Phương pháp giải:

Xét $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$ ta có:

+) Trục lớn: ${A_1}{A_2} = 2a$

+) Trục bé: ${B_1}{B_2} = 2b$

+) Tiêu cự: ${F_1}{F_2} = 2c,\,\,\,{c^2} = {a^2} - {b^2}.$

+) Tâm sai: $e = \frac{c}{a}.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử elip $\left( E \right)$ được viết dưới dạng:  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Trục lớn: $A{}_1{A_2} = 2a$

Trục nhỏ: $B{}_1{B_2} = 2b$

Theo bài ra, ta có: ${A_1}{A_2} = 3{B_1}{B_2} \Rightarrow 2a = 2.3b$$\Rightarrow a = 3b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta lại có: ${a^2} - {b^2} = {c^2}$$\Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = {\left( {3b} \right)^2} - {b^2} = 8{b^2}$$\Rightarrow c = 2b\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $e = \frac{c}{a} = \frac{{2b\sqrt 2 }}{{3b}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Vậy $e = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \cdot$

Chọn  D.