Cách tìm toạ độ tích có hướng của hai vecto trong không gian - Toán 12

Trong toán học, tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vecto trong không gian vecto ba chiều.

Kết quả thu được là một vecto vuông góc với hai vecto đầu vào của phép nhân.

Kí hiệu: $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow c$.

Nghĩa là: Tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ là vecto $\overrightarrow c$ và $\overrightarrow c  \bot \overrightarrow a$, $\overrightarrow c  \bot \overrightarrow b$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho $\overrightarrow a \left( {{x_a};{y_a};{z_a}} \right)$ và $\overrightarrow b \left( {{x_b};{y_b};{z_b}} \right)$.

Công thức tính tích có hướng của hai vecto trên:

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_a}}&{{z_a}}\\{{y_b}}&{{z_b}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_a}}&{{x_a}}\\{{z_b}}&{{x_b}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_a}}&{{y_a}}\\{{x_b}}&{{y_b}}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {{y_a}{z_b} - {y_b}{z_a};{z_a}{x_b} - {z_b}{x_a};{x_a}{y_b} - {x_b}{y_a}} \right)$.

Ví dụ minh hoạ:

Tính tích có hướng của hai vecto $\vec u= \left( {2; - 2; - 3} \right)$ và $\vec v= \left( {3;3;5} \right)$.

Giải:

$\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left( { - 2} \right).5 - \left( { - 3} \right).3;\left( { - 3} \right).3 - 2.5;2.3 - \left( { - 2} \right).3} \right) = \left( { - 1; - 19;12} \right)$.