Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \,\alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\tan x = 2 \Leftrightarrow x = \arctan 2 + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải các phương trình lượng giác cơ bản:

\(\begin{array}{l}\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\\\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\\\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \\\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \(\sin x =  - \dfrac{1}{2} = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (loại).

Đáp án B: \(\cot x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \cot \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (loại).

Đáp án C: \(\tan x = \sqrt 3  = \tan \dfrac{\pi }{3}\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (loại).

Đáp án D: \(\cos x =  - \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}\) \( \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (thỏa mãn).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\cot x = \sqrt 3  = \cot \dfrac{\pi }{6}\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\tan x = 1 = \tan \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình dạng \({x^2} = a \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt a \).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3 \\\tan x =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cot \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\cot \left( {x - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow x - 3 = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 4 + k\pi  \Leftrightarrow x = 3 + {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 4 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos 3x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\4{\cos ^3}x - 3\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\4{\cos ^2}x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x \ne  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\(\tan x = \tan 3x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi  \Leftrightarrow 2x = k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Đối chiếu điều kiện ta có \(x = k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

\(\cot x = \cot 2x \Leftrightarrow 2x = x + k\pi  \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) =  \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Cho các họ nghiệm vừa tìm được thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\), sau đó tìm ra các nghiệm thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{6} = x - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{6} =  - x + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), cho \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \pi  <  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  < \pi \\ \Leftrightarrow  - 1 <  - \dfrac{1}{2} + 2k < 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\)\( \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), cho \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \pi  < \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3} < \pi \\ \Leftrightarrow  - 1 < \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{{2k}}{3} < 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{19}}{{12}} < k < \dfrac{{17}}{{12}}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)\( \Rightarrow x \in \left\{ { - \dfrac{{11\pi }}{{18}};\dfrac{\pi }{{18}};\dfrac{{13\pi }}{{18}}} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Lời giải chi tiết:

\(\cos x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \dfrac{1}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét họ nghiệm \(x = \arccos \dfrac{1}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) ta có:

\(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow 0 < \arccos \dfrac{1}{3} + k2\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow  - 0,19 < k < 0,80\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \arccos \dfrac{1}{3}\).

Xét họ nghiệm \(x =  - \arccos \dfrac{1}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) ta có:

\(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow 0 <  - \arccos \dfrac{1}{3} + k2\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow 0,19 < k < 1,19\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x =  - \arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi \).

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản : \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :  \(\cot x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\dfrac{{x + \pi }}{5}} \right) =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{x + \pi }}{5} =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\\dfrac{{x + \pi }}{5} = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{5} =  - \dfrac{{11\pi }}{{30}} + k2\pi \\\dfrac{x}{5} = \dfrac{{29\pi }}{{30}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{11\pi }}{6} + k10\pi \\x = \dfrac{{29\pi }}{6} + k10\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải phương trình tìm nghiệm, kẹp nghiệm trong nửa khoảng đã cho tìm số nghiệm thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = cos\dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Trên nửa khoảng \(\left( {{0^0};{{360}^0}} \right]\)tức \(\left( {0;2\pi } \right]\). Ta sẽ có các nghiệm thỏa mãn như sau:

\( + )\,\,\,0 < x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{6} < k \le \dfrac{{11}}{6}\) mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\). Có 2 nghiệm.

\( + )\,\,\,0 < x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} < k \le \dfrac{{13}}{6}\) mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\). Có 2 nghiệm.

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.

- Phương trình \(\sin x = a\), \(\cos x = a\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| a \right| \le 1\).

- Phương trình \(\tan x = a,\,\,\cot x = a\) có nghiệm với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 3 \sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} > 1.\) Phương trình này vô nghiệm.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin \,x = 0\)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

\(\sin \,x = 0\)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Chọn B.