Cách tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến ứng dụng đạo hàm - Toán 12

Giả sử hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$.

Hàm số $y = f(x)$ gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi ${x_1}$, ${x_2}$ thuộc $K$ mà ${x_1} < {x_2}$ thì $f({x_1}) < f({x_2})$.

Hàm số $y = f(x)$ gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi ${x_1}$, ${x_2}$ thuộc $K$ mà ${x_1} < {x_2}$ thì $f({x_1}) > f({x_2})$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$.

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x).

Bước 3:

- Đề bài yêu cầu hàm số đồng biến thì tìm điều kiện để:

+ $f'(x) \ge m$ với hàm đa thức.

+ $f'(x) > m$ với hàm phân thức bậc nhất.

- Đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến thì tìm điều kiện để:

+ $f'(x) \le m$ với hàm đa thức.

+ $f'(x) < m$ với hàm phân thức bậc nhất.

Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm.

Ví dụ minh hoạ:

a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số $y = \frac{{{m^2} - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}}$ nghịch biến trên các khoảng xác định.

Giải:

a) $y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 3{x^2} + 2(m + 1)x + 3$.

Hàm số $y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi đó $3{x^2} + 2(m + 1)x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {(m + 1)^2} - 9 \le 0\\a = 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 2$.

b) $y = \frac{{mx + 4m}}{{x + m}}$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\}$.

Ta có $y' = \frac{{{m^2} - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}}$.

Hàm số $y = \frac{{mx + 4m}}{{x + m}}$ nghịch biến trên khoảng xác định khi và chỉ khi:

$y' = \frac{{{m^2} - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4$.

1) Đối với hàm đa thức:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x).

Bước 2: Để hàm số đồng biến trên (p;q), tìm m để $f'(x) \ge 0$ $\forall x \in (p;q)$. Để hàm số nghịch biến trên (p;q), tìm m để $f'(x) \le 0$ $\forall x \in (p;q)$.

Cách 2: Cô lập m và xét dấu theo quy tắc:

+ $m \ge f(x),\forall x \in (p;q) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{(p;q)} f(x)$.

+ $m \le f(x),\forall x \in (p;q) \Leftrightarrow m \le \mathop {\max }\limits_{(p;q)} f(x)$.

2) Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x).

Bước 3: Kết luận:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (p;q) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'(x) > 0\\ - \frac{d}{c} \notin (p;q)\end{array} \right.$.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (p;q) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'(x) < 0\\ - \frac{d}{c} \notin (p;q)\end{array} \right.$.

Ví dụ minh hoạ:

a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + (1 - m)x$ đồng biến trên $(2; + \infty )$.

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + m}}$ đồng biến trên $( - \infty ; - 6)$.

Giải:

a) Xét $f(x) = {x^3} - 3{x^2} + (1 - m)x$ trên $(2; + \infty )$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f'(x) = 3{x^2} - 6x + (1 - m)$.

Để f(x) đồng biến trên $(2; + \infty )$ thì $f'(x) \ge 0,\forall x \in (2; + \infty )$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + (1 - m) \ge 0,\forall x \in (2; + \infty )$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 1 \ge m,\forall x \in (2; + \infty )$

$\Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{(2; + \infty )} \left( {3{x^2} - 6x + 1} \right)$.

Đặt $g(x) = 3{x^2} - 6x + 1$; $g'(x) = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy $m \le \mathop {\min }\limits_{(2; + \infty )} \left( {3{x^2} - 6x + 1} \right) \Leftrightarrow m \le 1$.

b) Xét $f(x) = \frac{{x + 3}}{{x + m}}$ trên $( - \infty ; - 6)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\}$.

Để hàm số $f(x) = \frac{{x + 3}}{{x + m}}$ đồng biến trên $( - \infty ; - 6)$, ta có:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'(x) > 0\\ - m \notin ( - \infty ; - 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 0\\ - m \ge  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m \le 6$.