Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình để xác định tọa độ giao điểm $M$ và $N.$

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của $d$ và $\left( E \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - \frac{{3x}}{4}\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {3 - \frac{{3x}}{4}} \right)}^2}}}{9} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - \frac{{3x}}{4}\\{x^2} - 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - \frac{{3x}}{4}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Tọa độ giao điểm của $d$ và $E$ là $M\left( {0;\,\,3} \right)$ và $N\left( {4;\,\,0} \right)$.

$\Rightarrow MN = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.$

Vậy $MN = 5.$

Chọn  C.