Câu hỏi trước
Nội dung từ Loigiaihay.Com
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh \(B\left( {m;0;0} \right),D\left( {0;m;0} \right),A'\left( {0;0;n} \right)\) với m,n>0 và m+n=5. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện BDA’M.
- A \(\frac{{125}}{{27}}\)
- B \(\frac{{64}}{{27}}\)
- C \(\frac{{245}}{{108}}\)
- D \(\frac{4}{9}\)
Phương pháp giải:
Tham số hóa điểmC, C’.
Lập thể tích cần tìm theo m.
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích.
Lời giải chi tiết:
ABCD là hình chữ nhật nên \(C\left( {m;m;0} \right)\).
\(CC'//AA' \Rightarrow C'\left( {m;m;\frac{n}{2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A'B} = \left( {m;0; - n} \right),\overrightarrow {A'D} = \left( {0;m; - n} \right)\\\overrightarrow {A'M} = \left( {m;m; - \frac{n}{2}} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {mn;mn;{m^2}} \right)\\ = > V = \frac{1}{4}{m^2}n = \frac{1}{4}{m^2}\left( {5 - m} \right)\\ = - \frac{1}{4}{m^3} + \frac{5}{4}{m^2} = f\left( m \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) = - \frac{3}{4}{m^2} + \frac{5}{2}m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = \frac{{10}}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:
\( \Rightarrow V = f{\left( m \right)_{\max }} = f\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = \frac{{125}}{{27}}\)