Bài 6 trang 106 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.$

Lời giải chi tiết

Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

$\begin{array}{l} \dfrac{{a + b}}{c} + \dfrac{{b + c}}{a} + \dfrac{{c + a}}{b} \\= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b}} \right)\\ = \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right). \end{array}$

Áp dụng bđt Cô – si cho hai số dương

$\dfrac{a}{c}$ và $\dfrac{c}{a}$ ta có: $\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}  = 2.\sqrt 1  = 2$

$\dfrac{b}{a}$ và $\dfrac{a}{b}$ ta có: $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}  = 2.\sqrt 1  = 2$

$\dfrac{c}{b}$ và $\dfrac{b}{c}$ ta có: $\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}}  = 2.\sqrt 1  = 2$

Cộng vế với vế các bđt ta được:

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right)\\ \ge 2 + 2 + 2 = 6\\ \Rightarrow dpcm\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{a}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}\\\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {c^2}\\{b^2} = {a^2}\\{c^2} = {b^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2}$ $\Leftrightarrow a = b = c$ (do $a,b,c > 0$)

Vậy ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.$

HocTot.Nam.Name.Vn