Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi A1,B1,C1,D1 là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho A1A=kA1B,B1B=kB1C , C1C=kC1D,D1D=kD1A. Với giá trị bào của k thì bốn điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng?

Lời giải chi tiết

Cách 1. 

Đặt DA=a,DB=b,DC=c thì a,b,c không đồng phẳng.

Các điểm A1,B1,C1,D1  cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để

D1B1=mD1A1+nD1C1(1)

Từ hệ thức B1B=kB1C, ta có

D1B1=D1BkD1C1k

hay

D1B1=D1D+DBk(D1D+DC)1k=D1D+11kbk1kc

Mặt khác

 D1D=kD1A=k(D1D+DA)D1D=k1ka

Vậy D1B1=k1ka+11kbk1kc.

Tương tự như trên, ta có

D1A1=D1AkD1B1k=D1D+DAk(D1D+DB)1k=D1D+11kak1kb

hay

D1A1=k+11kak1kb(3)D1C1=D1CkD1D1k=D1D+DCkD1D1k=D1D+11kc

do đó D1C1=k1ka+11kc.(4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi

ka+bkc

=(mk+nk+m)amkb+nc

Do a,b,c không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để

{k=mk+nk+m1=mkk=n

Điều đó tương đương với k=1k21k hay k3+k2+k+1=0 hay k = -1.

Vậy với k = -1 thì các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2.

Đặt DA=a,DB=b,DC=c. Tìm k để các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn

DA1=xDB1+yDC1+zDD1 

với x + y + z = 1               (a)

Từ hệ thức A1A=kA1B ta có

DA1=DAkDB1k=11kak1kb(1)

Tương tự như trên, ta cũng có

DB1=11kbk1kc(2)

Mặt khác từ C1C=kC1D ta có

C1D+DC=kC1DDC1=11kc(3)

Tương tự từ D1D=kD1A, ta cũng có

D1D=k1ka(4)

Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra

DA1=1kDD1kDB1k2DC1(b)

Từ (a) và (b) ta có các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:

1kkk2=1k3+k2+k+1=0k=1

Vậy với k = -1 thì các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng.

HocTot.Nam.Name.Vn

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close