Câu hỏi 3 trang 152 SGK Đại số 10

Đề bài

Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Lời giải chi tiết

Ta đặt:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = a - b\\ v = a + b \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 2a\\ u - v = - 2b \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{{u + v}}{2}\\ b = \dfrac{{v - u}}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \cos u + \cos v = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\\ = \cos a\cos b + \sin a\sin b\\ + \cos a\cos b - \sin a\sin b\\ = 2\cos a\cos b\\ = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\ = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\ \Rightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\ \sin u + \sin v = \sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\\ = \sin a\cos b - \sin b\cos a\\ + \sin a\cos b + \sin b\cos a\\ = 2\sin a\cos b\\ = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\  = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\ = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}$

HocTot.Nam.Name.Vn