Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

Đề bài

PHẦN 1. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 (NB). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

A. $\overrightarrow u  = \left( {3;\,1} \right)$.

B. $\overrightarrow u  = \left( { - 5;\,\,2} \right)$.

C. $\overrightarrow u  = \left( {1;\,3} \right).$                 

D. $\overrightarrow u  = \left( {2;\, - 5} \right).$

Câu 2 (TH). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1$ có 2 tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$. M là điểm thuộc elip $\left( E \right)$. Giá trị của biểu thức $M{F_1} + M{F_2}$ bằng:

A. $5$.

B. $6.$

C. $3.$

D. $2.$.

Câu 3 (TH). Cho $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\sin \alpha  < 0,\cos \alpha  < 0.$

B. $\sin \alpha  < 0,\cos \alpha  > 0.$                

C. $\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0.$

D. $\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  > 0.$

Câu 4 (TH). Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 7x + 6 > 0$ là:

A. $\left( { - \infty ;1} \right) \cap \left( {6; + \infty } \right).$

B. $\left( { - 6, - 1} \right).$

C. $\left( {1;6} \right).$

D. $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right).$

Câu 5 (VD). Biểu thức $\frac{1}{2}\sin \alpha  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha$ bằng

A. $\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right).$

B. $\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right).$

C. $\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right).$

D. $\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right).$

Câu 6 (NB). Biểu thức $\sin \left( { - \alpha } \right)$ bằng

A. $- \sin \alpha .$

B. $\sin \alpha .$

C. $\cos \alpha .$

D. $- \cos \alpha .$

Câu 7 (TH). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tâm của đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 1 = 0$ có tọa độ là:

A. $\left( {2;\,3} \right).$

B. $\left( {2; - 3} \right).$

C. $\left( { - 2;\,3} \right).$

D. $\left( { - 2; - 3} \right).$

Câu 8 (VD). Cho đồ thị của hàm số $y = ax + b$ có đồ thị là hình bên. Tập nghiệm của bất phương trình $ax + b > 0$ là:

A. $\left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right).$

B. $\left( { - \infty ;\frac{b}{a}} \right).$      

C. $\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right).$

D. $\left( {\frac{b}{a}; + \infty } \right).$

Câu 9 (TH). Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x - 4y + 1 = 0$ ?

A. $\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right).$

B. $\overrightarrow n  = \left( {2; - 4} \right).$

C. $\overrightarrow n  = \left( {2;4} \right).$

D. $\overrightarrow n  = \left( { - 1;2} \right).$

Câu 10 (TH). Biểu thức $\cos \left( {\alpha  + 2\pi } \right)$ bằng:

A. $- \sin \alpha .$

B. $\sin \alpha .$

C. $\cos \alpha .$

D. $- \cos \alpha .$

Câu 11 (VD). Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 6 < 0\\3x + 15 > 0\end{array} \right.$ là:

A. $\left( { - 5; - 3} \right).$

B. $\left( { - 3;5} \right).$

C. $\left( {3;5} \right).$

D. $\left( { - 5;3} \right).$

Câu 12 (NB). Số giầy bán được trong một quý của một cửa hàng bán giầy được thống kê trong bảng sau đây

Mốt của bảng trên là:

A. $39.$                       B. $93.$                   C. $639.$                 D. $35.$

PHẦN 2. PHẦN TỰ LUẬN ( 5 điểm)

Câu 1 (VD) (3,5 điểm).

1) Tìm m thỏa mãn bất phương trình ${x^2} + 2mx - m + 2 > 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$.

2) Giải bất phương trình $\sqrt {x + 9}  < x + 3$

3) Cho các góc $\alpha ,\beta$ thỏa mãn $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} < \beta  < \pi$ và $\sin \alpha  = \frac{1}{3},\sin \beta  = \frac{2}{3}$. Tính $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$  

Câu 2 (VD) (3,0 điểm).

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ và $B\left( {1;5} \right)$. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $I\left( {2;3} \right)$ và đường thẳng $\Delta :3x - 4y - 4 = 0$. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng $\Delta$ và lập phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:x - y - 1 = 0$ và ${\Delta _2}:x + my + 2 = 0$. Xác định giá trị của m biết rằng góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng ${45^o}$.

Câu 3 (VDC) (0,5 điểm).

Cho x thỏa mãn ${\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)^2} = \frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $\cos 8x$.

Lời giải chi tiết

PHẦN 1. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp:

Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$ nhận $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)$ làm VTCP

Cách giải:

Vectơ $\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Chọn D.

Câu 2:

Phương pháp:

Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có 2 tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$ là tập hợp các điểm M sao cho $M{F_1} + M{F_2} = 2a$

Cách giải:

Ta có: $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.3 = 6.$

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp:

Dựa vào đường tròn đơn vị.

Cách giải:

Với $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow$ Điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III

$\Rightarrow \sin \alpha  < 0,\cos \alpha  < 0$

Chọn A.

Câu 4:

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai: Trong trái, ngoài cùng.

Cách giải:

$\begin{array}{l}{x^2} - 7x + 6 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 6\\x < 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right).$

Chọn D.

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sin \alpha  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha \\ = \sin \alpha .\cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha .\sin \frac{\pi }{3}\\ = \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}$

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Cách giải:

Ta có: $\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha$  

Chọn A.

Câu 7:

Phương pháp:

Phương trình đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm $I\left( {a;\,b} \right)$

Cách giải:

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 1 = 0$ có tâm $I\left( {2; - 3} \right)$

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Nhìn đồ thị xét dấu của a,b từ đó áp dụng quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất: “Phải cùng, trái khác”.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục Oy tại một điểm có tung độ dương $\Rightarrow b > 0.$

Và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương $\Rightarrow  - \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow a < 0.$

$\Rightarrow ax + b > 0 \Leftrightarrow ax >  - b \Leftrightarrow x < \frac{{ - b}}{a}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right).$

Chọn C.

Câu 9:

Phương pháp:

Đường thẳng $ax + by + c = 0$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {a,b} \right)$ làm VTPT.

$\overrightarrow n  = k\overrightarrow {n'}$ thì $\overrightarrow n //\overrightarrow {n'}$

Cách giải:

Đường thẳng $2x - 4y + 1 = 0$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 4} \right)$ làm VTPT

$\begin{array}{l} \overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_1}} \\ \overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 1;2} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_1}} \end{array}$

Do đó các véc tơ $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}}$ đều là VTPT của đường thẳng.

Vậy chỉ có vecto $\overrightarrow n  = \left( {2;\,4} \right)$ không là VTPT của đường thẳng đã cho.

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

Góc quét một số chẵn lần $\pi$ sẽ trở về điểm ban đầu.

Cách giải:

Ta có: $\cos \left( {\alpha  + 2\pi } \right) = \cos \alpha$  

Chọn C.

Câu 11:

Phương pháp:

Giải từng BPT sau đó kết hợp nghiệm của hệ.

Cách giải:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 6 < 0\\3x + 15 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x >  - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow  - 5 < x < 3$

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - 5;3} \right).$

Chọn D.

Câu 12:

Phương pháp:

Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số.

Cách giải:

Dựa vào bảng số liệu ta thấy Mốt là 39.

Chọn A.

PHẦN 2. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1.

Phương pháp:

1) Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

-  Nếu $\Delta  < 0$ thì với mọi $x,f\left( x \right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\Delta  = 0$thì $f\left( x \right)$ có nghiệm kép $x =  - \frac{b}{{2a}}$, với mọi $x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\Delta  > 0$,$f\left( x \right)$có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng  $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)$ và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).$

2) $\sqrt {f\left( x \right)}  < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.$

3) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ để tính $\cos \alpha ,\cos \beta$, từ đó tính $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$ bằng công thức cộng.

Cách giải:                                  

1) Tìm m thỏa mãn bất phương trình ${x^2} + 2mx - m + 2 > 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có: $\Delta ' = {m^2} + m - 2$

Bất phương trình ${x^2} + 2mx - m + 2 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow  - 2 < m < 1\end{array}$

Vậy với $- 2 < m < 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2) Giải bất phương trình $\sqrt {x + 9}  < x + 3$

$\begin{array}{l}\sqrt {x + 9}  < x + 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 9 \ge 0\\x + 3 > 0\\x + 9 < {x^2} + 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 9\\x >  - 3\\{x^2} + 5x > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 3\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left( {0; + \infty } \right).$

3) Cho các góc $\alpha ,\beta$ thỏa mãn $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} < \beta  < \pi$ và $\sin \alpha  = \frac{1}{3},\sin \beta  = \frac{2}{3}$. Tính $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$

Ta có $\sin \alpha  = \frac{1}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Do $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ $\Rightarrow \cos \alpha  > 0$ $\Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Ta có $\sin \beta  = \frac{2}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\beta  = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow {\cos ^2}\beta  = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Do $\frac{\pi }{2} < \beta  < \pi$ $\Rightarrow \cos \beta  < 0 \Rightarrow \cos \beta  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Vậy

$\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \\ = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{2}{3}\\ = \frac{{4\sqrt 2  - \sqrt 5 }}{9}\end{array}$

Câu 2.

Phương pháp:

1) Xác định VTCP để viết phương trình tham số, VTPT để viết phương trình tổng quát

2) Cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $\Rightarrow {d_{\left( {{M_0};\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R$

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;\,b} \right),\,\,$ bán kính $R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.$

3) Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 VTPT (VTCP) của 2 đường thẳng đó

$\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

Cách giải:

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ và $B\left( {1;5} \right)$. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;3} \right)$ là một VTCP của đường thẳng AB.

$\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)$ là một VTPT của đường thẳng AB.

Ta có: $A\left( { - 1;2} \right) \in AB$

$\Rightarrow$ Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB: $3\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 2y + 7 = 0$

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $I\left( {2;3} \right)$ và đường thẳng $\Delta :3x - 4y - 4 = 0$. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng $\Delta$ và lập phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.

Ta có: $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 - 4.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2$

Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc đường tròn $\left( {I,R} \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\Delta } \right) = 2$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4.$

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:x - y - 1 = 0$ và ${\Delta _2}:x + my + 2 = 0$. Xác định giá trị của m biết rằng góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng ${45^o}$.

Ta có: ${\Delta _1}$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)$ là một VTPT

          ${\Delta _2}$ nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;m} \right)$ là một VTPT

Góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng ${45^o}$$\Leftrightarrow$ $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - m} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {1 - m} \right| = \sqrt {1 + {m^2}} \\ \Leftrightarrow 1 - 2m + {m^2} = 1 + {m^2}\\ \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0.\end{array}$

 Vậy với $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3.

Phương pháp:

Từ dữ kiện đề bài tính $\cos 2x$ từ đó áp dụng công thức góc nhân đôi để tính $\cos 8x$

Cách giải:

Cho x thỏa mãn ${\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)^2} = \frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $\cos 8x$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{3} = {\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)^2}\\ = {\left[ {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {\cos 2x.1} \right)^2}\\ = {\cos ^2}2x\\ \Rightarrow {\cos ^2}2x = \frac{1}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos 8x = 2{\cos ^2}4x - 1\\ = 2{\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)^2} - 1\\ = 2{\left( {2.\frac{1}{3} - 1} \right)^2} - 1\\ = 2{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{7}{9}\end{array}$

Vậy $\cos 8x =  - \frac{7}{9}.$

Nguồn: Sưu tầm 

HocTot.Nam.Name.Vn