Phương pháp giải:

- Tam giác $OAB$ cân nên sẽ vuông cân tại $O$.

- Sử dụng định nghĩa hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ là $a = \tan \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương của trục $Ox$.

Lời giải chi tiết:

Tam giác $OAB$ cân (gt), lại có $\Delta OAB$ vuông tại $O$, suy ra $\Delta OAB$ vuông cân tại $O$, do đó đường thẳng $y = mx + 3$ tạo với chiều dương trục $Ox$ hoặc góc ${45^0}$, hoặc góc ${135^0}$.

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \tan {45^0}\\m = \tan {135^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow S = \left\{ { - 1;1} \right\}$.

Vậy tổng các phần tử của $S$ là $- 1 + 1 = 0$.

Chọn D.