Phương pháp giải:

- Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}$.

- Sử dụng tổ hợp, xác định số đường thẳng đi qua những điểm có tọa độ nguyên vừa xác định được.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Trước hết ta đi tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}$.

Ta có: $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 2 + 5}}{{x - 1}} = 2 + \dfrac{5}{{x - 1}}$.

Để $y \in \mathbb{Z}$ thì $x - 1 \in$ Ư(5)$= \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Do đó có 4 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số là $\left( {2;7} \right)$, $\left( {0; - 3} \right)$, $\left( {6;3} \right)$, $\left( { - 4;1} \right)$.

Cứ qua 2 trong 4 điểm trên ta vẽ được 1 đường thẳng, và đường thẳng này thỏa mãn điều kiện cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm mà giao điểm đó có tọa độ nguyên.

Vậy có $C_4^2 = 6$ đường thẳng thỏa mãn.

Chọn C.