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) - \tan x = 0 \Leftrightarrow 6x + \frac{\pi }{3} = x + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array} Phương trình có các nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác tức là các nghiệm thuộc \left[ {0;\;2\pi } \right]. \begin{array}{l} \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} \le 2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{{15}} \le \frac{{k\pi }}{5} \le \frac{{31\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{{31}}{3} \Leftrightarrow 0,33 \le k \le 10,33\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;\;2;\;3;.....;\;10} \right\}.\end{array} Vậy nghiệm x = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z}) có 10 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với k \in \{ 1;\;2;\;3...;10\} . Chọn A.
|