Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế của S với 2. Sau đó so sánh S với số trung gian.

Từ đó so sánh được S với ${5.2^8}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}S = 1 + {2^1} + {2^2} +  \cdots  + {2^9}\\ \Rightarrow 2.S = 2 + {2^2} + {2^3} +  \ldots  + {2^{10}}\\ \Rightarrow 2S - S = 2 + {2^2} + {2^3} +  \ldots  + {2^{10}} - \left( {1 + {2^1} + {2^2} +  \cdots  + {2^9}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^{10}} - 1.\\ \Rightarrow S = {2^{10}} - 1 < {2^{10}} = {2^2}{.2^8} = {4.2^8} < {5.2^8}\end{array}$

Ta có: $S = {2^{10}} - 1 = {2^2}{.2^8} - 1 = {4.2^8} - 1$

Vì ${4.2^8} < {5.2^8} \Rightarrow {4.2^8} - 1 < {5.2^8}$

Vậy $S < {5.2^8}$.

Chọn B.