Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số $y = {1 \over {x - 1}}$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Với mọi x ≠ 1, ta có : $y' =  - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)$ (với ${x_0} \ne 1$ ) là : $y =  - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}$

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có

hoành độ x_A thỏa mãn : ${{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1$ 

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ y_B là :

${y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}$

Ta có:

$\eqalign{  & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr}$

Suy ra : ${y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} =  - 4.$ Vậy điểm phải tìm M_o có tọa độ là $\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)$  

HocTot.Nam.Name.Vn