RLK-MTs Valdai, hệ thống radar chuyên dụng của Nga dùng để phát hiện, ngăn chặn và vô hiệu hóa các máy bay không người lái nhỏ. Nó được thiết kế để phát hiện máy bay không người lái của đối phương ở khoảng cách lên đến 15 km và hạ gục chúng bằng các biện pháp đối phó điện tử (sử dụng module triệt tiêu tín hiệu điều khiển và điều hướng) ở cự ly từ 2 km trở xuống. Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một cơ sở quân sự có một nhà kho chứa vũ khí bí mật đặt tại điểm A(2;0;0) và sử dụng một hệ thống RLK-MTs Valdai đặt tại điểm T(-300;-500;0) để bảo vệ. Một máy bay không người lái (drone) của quân địch đang ở tại điểm B(5002;3000;4000), được điều khiển tiến thẳng đến vị trí điểm A và sẽ phát nổ tại A nếu không bị ngăn cản.
a) Khi drone ở tại điểm B thì drone nằm ngoài vùng kiểm soát của hệ thống radar.
b) Điểm \(C\left( {1; - \frac{3}{5}; - \frac{4}{5}} \right)\) nằm trên đoạn đường di chuyển của drone.
c) Vị trí đầu tiên mà hệ thống RLK-MTs Valdai có thể hạ gục được drone cách kho chứa vũ khí bí mật một khoảng 1911,6 mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
d) Drone luôn cách radar một khoảng lớn hơn 584 mét.
a) Khi drone ở tại điểm B thì drone nằm ngoài vùng kiểm soát của hệ thống radar.
b) Điểm \(C\left( {1; - \frac{3}{5}; - \frac{4}{5}} \right)\) nằm trên đoạn đường di chuyển của drone.
c) Vị trí đầu tiên mà hệ thống RLK-MTs Valdai có thể hạ gục được drone cách kho chứa vũ khí bí mật một khoảng 1911,6 mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
d) Drone luôn cách radar một khoảng lớn hơn 584 mét.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.
a) Sai. Khoảng cách từ hệ thống radar T đến drone tại B là:
\(TB = \sqrt {{{(5002 + 300)}^2} + {{(3000 + 500)}^2} + {{(4000 - 0)}^2}} \approx 7507\)\(m \approx 7,5\) \(km\).
Vì 7,5 < 15 nên drone tại B nằm trong vùng kiểm soát của radar.
b) Sai. Drone di chuyển từ B đến A nên đường di chuyển của drone là đường thẳng AB nhận \(\frac{1}{{1000}}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{5002 - 2}}{{1000}};\frac{{3000 - 0}}{{1000}};\frac{{4000 - 0}}{{1000}}} \right) = (5;3;4)\) làm vecto chỉ phương, đi qua A(2;0;0), có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5t + 2\\y = 3t\\z = 4t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).
Để C nằm trên đường di chuyển từ B đến A thì C nằm giữa A và B. Khi đó:
\(\overrightarrow {BC} = k\overrightarrow {BA} \) (k là hằng số âm)
\( \Leftrightarrow \left( { - 5001; - \frac{{15003}}{5}; - \frac{{20004}}{5}} \right) = \left( { - 5000k; - 3000k; - 4000k} \right)\)
\( \Leftrightarrow k = \frac{{5001}}{{5000}} > 0\) (không thỏa mãn).
Vậy điểm \(C\left( {1; - \frac{3}{5}; - \frac{4}{5}} \right)\) không nằm trên đoạn đường di chuyển của drone.
c) Sai. Mặt cầu giới hạn cự li radar có thể đánh chặn là mặt cầu tâm T, bán kính 2 km:
\({\left( {x + 300} \right)^2} + {\left( {y + 500} \right)^2} + {z^2} = {2000^2}\)
Xét \({\left( {5t + 2 + 300} \right)^2} + {\left( {3t + 500} \right)^2} + {\left( {4t} \right)^2} = {2000^2}\)
\( \Leftrightarrow 50{t^2} + 6020t - 3658796 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 6020 \pm \sqrt {767999600} }}{{100}}\).
Gọi điểm mà hệ thống có thể đánh chặn là D.
Với \({t_1} = \frac{{ - 6020 + \sqrt {767999600} }}{{100}}\) thì:
\(BD = \sqrt {{{\left( {5{t_1} + 2 - 5002} \right)}^2} + {{\left( {3{t_1} - 3000} \right)}^2} + {{\left( {4{t_1} - 4000} \right)}^2}} \approx 5537\) (km).
Với \({t_2} = \frac{{ - 6020 - \sqrt {767999600} }}{{100}}\) thì:
\(BD = \sqrt {{{\left( {5{t_2} + 2 - 5002} \right)}^2} + {{\left( {3{t_2} - 3000} \right)}^2} + {{\left( {4{t_2} - 4000} \right)}^2}} \approx 9456\) (km).
Vì 5537 < 9456 nên điểm đầu tiên hệ thống có thể đánh chặn là \(D\left( {5{t_1} + 2;3{t_1};4{t_1}} \right)\).
Vị trí đó cách kho chứa vũ khí là \(AD = \sqrt {{{\left( {5{t_1} + 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3{t_1}} \right)}^2} + {{\left( {4{t_1}} \right)}^2}} \approx 1534\) (km).
d) Đúng. D thuộc AB nên \(D(5t + 2;3t;4t)\).
\(\overrightarrow {DT} = \left( { - 300 - (5t + 2); - 500 - 3t; - 4t} \right) = \left( { - 302 - t; - 500 - 3t; - 4t} \right)\).
\(DT = \sqrt {{{( - 302 - t)}^2} + {{( - 500 - 3t)}^2} + {{( - 4t)}^2}} = \sqrt {341204 + 3604t + 26{t^2}} \).
DT nhỏ nhất khi \(341204 + 3604t + 26{t^2}\) nhỏ nhất.
Vì D nằm giữa A, B nên 0 < t < 1000.
Xét \(f(t) = 341204 + 3604t + 26{t^2}\) với 0 < t < 1000.
Ta có \(f'(t) = 3604 + 52t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{901}}{{13}} \notin (0;1000)\).
Vậy f(t) đồng biến trên (0;1000), dó đó f(t) nhỏ nhất tại t = 0.
Khi đó \(DT = \sqrt {341204 + 3604.0 + {{26.0}^2}} \approx 584\).
Vậy drone luôn cách radar một khoảng lớn hơn 584 mét.
Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm $M(x_1; _1; z_1)$ và $N(x_2; y_2; z_2)$ được tính bằng công thức: $MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)}$.
Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
Đường thẳng nhận \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) làm vecto chỉ phương, đi qua $M(x_0; _0; z_0)$ , có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
Để tìm các giao điểm, ta thay các biểu thức tham số của đường thẳng x(t), y(t), z(t) vào phương trình mặt cầu. Kết quả thu được là một phương trình bậc hai theo tham số t. Giải phương trình này sẽ cho các giá trị t tương ứng với các giao điểm.
Danh sách bình luận