Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

${u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6}$ với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_2} = \sqrt {{u_1} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\ {u_3} = \sqrt {{u_2} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\ ... \end{array}$

Dự đoán ${u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)$ với mọi n.

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Với $n = 1$ ta có ${u_1} = {\rm{ }}3$, (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với $n=k$ tức là: ${u_k} = {\rm{ }}3$

+) Ta chứng minh ${u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3$

Thật vậy ta có  ${u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3$

Vậy ${u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1$ do đó (u_n) vừa là cấp số cộng công sai $d = 0$ vừa là cấp số nhân công bội $q = 1$.

HocTot.Nam.Name.Vn