Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học

Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Đề số 3 - Chương 1 - Hình học 11

Đề bài

Câu 1: Cho P, Q cố định và phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành \({M_2}\) sao cho \(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {PQ} \). Chọn kết luận đúng

A.T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {PQ} \)

B. T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {M{M_2}} \)

C. T là phép tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow {PQ} \)

D. T là phép tịnh tiến theo vectơ \({1 \over 2}\overrightarrow {PQ} \)

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = (1;3)\) biến điểm A (1;2) thành điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (2;5)

B. (1;3)

C. (3;4)

D. (-3;4)

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = ( - 3; - 2)\), phép tịnh tiến theo \(\vec v\) biến đường tròn \((C):{x^2} + {(y - 1)^2} = 1\) thành đường tròn \((C')\). Khi đó phương trình của \((C')\) là :

A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)

D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

Câu 4: Giả sử rằng qua phép đối xứng trục \({{\rm{D}}_a}\) ( a là trục đối xứng ), đường thẳng d biến thành đường thẳng \(d'\). Hãy chọn câu sai trong các câu sau ?

A. Khi d song song với a thì d song song với \(d'\).

B. d vuông góc với a thì d trùng với \(d'\).

C. Khi d cắt a thì d cắt \(d'\). Khi đó giao điểm của d và \(d'\) nằm trên a.

D. Khi d tạo với a một góc \({45^0}\) thì d vuông góc với \(d'\).

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol \((P):{y^2} = x\). Hỏi parabol nào sau đây là ảnh của parabol (P) qua phép đối xứng trục Oy ?

A. \({y^2} = x\)

B. \({y^2} = - x\)

C. \({x^2} = - y\)

D. \({x^2} = y\)

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M (1;5). Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox.

A. \(M'( - 1;5)\)

B. \(M'( - 1; - 5)\)

C. \(M'(1; - 5)\)

D. \(M'(0; - 5)\)

Câu 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A.Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.

B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.

C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.

D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0\), ảnh của d qua phép đối xứng tâm I (1;2) là đường thẳng:

A. \(d':x + y + 4 = 0\)

B. \(d':x + y - 4 = 0\)

C. \(d':x - y + 4 = 0\)

D. \(d':x - y - 4 = 0\)

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn \((C')\) là ảnh của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm I (1;0).

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\)

B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1\)

C. \({x^2} + {(y - 2)^2} = 1\)

D. \({x^2} + {(y + 2)^2} = 1\)

Câu 10: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay \(\alpha ,0 < \alpha \le 2\pi \) biến tam giác trên thành chính nó ?

A. Một

B. Hai

C. Ba

D. Bốn

Câu 11: Phép quay \({Q_{(O;\varphi )}}\) biến điểm A thành M. Khi đó

(I): O cách đều A và M.

(II): O thuộc đường tròn đường kính AM.

(III): O nằm trên cung chứa góc\(\varphi \)dựng trên đoạn AM.

Trong các câu trên, câu đúng là:

A.Cả 3 câu

B. (I) và (II)

C. (I)

D. (I) và (III)

Câu 12: Cho M ( 3;4) . Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay \({30^0}\).

A. \(M'\left( {{{3\sqrt 3 } \over 2};{3 \over 2} + 2\sqrt 3 } \right)\)

B. \(M'\left( { - 2;2\sqrt 3 } \right)\)

C. \(M'\left( {{{3\sqrt 3 } \over 2};2\sqrt 3 } \right)\)

D. \(M'\left( {{{3\sqrt 3 } \over 2} - 2;{3 \over 2} + 2\sqrt 3 } \right)\)

Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y - 2 = 0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = \left( {3;2} \right)\) biến đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau ?

A. \(3x + 3y - 2 = 0\)

B. \(x - y + 2 = 0\)

C. \(x + y + 2 = 0\)

D. \(x + y - 3 = 0\)

Câu 14: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi \(A',B',C'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác \(A'B'C'\) thành tam giác ABC ?

A. Phép vị tự tâm G, tỉ số 2.

B. Phép vị tự tâm G, tỉ số - 2.

C. Phép vị tự tâm G, tỉ số - 3.

D. Phép vị tự tâm G, tỉ số 3.

Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai đường tròn \(\left( C \right),\left( {C'} \right)\) trong đó \(\left( {C'} \right)\) có phương trình: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) . Gọi V là phép vị tự tâm \(I (1;0)\) tỉ số k = 3 biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành \(\left( {C'} \right)\). Khi đó phương trình của \(\left( C \right)\) là:

A. \({\left( {x - {1 \over 3}} \right)^2} + {y^2} = 1\)

B. \({x^2} + {\left( {y - {1 \over 3}} \right)^2} = 9\)

C. \({x^2} + {\left( {y + {1 \over 3}} \right)^2} = 1\)

D. \({x^2} + {y^2} = 1\)

Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A (1;2), B (-3;1). Phép vị tự tâm I (2;-1) tỉ số k = 2 biến điểm A thành \(A'\), phép đối xứng tâm B biến \(A'\) thành \(B'\). Tọa độ điểm \(B'\) là :

A. (0;5)

B. (5;0)

C. (-6;-3)

D. (-3;-6)

Câu 17: Các phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó có thể kể ra là:

A. Phép vị tự

B. Phép đồng dạng, phép vị tự

C. Phép đồng dạng, phép dời hình, phép vị tự

D. Phép dời hình , phép vị tự

Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A ( -2;-3), B ( 4;1). Phép đồng dạng có tỉ số \(k = {1 \over 2}\)biến điểm A thành \(A'\), biến điểm B thành \(B'\). Khi đó độ dài \(A'B'\)là:

A. \(\dfrac{{\sqrt {52} }}{2}\)

B. \(\sqrt {52} \)

C. \(\dfrac{{\sqrt {50} }}{2}\)

D. \(\sqrt {50} \)

Câu 19: Cho đường thẳng d có phương trình \(x - y + 4 = 0\). Hỏi trong các đường thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành \(d\)qua một phép đối xứng tâm?

A. \(2x + y - 4 = 0\)

B. \(x + y - 1 = 0\)

C. \(2x - 2y + 1 = 0\)

D. \(2x + 2y - 3 = 0\)

Câu 20: Cho hai đường tròn tâm \(\left( {I;R} \right)\) và \(\left( {I;R'} \right)\,\,\left( {R \ne R'} \right)\). Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn tâm \(\left( {I;R} \right)\) thành đường tròn \(\left( {I;R'} \right)?\)

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. Vô số

Lời giải chi tiết

1C	2A	3A	4C	5B
6C	7B	8B	9A	10C
11C	12D	13D	14B	15C
16C	17A	18A	19C	20D

Câu 1:

Gọi \({T_{\vec v}}\left( M \right) = {M_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_2}} = \vec v\)

Từ \(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {PQ} \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ} = \vec v\)

Chọn C.

Câu 2:

\({T_{\vec v}}\left( A \right) = B \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \vec v \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = 1 + 1 = 2}\\{{y_B} = 2 + 3 = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {2;5} \right)\)

Chọn A.

Câu 3:

Lấy \(M\left( {x;y} \right) \in (C)\) tùy ý , ta có \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1(*)\).

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec v}}\left( M \right)\)

Vì \({T_{\vec v}}\left( C \right) = \left( {C'} \right) \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Ta có \({T_{\vec v}}\left( M \right) = M' \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = x - 3\\
y' = y - 2
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = x' + 3}\\{y = y' + 2}\end{array} \Rightarrow M\left( {x' + 3;y' + 2} \right)} \right.\)

Thay vào (*) ta được \({\left( {x' + 3} \right)^2} + {\left( {y' + 1} \right)^2} = 1\)

Mà \(M'\left( {x';y'} \right) \in \left( {C'} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn\(\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)

Chọn A.

Câu 4:

Khẳng định C sai vì khi d cắt a mà d vuông góc a thì d trùng d'.

Chọn C.

Câu 5:

Gọi \(\left( {P'} \right) = \)Đ_Oy(P)

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)\) tùy ý.

Đ_Oy(M) = \(M'\left( {x';y'} \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = - x}\\{y' = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - x'}\\{y = y'}\end{array}} \right. \) \(\Rightarrow M\left( { - x';y'} \right)\)

Vì \(M \in \left( P \right)\) nên \({y'^2} = - x'\)

Mặt khác\(M' \in \left( {P'} \right)\)

Vậy phương trình parabol \(\left( {P'} \right):{y^2} = - x\)

Chọn B.

Câu 6:

Gọi \(M'(x';y')\) là ảnh của M qua Đ_Ox

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = - 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1; - 5} \right)\)

Chọn C.

Câu 7:

Phép đối xứng tâm có đúng 1 điểm biến thành chính nó. Điểm đó là tâm đối xứng.

Chọn B.

Câu 8:

Gọi \(d' = \)Đ_I(d)

Giả sử phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\) biến \(M\left( {x;y} \right) \in d\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) suy ra \(M' \in d'\)

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2.1 - x = 2 - x}\\{y' = 2.2 - y = 4 - y}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - x'}\\{y = 4 - y'}\end{array}} \right. \) \(\Rightarrow M\left( {2 - x';4 - y'} \right).\)

\(M\left( {x;y} \right) \in d\) nên ta có \(\left( {2 - x'} \right) + \left( {4 - y'} \right) - 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow x' + y' - 4 = 0\)

Mà \(M' \in d'\)

Vậy \(d':x + y - 4 = 0\)

Chọn B.

Câu 9:

Lấy \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) tùy ý, ta có \({x^2} + {y^2} = 1\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = \) Đ_I(M) \( \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Do Đ_I(M) = \(M'\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2.1 - x}\\{y' = 2.0 - y}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2 - x}\\{y' = - y}\end{array}} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - x'\\y = - y'\end{array} \right.\)

Thay vào (*) ta được: \({(2 - x')^2} + {( - y')^2} = 1\) \( \Leftrightarrow {(x' - 2)^2} + y{'^2} = 1\)

Mà \(M' \in \left( {C'} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\)là: \({(x - 2)^2} + {y^2} = 1\)

Chọn A.

Câu 10:

Có 3 phép quay tâm O góc \(\alpha ,0 < \alpha \le 2\pi \) biến tam giác đều tâm O thành chính nó .

Đó là các phép quay với góc quay lần lượt bằng: \(\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3},2\pi \).

Chọn C.

Câu 11:

Ta có \({Q_{\left( {O;\varphi } \right)}}(A) = M\) suy ra

+ OA= OM nên (I) đúng.

+ (II) xảy ra khi \(\Delta OAM\) vuông tại O, nói chung điều này không đúng, nên (II) sai.

+ \(\left( {OA,OM} \right) = \varphi \) nên (III) sai.

Chọn C.

Câu 12:

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {Q_{\left( {O;{{30}^0}} \right)}}(M)\) .

Áp dụng biểu thức tọa độ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha }\\{y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha }\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 3\cos {{30}^0} - 4\sin {{30}^0} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} - 2}\\{y' = 3\sin {{30}^0} + 4\cos {{30}^0} = \dfrac{3}{2} + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} - 2;\dfrac{3}{2} + 2\sqrt 3 } \right)\)

Chọn D.

Câu 13:

Gọi \({d_1} = \)Đ_O(d)

Gọi \({M_1}({x_1};{y_1})\)là ảnh của \(M(x;y) \in d\) qua Đ_O\( \Rightarrow {M_1} \in {d_1}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - x\\{y_1} = - y\end{array} \right.\)

Gọi \({d_2} = {T_{\overrightarrow v }}({d_1})\)

Gọi \({M_2}({x_2};{y_2})\)là ảnh của \({M_1} \in {d_1}\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) \( \Rightarrow {M_2} \in {d_2}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 3\\{y_2} = {y_1} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - x + 3\\{y_2} = - y + 2\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - {x_2}\\y = 2 - {y_2}\end{array} \right.\)

Mà \(M(x;y) \in d\)

Do đó \(3 - {x_2} + 2 - {y_2} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_2} + {y_2} - 3 = 0\)

Mặt khác \({M_2} \in {d_2}\)

Vậy \({d_2}:x + y - 3 = 0\)

Chọn D.

Câu 14:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GA'} ,\,\overrightarrow {GB} = - 2\overrightarrow {GB'} ,\) \(\overrightarrow {GC} = - 2\overrightarrow {GC'} .\)

Do đó phép vị tự \({V_{\left( {G; - 2} \right)}}\) biến tam giác \(A'B'C'\) thành tam giác ABC.

Chọn B.

Câu 15:

Giả sử hai đường tròn \(\left( C \right),\,\left( {C'} \right)\) có tâm và bán kính lần lượt là \(O,O'\) và \(R,R'\)

\(\left( {C'} \right)\) có phương trình : \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\)có tâm \(O'\left( { - 2;1} \right),R' = 3\)

Vì \({V_{(I;3)}}(C) = (C') \Rightarrow {V_{(I;3)}}(O) = (O')\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 = 3x + \left( {1 - 3} \right).1}\\{ - 1 = 3y + \left( {1 - 3} \right).0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = \dfrac{{ - 1}}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow O(0;\dfrac{{ - 1}}{3})\)

Lại có \(R' = 3R \Leftrightarrow R = 1(do\,{V_{(I;3)}}(C) = (C')\,\,)\)

Vậy phương trình của (C) là: \({x^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{3}} \right)^2} = 1\)

Chọn C.

Câu 16:

Gọi \(A'(x';y')\).

Ta có \({V_{\left( {I;2} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {IA'} = 2\overrightarrow {IA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 0}\\{y' = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow A'\left( {0;5} \right)\)

Gọi \(B'(x'';y'')\)

Vì Đ_B\(\left( {A'} \right) = B'\)

nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'' = 2.\left( { - 3} \right) - 0 = - 6}\\{y'' = 2.1 - 5 = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow B'\left( { - 6; - 3} \right)\)

Chọn C.

Câu 17:

Chọn A.

Câu 18:

Vì phép đồng dạng tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến điểm A thành \(A'\) , biến điểm B thành \(B'\) nên \(A'B' = \dfrac{1}{2}AB \) \(= \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {4 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {52} }}{2}\)

Chọn A.

Câu 19:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đường thẳng ở đáp án C song song với đường thẳng d đã cho.

Chọn C.

Câu 20: