Phương pháp giải:

+) Xác định tiêu điểm \({F_1}\left( {c;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( { - c;\,\,0} \right)\).

+) Viết phương trình đường tròn với \({F_1}{F_2}\) là đường kính.

Lời giải chi tiết:

*) Xác định tọa độ tiêu điểm

\(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 100\\{b^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 100 - 46 = 64 \Rightarrow c = 8\)

\( \Rightarrow \) Tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( {8;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( { - 8;\,\,0} \right)\).

*) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\)

Gọi \(O\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\). Vì đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \({F_1}{F_2}\) nên \(O\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{8 + \left( { - 8} \right)}}{2} = 0\\b = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {0;\,\,0} \right)\)

\(R = O{F_1} = O{F_2} = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2}\)\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {8 + 8} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{16}^2}} }}{2} = 8\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là \({x^2} + {y^2} = 64\).

Chọn  C.