Bài 1.82 trang 27 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$ của hàm số đã cho và đường thẳng $y = 2mx{\rm{ }}-4m + 3$ luôn có một điểm chung cố định.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $y = 2m(x - 2) + 3$ luôn đi qua điểm cố định  $A\left( {2;3} \right)$

Vì $f(2) = {2^3} - 3m{.2^2} + 3(2m - 1).2 + 1 = 3$ với mọi m nên điểm A thuộc $\left( {{C_m}} \right)$ với mọi m.

LG b

Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho và đường cong (C) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong $\left( {{C_m}} \right)$ là nghiệm của phương trình:

${x^3} - 3m{x^2} +3 (2m - 1)x + 1 = 2m(x - 2) + 3$

$\eqalign{&  \Leftrightarrow {x^3} - 3m{x^2} + 3(2m - 1)x - 2 - 2m(x - 2) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {{x^2} - \left( {3m - 2} \right)x + 1 - 2m} \right] = 0 \cr}$

Để đường thẳng đã cho cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì ${{x^2} - \left( {3m - 2} \right)x + 1 - 2m}  = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 2

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {1 - 2m} \right) > 0\\ {2^2} - \left( {3m - 2} \right).2 + 1 - 2m \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9{m^2} - 4m > 0\\ - 8m + 9 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{4}{9},m < 0\\ m \ne \frac{9}{8} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $m < 0$ hoặc  $m > {4 \over 9}$ và $m \ne {9 \over 8}$

LG c

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

Lời giải chi tiết:

Với $m = 1$ ta có: $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1$

+) TXĐ: $D = \mathbb{R}$

+) Chiều biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty$

$y' = 3{x^2} - 6x + 3$ $= 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

HocTot.Nam.Name.Vn