Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Đề bài Cho tứ diện ABCD. Gọi A1,B1,C1,D1 là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho →A1A=k→A1B,→B1B=k→B1C , →C1C=k→C1D,→D1D=k→D1A. Với giá trị bào của k thì bốn điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng? Lời giải chi tiết Cách 1. Đặt →DA=→a,→DB=→b,→DC=→c thì →a,→b,→c không đồng phẳng. Các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để →D1B1=m→D1A1+n→D1C1(1) Từ hệ thức →B1B=k→B1C, ta có →D1B1=→D1B−k→D1C1−k hay →D1B1=→D1D+→DB−k(→D1D+→DC)1−k=→D1D+11−k→b−k1−k→c Mặt khác →D1D=k→D1A=k(→D1D+→DA)⇒→D1D=k1−k→a Vậy →D1B1=k1−k→a+11−k→b−k1−k→c. Tương tự như trên, ta có →D1A1=→D1A−k→D1B1−k=→D1D+→DA−k(→D1D+→DB)1−k=→D1D+11−k→a−k1−k→b hay →D1A1=k+11−k→a−k1−k→b(3)→D1C1=→D1C−k→D1D1−k=→D1D+→DC−k→D1D1−k=→D1D+11−k→c do đó →D1C1=k1−k→a+11−k→c.(4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi k→a+→b−k→c =(mk+nk+m)→a−mk→b+n→c Do →a,→b,→c không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để {k=mk+nk+m1=−mk−k=n Điều đó tương đương với k=−1−k2−1k hay k3+k2+k+1=0 hay k = -1. Vậy với k = -1 thì các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng. Cách 2. Đặt →DA=→a,→DB=→b,→DC=→c. Tìm k để các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn →DA1=x→DB1+y→DC1+z→DD1 với x + y + z = 1 (a) Từ hệ thức →A1A=k→A1B ta có →DA1=→DA−k→DB1−k=11−k→a−k1−k→b(1) Tương tự như trên, ta cũng có →DB1=11−k→b−k1−k→c(2) Mặt khác từ →C1C=k→C1D ta có →C1D+→DC=k→C1D⇔→DC1=11−k→c(3) Tương tự từ →D1D=k→D1A, ta cũng có →D1D=k1−k→a(4) Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra →DA1=−1k→DD1−k→DB1−k2→DC1(b) Từ (a) và (b) ta có các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi: −1k−k−k2=1⇔k3+k2+k+1=0⇔k=−1 Vậy với k = -1 thì các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng. HocTot.Nam.Name.Vn
|