Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng caoGiải bài tập Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao Đề bài Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) mà \(\sin 2\alpha \ne 0\), ta có \(\sin \left( {\cot \alpha } \right) + \sin \left( {\tan \alpha } \right) = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right)\cos \left( {\cot 2\alpha } \right)\) Lời giải chi tiết Đặt \(u = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right),\) \(v = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)\) thì \(u + v = \tan \alpha ,u - v = \cot \alpha \). Khi đó ta có \(\begin{array}{l}\sin \left( {\tan \alpha } \right) + \sin \left( {\cot \alpha } \right)\\ = \sin \left( {u + v} \right) + \sin \left( {u - v} \right)\\ = 2\sin u\cos v\\ = 2\sin \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right].\cos \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right]\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right).\cos \left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right).\cos \left( {\cot 2\alpha } \right).\end{array}\) HocTot.Nam.Name.Vn
|