Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: $\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..$

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng $A = \frac{{\sin \alpha  - c{\rm{os}}\alpha }}{{\sin \alpha  + c{\rm{os}}\alpha }}$

$\begin{array}{l}A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)}^2}}}{{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}$

b) Tính giá trị của A biết $\tan \alpha  = \frac{1}{3}$.

Theo ý a ta có: $A = \frac{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha  - 1}}{{\tan \alpha  + 1}}$

Thay $\tan \alpha  = \frac{1}{3}$ vào A ta được: $A = \frac{{\tan \alpha  - 1}}{{\tan \alpha  + 1}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} + 1}} =  - \frac{1}{2}$

Chọn B.