Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ biết phương trình cạnh $BC:x + y - 2 = 0$, hai đường cao $BB':x - 3 = 0$ và $CC':2x - 3y + 6 = 0$. Tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ là:

Lời giải chi tiết:

*) Xác định tọa độ đỉnh $B$.

Vì $B = BC \cap BB'$ nên tọa độ đỉnh $B$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;\,\, - 1} \right)$

*) Xác định tọa độ đỉnh $C$.

Vì $C = CC' \cap BC$ nên tọa độ đỉnh $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\2x - 3y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x - 3y =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {0;\,\,2} \right)$

*) Xác định tọa độ đỉnh $A$.

+) Lập phương trình cạnh $AB$

$\left( {AB} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,B\left( {3; - 1} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = {{\vec u}_{CC'}} = \left( {3;\,\,2} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow 3.\left( {x - 3} \right) + 2.\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 9 + 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 7 = 0$

+) Lập phương trình cạnh $AC$

$AC:\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = {{\vec u}_{BB'}} = \left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow 0.\left( {x - 0} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 2 = 0$

Vì $A = AB \cap AC \Rightarrow$Tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 7 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 7\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,2} \right)$

Vậy $A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)$.

Chọn  D