Nội dung từ Loigiaihay.Com
Câu hỏi:
Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 1000?
Phương pháp giải:
Dựng hình, xác định yếu tố liên quan đến điều kiện góc lớn hơn 100 độ và áp dụng các quy tắc đếm
Lời giải chi tiết:
Gọi A1,A2,…,A2018 là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh.
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A1A2...A2018.
Các đỉnh của đa giác đều chia (O) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng 36002018.
Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của (O).
Suy ra góc lớn hơn 1000 sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 2000.
Cố định một đỉnh Ai. Khi đó có 2018 cách chọn Ai.
Gọi Ai,Aj,Ak là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho thì ^AiAjAk>100∘ và tam giác AiAjAk là tam giác cần đếm.
Khi đó là hợp liên tiếp của nhiều nhất [1603602018]=896 cung tròn nói trên.
Và 896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh .. thì còn đỉnh.
Do đó có C2896 cách chọn hai đỉnh ,.
Vậy có tất cả 2018.C2896 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D