Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình để xác định tọa độ giao điểm \(M\) và \(N.\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - \frac{{3x}}{4}\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {3 - \frac{{3x}}{4}} \right)}^2}}}{9} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - \frac{{3x}}{4}\\{x^2} - 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - \frac{{3x}}{4}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(E\) là \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(N\left( {4;\,\,0} \right)\).

\( \Rightarrow MN = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.\)

Vậy \(MN = 5.\)

Chọn  C.