Bài 71 trang 16 SBT Hình học 11 Nâng cao

LG a

Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”.

Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó $\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI}$ và $\overrightarrow {I'I}  = \overrightarrow v .$

Từ đó, suy ra $\overrightarrow {OI}  - \overrightarrow {OI'}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  - k\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}$

Vậy điểm I hoàn toàn xác định.

LG b

Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì $\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM}$ , nếu T biến M’ thành M” thì $\overrightarrow {M'M''}  = \overrightarrow v$ . Từ đó, suy ra $\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM}$

$\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  - \overrightarrow {I{\rm{O}}}  = k\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM}  \cr}$              (*)

Nhưng từ biểu thức xác định I ta có $\overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v$.

Ngoài ra, vì $\overrightarrow {M'M''}  = \overrightarrow v$ nên $\overrightarrow {IM''}  - \overrightarrow {IM'}  = \overrightarrow v$ hay $\overrightarrow {IM'}  = \overrightarrow {IM''}  - \overrightarrow v$.

Vậy đẳng thức (*) trở thành $\overrightarrow {IM''}  = k\overrightarrow {IM}$.

Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.

HocTot.Nam.Name.Vn