Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

Đề bài

Câu 1: (VD) (2 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}  = x - 1$.

b) $\left| {{x^2} - x} \right| > 2 - x$.

Câu 2: (VD) (2 điểm)  a)  Cho phương trình ${x^2} - 2(m - 2)x + 4 - 7m = 0$ ($m$là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + \,x_2^2 = 10$.

b)  Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0$ nghiệm đúng $\forall x \in R$.  

Câu 3: (VD) (2 điểm)   a)  Cho $\sin a =  - \frac{4}{5}$, với $\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}$ . Tính $\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).$

b)  Chứng minh đẳng thức : $2\cot 2x\cot x + 1 = {\cot ^2}x$.

Câu 4: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; - 3)$ và vuông góc với đường thẳng$\,d:3x - 4y - 7 = 0$

Câu 5: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho điểm $B\left( {3;4} \right)$ và đường thẳng  $d:x + 2y - 1 = 0$.

Viết phương trình đường tròn tâm $B$, tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Câu 6: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ viết phương trình chính tắc của elíp $(E),$ biết $(E)$ có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng $\frac{3}{4}.$

Câu 7: (VDC) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hai đường thẳng $(\Delta ):2x + y - 1 = 0$, $(d):3x + 7y + 1 = 0$ và điểm $M\left( {1;1} \right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M$và cắt $(\Delta )$,$(d)$ lần lượt tại hai điểm B, C sao cho $M$ là trung điểm của $BC$.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

a) $\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.$

b)  $\left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) > g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right..$

Cách giải:

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}  = x - 1$

ĐKXĐ: $3{x^2} - 5x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{5 + \sqrt {37} }}{6}\\x \le \frac{{5 - \sqrt {37} }}{6}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3{x^2} - 5x - 1 = {(x - 1)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\3{x^2} - 5x - 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ 2 \right\}.$  

$\begin{array}{l}b)\,\,\,\left| {{x^2} - x} \right| > 2 - x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\{\left( {{x^2} - x} \right)^2} > {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^4} - 2{x^3} + {x^2} > 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^4} - 2{x^3} + 4x - 4 > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 2 > 0\,\left( {do\,\,\,{x^2} - 2x + 2 > 0} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\sqrt 2  < x \le 2\\x <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x <  - \sqrt 2 \end{array} \right..\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).$

Câu 2:

Phương pháp:

a) Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta  > 0$. Sử dụng định lý Vi-ét, biến đổi biểu thức đề bài theo m để giải tìm m.

b) Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

-  Nếu $\Delta  < 0$ thì với mọi $x,f\left( x \right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\Delta  = 0$thì $f\left( x \right)$ có nghiệm kép $x =  - \frac{b}{{2a}}$, với mọi $x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\Delta  > 0$,$f\left( x \right)$có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng $\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)$  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).$

Cách giải:

a)  Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 4 - 7m = 0$   ($m$là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$  thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10.$

${x^2} - 2(m - 2)x + 4 - 7m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 + 7m > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 4 + 7m > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 3\end{array} \right..\end{array}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 4 - 7m\end{array} \right..$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}x_1^2 + \,x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 2)^2} - 2(4 - 7m) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

b)  $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0$ nghiệm đúng $\forall x \in R$.  

Để bất phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0$ nghiệm đúng $\forall x \in R$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 5} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - {m^2} - m + 6 < 0\,\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\,.\end{array}$

Vậy  $m > 2$ thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ để tính $\cos x$, từ đó tính các giá trị còn lại

b) 

$\begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}$

Cách giải:

a)  Cho $\sin a =  - \frac{4}{5}$, với $\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}$ . Tính $\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).$

$\begin{array}{l}{\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\\ \Rightarrow \cos a =  - \frac{3}{5}\,\,\,\left( {do\,\,\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}} \right)\\ \Rightarrow \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\\ = 1 - 2.\frac{{16}}{{25}} =  - \frac{7}{{25}}\\ \Rightarrow \sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6}\\ =  - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 - 4\sqrt 3 }}{{10}}.\\ \Rightarrow \tan ( - a) =  - \tan a =  - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\\ =  - \frac{4}{5}.\frac{5}{3} =  - \frac{4}{3}.\end{array}$

b)  Chứng minh đẳng thức : $2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.$

$\begin{array}{l}VT = 2.\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} + 1\\ = \frac{{2.\cos 2x}}{{2{{\sin }^2}x.\cos x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x = VP.\end{array}$

Vậy $2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.$

Câu 4:

Phương pháp:

Xác định VTPT (VTCP) và một điểm đi qua của đường thẳng $\Delta$ để viết phương trình.

Cách giải:

Viết pt đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1; - 3)$ và vuông góc với $\,d:3x - 4y - 7 = 0$.

Đường thẳng $d$ có VTPT $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 4} \right).$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Ta có:$\Delta  \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4;\,3} \right).$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {1; - 3} \right)$ và có $VTPT\,\,\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)$ là: $4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 4x + 3y + 5 = 0$

Câu 5:

Phương pháp:

Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $\left( {O,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R$

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;\,b} \right)$ và có bán kính $R$ là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.$ 

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho điểm $B\left( {3;4} \right)$ và đường thẳng  $d:x + 2y - 1 = 0$. Viết phương trình đường tròn tâm $B$, tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Đường tròn đường tròn cần tìm có bán kính $R = d(B;d) = \frac{{\left| {3 + 8 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}$$= \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5$

Phương trình đường tròn cần tìm là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 20.$

Câu 6:

Phương pháp:

Tiêu cự của elip có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ là $c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$

Trục lớn = 2a ; trục bé = 2b ; tâm sai $e = \frac{c}{a}.$

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ viết phương trình chính tắc của elíp $(E),$ biết $(E)$ có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng $\frac{3}{4}.$

Ta có $\left( E \right)$ có độ dài trục lớn là $8 \Rightarrow 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4.$

Tâm sai của $\left( E \right)$ là $\frac{3}{4} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow c = 3.$

$\Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {4^2} - {3^2} = 7$$\Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1.$

Vậy phương trình $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1.$

Câu 7:

Phương pháp:

Tìm tọa độ điểm A là giao điểm của $(\Delta )$và $(d)$

Tìm  N  là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

Tìm điểm B là giao của BN và $\Delta$

Viết phương trình đường thẳng BM là đường thẳng cần tìm

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hai đường thẳng $(\Delta ):2x + y - 1 = 0$, $(d):3x + 7y + 1 = 0$ và điểm $M\left( {1;1} \right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M$và cắt $(\Delta )$,$(d)$ lần lượt tại hai điểm B, C sao cho $M$ là trung điểm của $BC$.

Gọi A là giao điểm của $(\Delta )$và $(d)$

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm A  là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y + 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{{11}}\\y =  - \frac{5}{{11}}\end{array} \right.$ $\Rightarrow A\left( {\frac{8}{{11}}; - \frac{5}{{11}}} \right)$

Gọi $N\left( {a;\,\,b} \right)$   là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MN} \\ \Leftrightarrow \left( {a - 1;\,b - 1} \right) = \left( {1 - \frac{8}{{11}};\,1 + \frac{5}{{11}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 1 - \frac{8}{{11}}\\b - 1 = 1 + \frac{5}{{11}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{14}}{{11}}\\b = \frac{{27}}{{11}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow N\left( {\frac{{14}}{{11}};\frac{{27}}{{11}}} \right)\end{array}$

Đường thẳng $\left( {BN} \right)$ là đường thẳng đi qua N và song song với $(d)$

$\Rightarrow \left( {BN} \right):3\left( {x - \frac{{14}}{{11}}} \right) + 7\left( {y - \frac{{27}}{{11}}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 7y - 21 = 0$

B là giao điểm của $(\Delta )$và $(BN) \Rightarrow$ tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ:$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{14}}{{11}}\\y = \frac{{39}}{{11}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow B\left( { - \frac{{14}}{{11}};\frac{{39}}{{11}}} \right)$

Phương trình đường thẳng $\left( {BM} \right)$ cần tìm là: $\frac{{x - 1}}{{ - \frac{{14}}{{11}} - 1}} = \frac{{y - 1}}{{\frac{{39}}{{11}} - 1}}$$\Leftrightarrow \frac{{28}}{{11}}\left( {x - 1} \right) =  - \frac{{25}}{{11}}\left( {y - 1} \right)$  $\Leftrightarrow 28x + 25y - 53 = 0$

Nguồn: Sưu tầm

HocTot.Nam.Name.Vn