Câu 4.33 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Bạn Minh giải bất phương trình \(\dfrac{1}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} }} < \dfrac{1}{{x + 5}}\,\left( 1 \right)\) như sau :

\(\eqalign{& \left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 5 < \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} < {x^2} - 2x - 3 \cr & \Leftrightarrow 12x + 28 < 0 \Leftrightarrow x < - {7 \over 3}. \cr} \)

Theo em, bạn Minh giải đúng hay sai, vì sao ?

Lời giải chi tiết

Sai lầm của bạn Minh là nghĩ rằng \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow b < a.\) Nhớ rằng

\(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow \dfrac{{a - b}}{{ab}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{a > b}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab < 0}\\{a < b}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy nếu x + 5 < 0 thì (1) vô nghiệm, ngược lại ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 < \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} }\\{x + 5 > 0}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x <  - \dfrac{7}{3}}\\{x >  - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - 5 < x <  - \dfrac{7}{3}\)

HocTot.Nam.Name.Vn