Bài 7 trang 156 SGK Đại số 10

LG a

$\displaystyle {{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \dfrac{{1 - \cos x + \cos 2x}}{{\sin 2x - \sin x}}\\ = \dfrac{{1 - \cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{2\sin x\cos x - \sin x}}\\ = \dfrac{{2{{\cos }^2}x - \cos x}}{{2\sin x\cos x - \sin x}}\\ = \dfrac{{\cos x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin x\left( {2\cos x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ = \cot x  \end{array}$

LG b

$\displaystyle {{{\mathop{\rm \sin x}\nolimits}  + \sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha  \end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \dfrac{{\sin x + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + \cos x + \cos \dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{{\sin \left( {2.\dfrac{x}{2}} \right) + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + \cos \left( {2.\dfrac{x}{2}} \right) + \cos \dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + 2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 1 + \cos \dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}{{\cos \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}\\ = \tan \dfrac{x}{2} \end{array}$

LG c

$\displaystyle {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}({\pi  \over 4} - x)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha  \end{array}$

$\sin \alpha  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)$

$\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle \, \, {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}$

$\displaystyle = {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}$

$\displaystyle = \dfrac{{2\cos 2x\left( {1 - \sin 2x} \right)}}{{2\cos 2x\left( {1 + \sin 2x} \right)}}$

$\displaystyle = {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}$
$\displaystyle = {{1 - \cos ({\pi \over 2} - 2x)} \over {1 + \cos ({\pi \over 2} - 2x)}}$

$\displaystyle \begin{array}{l} = \dfrac{{1 - \cos \left[ {2.\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{{1 + \cos \left[ {2.\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}\\ = \dfrac{{1 - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{{1 + \left[ {2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right) - 1} \right]}} \end{array}$

$\displaystyle = {{2{{\sin }^2}({\pi \over 4} - x)} \over {2{{\cos }^2}({\pi \over 4} - x)}}$ 
$\displaystyle = {\tan ^2}({\pi \over 4} - x)$

Cách khác:

$\displaystyle VT= {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}$

$\displaystyle = {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}$

$\displaystyle = \dfrac{{2\cos 2x\left( {1 - \sin 2x} \right)}}{{2\cos 2x\left( {1 + \sin 2x} \right)}}$

$\displaystyle = {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}$

$\begin{array}{l} VP = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}\\ = \dfrac{{\frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}\\ = \dfrac{{2.\frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}{{2.\frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}\\ = \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)}}{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)}}\\ = \frac{{1 - \sin 2x}}{{1 + \sin 2x}} \end{array}$

Vậy VT=VP hay ta có đpcm.

LG d

$\displaystyle \tan x - \tan y = {{\sin (x - y)} \over {\cos x.cosy}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} \tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ \sin a\cos b - \sin b\cos a = \sin \left( {a - b} \right) \end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle d) \tan x - \tan y$

$\displaystyle = {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}$

$\displaystyle = {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}$

$\displaystyle = {{\sin (x - y)} \over {\cos x\cos y}}.$

 HocTot.Nam.Name.Vn