Phương pháp giải:

+) Giả sử $A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)$, viết phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $\left( P \right)$.

+) Áp dụng BĐT Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right) \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

$\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu râm $O$ bán kính $1$ nên $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = 1$.

$\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1$.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$1 = \frac{1}{{{{\left| a \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| b \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| c \right|}^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left| {abc} \right|}^2}}}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left| {abc} \right|}^2}}}}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left| {abc} \right|}^2}}} \le \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow {\left| {abc} \right|^2} \ge 27 \Leftrightarrow \left| {abc} \right| \ge 3\sqrt 3$

$\Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {abc} \right| \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Chọn D.