Một người muốn lắp mạng wifi trong nhà. Ông ấy muốn lắp điểm phát wifi sao cho có thể phát sóng đến mọi nơi trong căn nhà mình. Vì thế ông ấy đã xác định một số điểm phát sóng tối đa mà sóng wifi có thể tới trong nhà mình như sau:
+ Cổng nhà để lắp camera an ninh được gắn với điểm A(2; 0; 0).
+ Góc phòng làm việc được gắn với điểm B(1; 3; 0).
+ Sân sau vườn nhà để gắn camera an ninh sau vườn được gắn với điểm C(-1; 0; 3).
+ Góc trong cùng của tầng 2 nhà ông ấy được gắn với điểm D(1; 2; 3).
Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là bao nhiêu, biết wifi phát sóng được xem như là hình cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi điểm I(a;b;c). Tìm a, b, c để AI = BI = CI = DI.
Gọi I(a; b; c) là điểm phát wifi. Vì khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến là các điểm A, B, C, D nên I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Do đó AI = BI = CI = DI = R. Ta có hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 3)^2} + {(c - 0)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a + 1)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 3)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 6b + 9 + {c^2}\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 6c + 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 6b = 6\\ - 6a + 6c = 6\\ - 2a + 4b + 6c = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b = - 3\\a - c = - 1\\a - 2b - 3c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\)
Vậy I(0; 1; 1), bán kính \(R = AI = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2}} = \sqrt 6 \).
Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là \(\sqrt 6 \approx 2,45\).
Bài toán yêu cầu xác định khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng tới, với giả định tín hiệu phát sóng theo hình cầu và cần phải tới được các vị trí cụ thể (cổng nhà, góc phòng làm việc, sân sau, góc tầng 2). Để đảm bảo tín hiệu tới được tất cả các điểm này và xác định khoảng cách xa nhất, ta có thể hiểu rằng điểm phát wifi được đặt tại một vị trí sao cho nó cách đều các điểm cần phủ sóng xa nhất.
Lý thuyết được ứng dụng để giải bài toán này bao gồm:
1) Hệ tọa độ trong không gian Oxyz: Để biểu diễn vị trí của điểm phát wifi và các điểm cần phủ sóng trong căn nhà, chúng ta sử dụng hệ tọa độ Descartes ba chiều. Mỗi vị trí sẽ được gán một bộ ba số (x;y;z) tương ứng với vị trí của nó trong không gian.
2) Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ được tính bằng công thức $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$. Công thức này là nền tảng để xác định bán kính phủ sóng từ điểm phát.
3) Khái niệm mặt cầu: Tín hiệu wifi được mô hình hóa như một hình cầu. Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính). Điểm phát wifi chính là tâm của mặt cầu này, và khoảng cách xa nhất mà tín hiệu có thể tới được chính là bán kính của mặt cầu đó.
4) Bài toán tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: Nếu bốn điểm cần phủ sóng không cùng nằm trên một mặt phẳng, chúng sẽ tạo thành một tứ diện. Bài toán đặt điểm phát wifi cách đều bốn điểm này tương đương với việc tìm tâm và bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm đó (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện). Tâm của mặt cầu ngoại tiếp cách đều tất cả các điểm nằm trên mặt cầu.
Danh sách bình luận