Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Đề số 1 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm là G. Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài của các véc tơ $\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}$ và $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}$.

Câu 2. Cho hai hình bình hành ABCD và AMNP có chung đỉnh A. Chứng minh rằng $\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DP}  = \overrightarrow {CN}$.

Câu 3. Cho hình bình hành ABDC tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác OCD. Hãy biểu thị $\overrightarrow {BG}$ theo các véc tơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Theo định lí Pitago ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {36 + 64}  = 10$

Ta có $\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {CB}$ . Suy ra $\left| {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 10$

Gọi M là trung điểm BC. Ta có $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM}$ .

Mà $GM = \dfrac{1 }{3}AM = \dfrac{1 }{6}BC = \dfrac{10} {6} = \dfrac{5 }{ 3}$

Vậy $\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM = \dfrac{10}{3}$

Câu 2.

Ta có

$\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DP}$

$= \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AD}$           

$= \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AP} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)$

$= \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CN}$

Câu 3.

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {BG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BO}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)  \cr  }$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AC} \end{array}$

 HocTot.Nam.Name.Vn