Phương pháp giải:

Tìm đầy đủ các giao điểm, chia tích phân cần tính thành các tích phân thích hợp.

Lời giải chi tiết:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm : $\sqrt{2-x}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 0\le x\le 2 \\ & 2-x={{x}^{2}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=1;\,\,\sqrt{2-x}=0\Leftrightarrow x=2$

Thể tích vật tròn xoay cần tìm là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hai hình phẳng $\left( {{H}_{1}} \right):\left\{ y=x;\,\,x=0;\,\,x=1 \right\}$ và $\left( {{H}_{2}} \right):\left\{ y=\sqrt{2-x};\,\,x=1;\,\,x=2 \right\}.$

Vậy thể tích khối tròn xoay là $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}\,\text{d}x}+\pi \int\limits_{1}^{2}{\left( 2-x \right)\,\text{d}x}.$

Chọn D.