Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 7

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm):Thực hiện phép tính:

$a)\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^3}}}$

$b)\,\,23\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} - 13\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} + 5\sqrt {\dfrac{9}{{25}}}$

Bài 2 (1,5 điểm):Cho hàm số $y = 3x$

a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Điểm $M( - 2; - 6)$ có thuộc đồ thị hàm số $y = 3x$ không? Vì sao?

Bài 3 (2,5 điểm):Tìm $x,\,\,y$ biết:

a) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}:x =  - 2$

b)$7x = 3y$ và $2x - y = 16$

c) Một nhân viên văn phòng có thể đánh máy được $160$ từ trong $2,5$ phút. Hỏi cần bao nhiêu phút để người đó đánh được $800$ từ? (giả thiết rằng thời gian để đánh được các từ là như nhau).

Bài 4 (3,5 điểm):Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\angle B = {60^0}$. Vẽ $AH \bot BC$ tại $H$.

a) Tính số đo $\angle HAB$. 

b) Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AH$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $HD$. Chứng minh $\Delta AHI = \Delta ADI$. Từ đó suy ra $AI \bot HD$.

c) Tia $AI$ cắt cạnh $HC$ tại điểm $K$. Chứng minh $\Delta AHK = \Delta ADK$, từ đó suy ra $AB$//$KD$.

d) Trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $E$ sao cho $HE = AH$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $BK$ và ba điểm $D,\,\,K,\,\,E$ thẳng hàng.

Bài 5 (1,0 điểm):

a) Tính: $\dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{19.21}}$

b) Chứng minh: $A = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}}$$+ ... + \dfrac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} < \dfrac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết

Bài 1:

$\begin{array}{l}a)\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^3}}}\,\, \\= \,\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}:\dfrac{{ - 1}}{8}\,\,\\ = \,\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{8}{{ - 1}}\,\, \\= \,\dfrac{3}{2} - ( - 12) = \dfrac{3}{2} + 12 \\= \dfrac{3}{2} + \dfrac{{24}}{2} = \dfrac{{27}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\\b)\,\,23\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} - 13\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} + 5\sqrt {\dfrac{9}{{25}}}  \\= 23\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{4} - 13\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{4} + 5.\dfrac{3}{5}\\ = \left( {23\dfrac{1}{3} - 13\dfrac{1}{3}} \right):\dfrac{{ - 1}}{4} + 3 \\= 10:\dfrac{{ - 1}}{4} + 3 = 10.\dfrac{4}{{ - 1}} + 3 \\=  - 40 + 3 =  - 37\end{array}$

Bài 2:

a) Vẽ hệ trục tọa độ $Oxy$.

Với $x = 1$ ta được $y = 3$. Điểm $A\,\,(1\,;\,\,3)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3x$.

Vậy đường thẳng $OA$ là đồ thị của hàm số $y = 3x$.

b) Xét điểm $M\,( - 2; - 6)\,\, \Rightarrow x =  - 2;\,\,y =  - 6$ , thay vào $y = 3x$ ta được $- 6 = 3.( - 2)$ (thỏa mãn).

Vậy điểm $M{\kern 1pt} \,( - 2;\, - 6)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3x$.

Bài 3:

$\begin{array}{l}a)\;\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}:x =  - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}:x =  - 2 - \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}:x = \dfrac{{ - 7}}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}:\dfrac{{ - 7}}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{7}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{{ - 2}}{7}$.

b) $7x = 3y$ và $2x - y = 16$

Ta có $7x = 3y\,\, \Rightarrow \,\,\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{7}\,\, \Rightarrow \dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{y}{7}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{{2x - y}}{{6 - 7}} = \dfrac{{16}}{{ - 1}} =  - 16\\ \Rightarrow \dfrac{{2x}}{6} =  - 16\,\, \Rightarrow \dfrac{x}{3} =  - 16\, \Rightarrow x =  - 16.3 =  - 48\\\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{y}{7} =  - 16\,\,\, \Rightarrow y =  - 16.7 =  - 112\end{array}$

Vậy $x =  - 48$ và $y =  - 112$.

c) Gọi $x$ là thời gian cần thiết để người đó đánh được $800$ từ $(x > 0)$.

Vì thời gian và số từ đánh được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

$\dfrac{x}{{2,5}} = \dfrac{{800}}{{160}}\,\,\, \Rightarrow x = \dfrac{{800.2,5}}{{160}} = 12,5\,\,$

Vậy cần $12,5$ phút để người đó đánh được $800$ từ.

Bài 4:

a) Xét $\Delta AHB$vuông tại$H$ ta có:

$\angle HBA + \angle HAB = {90^0}$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \angle HAB = {90^0} - \angle HBA = {90^0} - {60^0} = {30^0}$

Vậy $\angle HAB = {30^0}$

b) Xét $\Delta AHI$ và $\Delta ADI$ ta có:

$AH = AD\,\,(gt)$

$IH = ID$(do $I$ là trung điểm của $HD$)

$AI$ là cạnh chung

Vậy $\Delta AHI = \Delta ADI\,\,(c.c.c)$

Suy ra $\angle HIA = \angle DIA$ ($2$ góc tương ứng)

Mà $\angle HIA + \angle DIA = {180^0}$ ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow \,\angle HIA = \angle DIA = {90^0}$

Do đó: $AI \bot HD\,$ (đpcm)

c) Vì $\Delta AHI = \Delta ADI\,$ (cm câu b)

$\Rightarrow \angle HAK = \angle DAK$ ($2$ góc tương ứng)

Xét $\Delta AHK$ và $\Delta ADK$ ta có:

$AH = AD\,\,(gt)$

$\angle HAK = \angle DAK$ (cmt)

$AK$ là cạnh chung

Vậy $\Delta AHK = \Delta ADK\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle AHK = \angle ADK = {90^0}$ ($2$ góc tương ứng)

$\Rightarrow KD \bot AC$

Mà $BA \bot AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

Suy ra $AB//KD$ (đpcm)

d) Ta có:

$\begin{array}{l}\angle BAH + \angle HAD = \angle BAD = {90^0}\\ \Rightarrow \angle HAD = {90^0} - \angle BAH = {90^0} - {30^0} = {60^0}\end{array}$

Lại có $\angle HAK = \angle DAK$(cmt)

Suy ra $\angle HAK = \angle DAK = {30^0}$

Theo chứng câu ta có $\angle HAB = {30^0}$.

Vậy $\angle HAB = \angle HAK$

+) Xét hai tam giác vuông tại $H$ là $\Delta ABH$ và $\Delta AKH$ ta có:

$\angle BHA = \angle KHA = {90^0}$

$AH$ là cạnh chung

$\angle HAB = \angle HAK$(cmt)

Vậy $\Delta ABH = \Delta AKH\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow BH = KH$ ($2$ cạnh tương ứng)

+) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta EKH$ ta có:

$BH = KH$ (cmt)

$\angle BHA = \angle KHE$($2$ góc đối đỉnh)

$AH = HE\,$ (gt)

Vậy $\Delta ABH = \Delta EKH\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle ABH = \angle EKH$ ($2$ góc tương ứng)

Mà $\angle ABH$ và $\angle EKH$ là hai góc so le trong

Suy ra $AB//EK$(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà $AB//KD$ (cm câu c)

Theo tiên đề Ơ-clit thì đường thẳng $EK$ trùng với đường thẳng $KD$.

Do đó ba điểm $D,K,E$ thẳng hàng.

Bài 5:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{19.21}}\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + ... + \dfrac{2}{{19.21}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{{19}} - \dfrac{1}{{21}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{21}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{20}}{{21}} = \dfrac{{10}}{{21}}\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + ... + \dfrac{2}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\end{array}$

Lại có$1 - \dfrac{1}{{2n + 1}} < 1$nên suy ra $A < \dfrac{1}{2}.1$, hay $A < \dfrac{1}{2}$ (đpcm).

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 7 tại HocTot.Nam.Name.Vn

 HocTot.Nam.Name.Vn